第十一章 多元線形回歸分析

1、第十一章第十一章多元相關(guān)與回歸分析多元相關(guān)與回歸分析第一節(jié)第一節(jié)多元線性回歸模型多元線性回歸模型多元線性回歸即多個自變量對一個因變量的線性回歸。一、多元線性回歸模型概念一、多元線性回歸模型概念以兩個自變量的二元回歸為例，如X1、X2和Y的關(guān)系存在關(guān)系式：E(Y)=αβ1X1β2X2，則Y與X1和X2之間存在多元線性相關(guān)關(guān)系，這一方程即多元線性回歸模型。多元線性回歸是多維空間中的超平面，如二元回歸是三維空間中的一個平面。對于任意的(X1X

2、2)，Y的期望值就是該平面上正對(X1X2)的那個點的Y軸值，其與實際觀測點之間存在隨機誤差，實際觀測點Yi=αβ1X1β2X2εi。二、模型的建立模型的建立總體未知情況下，以樣本構(gòu)造出一個平面來估計總體真實平面，即以平面?=ab1x1b2x2去擬合原始觀測數(shù)據(jù)。擬合的準(zhǔn)則是最小二乘法原理，使各觀測值距離擬合值的偏差平方和最小，即∑(yi?)2最小。由此計算出的ab1b2是對αβ1β2的最佳估計。例如對施肥量X1、降雨量X2和產(chǎn)量Y的數(shù)

3、據(jù)，SPSS輸出結(jié)果（表1）：VariableBSE.BBetaTX13.810.5830.596.532X23.330.6170.495.4Constant266.732.0778.313即得到?=266.73.81x13.33x2三、回歸系數(shù)的意義三、回歸系數(shù)的意義對于模型?=ab1x1b2x2，b1可以解釋為：當(dāng)X2不變的情況下，X1每變化一個單位，Y將平均發(fā)生b1個單位的變化。如果所有自變量都同時變化，那么ΔY=b1ΔX1b2Δ

4、X2….biΔXi。例題例題：如果對產(chǎn)量、施肥量、降雨量做出了簡單回歸和多元回歸模型：A模型：產(chǎn)量=2875.9施肥量；B模型：產(chǎn)量=4006.0降雨量；C模型：產(chǎn)量=2673.81施肥量3.33降雨量；請計算：（1）如果在每畝土地上多施10斤肥料，可以期望產(chǎn)量增加多少？（2）如果在每畝土地上多灌溉5厘米的水，可以期望產(chǎn)量增加多少？（3）如果同時在每畝土地上多施10斤肥料，并且多灌溉5厘米的水，可以期望產(chǎn)量增加多少？（4）由原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)

5、較高的施肥量和較高的降雨量是有聯(lián)系的，如果照這樣的趨勢下去，那么在每畝土地上多灌溉5厘米的水，可以期望產(chǎn)量增加多少？β1=3.812.776(0.583)=3.811.618；β2=3.332.776(0.617)=3.331.713對回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗即檢驗H0：βi=0；H1：βi≠0，即檢驗自變量和因變量之間是否存在線形相關(guān)關(guān)系。檢驗方法：計算檢驗統(tǒng)計量為t=bi0SEi，計算出相應(yīng)概值。SPSS可以輸出t值和概值P。二、回歸模型的

6、檢驗二、回歸模型的檢驗即檢驗H0：β1=β2=……=βi=0。對多元回歸做方差分析及顯著性檢驗：將總偏差平方和分解為2()yiy???i)2（不能由回歸解釋的偏差）和?ii)2（可以由對X1X2…Xk的回(yi??(?y歸解釋的偏差）。計算F值=可以由回歸解釋的方差不能解釋的方差，然后對F值與臨界值進(jìn)行比較，也可計算F值的概值。表2：對改革時間Y與公司規(guī)模X1和公司類型X2的二元回歸作出方差分析表，包括求出概值和進(jìn)行95%置信水平下的檢

7、驗。SSSSdfdfMSMSF概值概值回歸誤差1504.412752.2072.47＜0.001殘差176.391710.38總誤差1680.8019在95%的置信水平下可以拒絕原假設(shè)，說明回歸效果是顯著的，即回歸模型有意義。第三節(jié)第三節(jié)相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)一、復(fù)相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)一、復(fù)相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)決定系數(shù)R22=可以由回歸解釋的偏差總偏差=Σ(?ii)2Σ；R2的y2()yiy?平方根R為復(fù)相關(guān)系數(shù)，取值范圍01

8、。R2=1時，說明Y的全部偏差都可以用回歸方程解釋，以二元回歸為例，表明全部觀測點正好落在擬合的回歸平面上。R2越大，能用回歸來解釋的部分就越大，表示Y和X1X2…Xi的線形關(guān)系越強，回歸效果越好，R2也具有消減誤差比例的意義。例如根據(jù)表2計算出：R2=1504.411680.80=0.8950559；R=0.9460739解釋：應(yīng)用二元回歸可以解釋總偏差中的89.5%，以改革時間對公司規(guī)模和公司類型作二元回歸，效果是很好的。二、偏相關(guān)