梁的變形

1、前面討論了(梁）彎曲內(nèi)力、彎曲應(yīng)力，接下來討論彎曲變形。,梁在外力作用下除了限制其應(yīng)力，使其滿足強(qiáng)度條件外，還必須限制它的變形，即必須具有足夠的剛度，滿足剛度條件。 例如：樓板彎曲變形太大.則平頂下面的粉刷層就會(huì)剝落，不但影響美觀，而且給人以不安全的感覺；高速鐵路橋梁變形過大，就無法提高行車速度。,第10章 梁的變形,§10–1 梁的撓曲線近似微分方程§10–2 用積分法求梁的變形§

2、10–3 用疊加法求梁的變形§10–4 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,,,,第10章 梁的變形,撓曲線——指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線，該曲線稱為撓曲線。,§10–1 梁的撓曲線近似微分方程,2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用? 表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。,,度量梁變形的兩個(gè)基本量,1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v 表示。

3、 v向下為正，反之為負(fù)。,撓曲線方程——用來描述撓曲線的方程稱為撓曲線方程。,,2、撓曲線與撓曲線方程,撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo) v（x）即為該點(diǎn)的橫截面的撓度。,,轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系,小變形,轉(zhuǎn)角單位為弧度。,撓度單位為長(zhǎng)度。,推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線的曲率公式：,忽略剪力對(duì)變形的影響，也可用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形：,,撓曲線近似微分方程,由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線的曲率公式為,在小變形下，略去高階小量，再根據(jù)彎矩的符號(hào)與

4、撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，得,所以,,其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和v坐標(biāo)的取向有關(guān)。,,由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，撓曲線的近似微分方程為：,,由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,,撓曲線近似微分方程適用條件：線彈性范圍內(nèi)小變形平面彎曲。,撓曲線的近似微分方程為：,,撓曲線近似微分方程適用條件：線彈性范圍內(nèi)小變形平面彎曲。,一、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程,1.微分方程的積分,,&

5、#167;10-2 用積分法求梁的變形,對(duì)于等截面直梁，EI是常數(shù)，撓曲線近似微分方程：,積分一次,積分二次,討論： （1）梁的彎矩M(x)可用一個(gè)函數(shù)描述時(shí)，積分常數(shù)僅2個(gè)，由支承約束條件確定； （2）梁上有突變荷載將梁分成幾段，則各段梁的彎矩方程M(x)不同，因而各段的轉(zhuǎn)角和撓度具有不同的函數(shù)形式，應(yīng)分段積分，每一段的積分常數(shù)有2個(gè)，這些常數(shù)由支承約束條件和分段點(diǎn)連續(xù)光滑條件確定。,,,2. 求積分常數(shù),（1）支點(diǎn)

6、位移條件：,（2)連續(xù)條件：,(3)光滑條件：,例： 求等截面直梁AB的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。,?建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程,?寫出微分方程并積分,?應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù),,解：,,x,,v,,(1),(2),與書上不同，常數(shù)沒有全合并,?寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并畫出撓曲線,?最大撓度及最大轉(zhuǎn)角,,,,例： 簡(jiǎn)支梁受集中力F作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。已知梁的EI，l=a+b，a&

7、gt;b。,解：1）由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,,HA,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC 段：,CB 段：,4）由邊界條件確定積分常數(shù),,代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,,,（1）,（2）,（3）,（4）,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,（1）,（2）,（3）,（4）,6）確定C截面的撓度：,7）確定A截面轉(zhuǎn)角：,將 x1=a 代入v1 或?qū)?x2=a 代入v2,將 x1

8、=0 代入（1）式：,作業(yè)：201頁例10-1,疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。,,§10-3 疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角,計(jì)算時(shí)可查表10-1（p205）。,疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。,例： 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn) 撓度。,解、載荷分解如圖,查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：,q,,,,P,,,P,=,+,A,A,A,B,B,B,,,,

9、C,,,,,,a,a,,,q,,,,P,,,P,=,+,A,A,A,B,B,B,,,,C,,,,,,a,a,,,疊加,一、梁的剛度條件,其中[v]稱為許用撓度。,,§10-4 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,例：圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v ] =l/200,試校核此桁條的剛度。,,,解：查表直接求,可見，不滿足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑。

10、,,,（2）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸 根據(jù)剛度條件：,例6 圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v]=l/200,試校核此桁條的剛度。,二、提高梁剛度的主要措施,撓曲線微分方程：,轉(zhuǎn)角：,,1、選擇合理的截面形狀，以增大截面慣性矩Iz2、盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值3、改善梁的受力情況,提高彎曲剛度的措施，就是減小結(jié)構(gòu)的最大變形，根據(jù)上面所述的變形公式，可得

11、相應(yīng)的措施。,1、選擇合理的截面形狀,將圓形截面改為工字形、槽形或箱形，可使A較小而 I z較大。,2、盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度，減小彎矩?cái)?shù)值,B,3、改善梁的受力情況,,,,,,,,盡可能地將集中載荷用分布載荷來代替?；蛘咴黾虞o助梁。,4、改變支座形式，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值,,采用靜不定梁：,,,,,§10–1 梁的撓曲線近似微分方程§10–2 用積分法求梁的變形§10–3 用疊加法求梁的變形§