最優(yōu)化數(shù)值實(shí)驗(yàn)報告三

1、最優(yōu)化數(shù)值實(shí)驗(yàn)報告三 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?1， 能夠?qū)唧w的問題用合適的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。 2， 對同一個問題用不同的優(yōu)化方法進(jìn)行求解并比較其優(yōu)劣。 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容： （主要是《最優(yōu)化練習(xí)題 017》中的 3，4，5 題） (1)設(shè)某實(shí)驗(yàn)對象的變化規(guī)律可由專業(yè)知識得出下列函數(shù) c ae x y x b ? ? / ) (其中a,b,c是反映對象物理特性的待定參數(shù)。經(jīng)過實(shí)驗(yàn),測得數(shù)據(jù)為 k 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0.2

2、0 1.0 2.0 3.0 5.0 7 11.0 16.0 y 5.05 8.88 11.63 12.93 14.15 14.73 15.30 15.60 請你把此問題表示為最小二乘問題的模型，然后用你認(rèn)為合適的方法求解，得出待定參數(shù) a,b,c的具體數(shù)值，將實(shí)驗(yàn)對象的變化規(guī)律寫出。進(jìn)一步，如果根據(jù)專業(yè)知識，知道待定參 數(shù)a,b,c還滿足下列條件： 15 tan 2 2 ? ? ? c b a ,那么結(jié)果又

3、是如何？請你寫出求解的數(shù)學(xué)思想，求解的全過程，并分析你的方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 解： 首先將問題表示為最小二乘問題的模型， 即是將目標(biāo)函數(shù)寫成若干個函數(shù)的平方和的形式，一般可以寫成 ???mii x f x f12 ) ( ) (其中 Tn x x x x ) ,..., , ( 2 1 ? 是 n R 中的點(diǎn)。一般假設(shè) n m ? ，最小而成問題就是求 ???mii x f x f12 ) ( ) ( min對于本題而言，有m=8,且 60

4、. 15 ) ( , 30 . 15 ) (, 73 . 14 ) ( , 15 . 14 ) ( , 93 . 12 ) (, 63 . 11 ) ( , 88 . 8 ) ( , 05 . 5 ) (0 . 16 /80 . 11 /77 /60 . 5 /50 . 3 /40 . 2 /30 . 1 /220 . 0 /1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c ae x f c

5、 ae x fc ae x f c ae x f c ae x fc ae x f c ae x f c ae x fb bb b bb b b所以問題轉(zhuǎn)化為求 ???812 ) ( ) ( minii x f x f通過在前次實(shí)驗(yàn)中對各種無約束問題的算法分析和比較知道， BFGS是當(dāng)中一種性能比較好的，所以首先我們采用BFGS法。 （同前兩次實(shí)驗(yàn)，jintuifa和gold對應(yīng)進(jìn)退法和黃金分割法。見附錄） 程序： 發(fā)現(xiàn)BFGS法會出現(xiàn)

6、分母為零的情況， 導(dǎo)致計(jì)算無法正確進(jìn)行， 是由計(jì)算過程中的誤差的產(chǎn)生而使得分母為0的。但是廣義乘子法沒有這樣的情況。所以最后采用的廣義乘子法。 程序： syms a b c t v; f1=a*exp(b/0.20)+c-5.05;f2=a*exp(b/1.0)+c-8.88;f3=a*exp(b/2.0)+c-11.63; f4=a*exp(b/3.0)+c-12.93;f5=a*exp(b/5.0)+c-14.15;f6=a*exp

7、(b/7.0)+c-14.73; f7=a*exp(b/11.0)+c-15.30;f8=a*exp(b/16.0)+c-15.60;f9=2*a+b^2+tan(c)-15; f=f1^2+f2^2+f3^2+f4^2+f5^2+f6^2+f7^2+f8^2+0.5*t*f9^2-v*f9; x=[a,b,c]; error1=1e-6;x0=[0,0,0]';t0=1;c0=1.5;v0=1;j=0;beta=0.5; er

8、ror2=1e-4;H0=[1,0 0;0,1 0;0 0 1];k=0; h0=subs(f9,{a,b,c},{x0(1),x0(2),x0(3)}); h0=double(h0); while(norm(h0)>error1) y=subs(f,{t,v},{t0,v0}); dy=jacobian(y,x);dy=dy.'; g1=subs(dy,x,x0);double(g1); while(norm(g1)&g

9、t;error2)%BFGS法求解無約束最優(yōu)化問題 if k==0 d=-H0*g1; else H1=H0+(1+qk'*H0*qk/(pk'*qk))*(pk*pk')/(pk'*qk)-(pk*qk'*H0+H0*qk*pk')/(pk'*qk); d=-H1*g1; H0=H1; end z=subs(y,x,x0+r*d); result=jintuifa(z,r); r

10、esult2=gold(z,r,result); step=result2; x0=x0+step*d; g0=g1; g1=subs(dy,x,x0);double(g1); qk=g1-g0; pk=step*d; k=k+1; end h1=subs(f9,{a,b,c},{x0(1),x0(2),x0(3)});h1=double(h1); if norm(h1)>=beta*norm(h0) t0=t0*c0; end