大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源庫(kù)_13869

1、繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第一講,2,第一節(jié) 函數(shù),一、函數(shù)的概念,第一章 函數(shù)與極限,第一講,3,? 函數(shù)的定義,4,函數(shù)的記號(hào)還有:,5,構(gòu)成函數(shù)的兩要素:,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同, 則兩個(gè)函數(shù)就相同, 否則就不相同.,否則稱(chēng)為多值函數(shù).,6,?例1 判斷下列各對(duì)函數(shù)是否是相同的函數(shù)：,?解,?例

2、題,7,?例2,?解,?例題,8,?例3,?解,故,?例題,9,?說(shuō)明 當(dāng)給定一個(gè)函數(shù)y=f(x)時(shí)，就意味著其定義域是同時(shí)給定的，若函數(shù)是某個(gè)實(shí)際問(wèn)題， 則其定義域必須符合實(shí)際意義；否則其定義域應(yīng)使函數(shù)y=f(x)在數(shù)學(xué)上有意義即可.,10,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第二講,12,第一節(jié) 函數(shù),第一章

3、函數(shù)與極限,第二講,二、 表示函數(shù)的三種主要方法,13,列表法、圖形法、解析法(即公式法).1.列表法用列出的表格來(lái)表示變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為列表法.,?例,下表給出了本市國(guó)慶期間每天的最高氣溫:,表示函數(shù)的三種主要方法：,14,,,,,,,,,,2.圖形法 用函數(shù)的圖形來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為圖形法.,15,?例如,,3.解析法(即公式法). 用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為解析法.,16,?

4、例1,?解,?例題,17,?例2,?解,?例題,1. 絕對(duì)值函數(shù),,,?例如,19,在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù), 稱(chēng)為分段函數(shù).,,,注意 分段函數(shù)是用幾個(gè)解析式合起來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，而不是表示幾個(gè)函數(shù).,20,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第三講,22,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,

5、第三講,三、函數(shù)的四個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì),23,1. 函數(shù)的奇偶性,24,從幾何圖形上看奇偶性:,偶函數(shù)圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng),,奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),25,?例,?解,26,2.函數(shù)的單調(diào)性,27,從幾何圖形上看單調(diào)性:,,,,,28,3.函數(shù)的有界性,29,?例如,有界;,無(wú)界,,無(wú)界.,30,4. 函數(shù)的周期性,注意 通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.,31,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education,

6、 Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第四講,33,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,第四講,五、基本初等函數(shù),四、反函數(shù),34,?反函數(shù)的定義,四、反函數(shù),35,?反函數(shù)的性質(zhì),相對(duì)于反函數(shù)而言, 原來(lái)的函數(shù)稱(chēng)為直接函數(shù).,,,,,36,（2）反函數(shù)存在定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),?例 求下列函數(shù)的反函數(shù),?解,（2）同理可得反函數(shù),37,冪函數(shù):,指數(shù)函數(shù):,對(duì)數(shù)函數(shù):,特殊地:,五、基本初等函數(shù),

7、38,三角函數(shù):,反三角函數(shù):,正割函數(shù),余割函數(shù),,,,,,,,(1)冪函數(shù),( 是常數(shù)),(2) 指數(shù)函數(shù),(3) 對(duì)數(shù)函數(shù),42,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第五講,44,第一節(jié) 函數(shù),第一章 函數(shù)與極限,第五講,七、初等函數(shù),六、反三角函數(shù),45,1.反三角函數(shù),反函數(shù)存在定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)

8、,反正弦函數(shù),47,反余弦函數(shù),49,反正切函數(shù),51,53,2. 復(fù)合函數(shù)的定義,構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件:,注意：一個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程并不是唯一的,54,3.初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱(chēng)為初等函數(shù).,?例 求下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,?解,55,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理

9、專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第六講,57,第一章 函數(shù)與極限,第六講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,一、數(shù)列極限的定義,微積分是以函數(shù)為研究對(duì)象，以極限方法為研究手段的一門(mén)課程.以極限作為研究工具研究變化率的問(wèn)題就產(chǎn)生了微分學(xué)，研究無(wú)窮累積的問(wèn)題就建立了積分學(xué)，因此，極限理論是微積分的基本內(nèi)容. 本章首先給出極限的概念，然后研究求極限的方法，應(yīng)用極限研究函數(shù)的連續(xù)性.,極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確

10、解答而產(chǎn)生的.例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.具體如下：,1.問(wèn)題的引入,60,由此我們可以看到只要正多邊形邊數(shù)不斷增加，這些正多邊形的面積和周長(zhǎng)不斷接近圓面積和周長(zhǎng)，這個(gè)不斷接近的過(guò)程就是一個(gè)極限過(guò)程.用利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積——割圓術(shù):,,圓內(nèi)接正六邊形面積,圓內(nèi)接正十二邊形面積,圓內(nèi)接正二十四邊形的面積,面積值構(gòu)成一列有次序的數(shù),61,內(nèi)接正多邊形與圓的

11、差別越小,,內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓,,62,例如,2.數(shù)列的定義,63,從幾何上看,,數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列. 可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,,,,,,,,,,,,,數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù),64,?數(shù)列極限的定義,65,?解,?例,?例,?解,66,?解,?例,67,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第七講,69,

12、第一章 函數(shù)與極限,第七講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,二. 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,70,1.問(wèn)題的引入,71,72,自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,73,2. 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,,,,,,,75,定義1,定義2,76,定義3,定理1,77,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第八講,79,第一章 函數(shù)與極限,第八

13、講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,三. 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,80,自變量趨于定點(diǎn)時(shí)函數(shù)的極限.,81,自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,82,定義4,結(jié)論,83,定義5,定義6,84,定理2 函數(shù)極限存在的充要條件是左極限與右極限各自存在且相等,即,85,?例,?解,86,例,?,?解,87,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,

14、第九講,89,第一章 函數(shù)與極限,第九講,第二節(jié) 函數(shù)的極限,四 、無(wú)窮小與無(wú)窮大,五、兩個(gè)重要極限,90,1. 無(wú)窮小的定義,簡(jiǎn)言之, 極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.,定義7,四 、無(wú)窮小與無(wú)窮大,91,?例如,注意,1.無(wú)窮小是變量, 不能與很小的數(shù)混淆;,2.無(wú)窮小是相對(duì)于自變量的變化過(guò)程而言的.,92,簡(jiǎn)言之, 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.,定義8,2.無(wú)窮大的定義,注意,無(wú)窮大是變量, 不能與很大的數(shù)混淆;,93,定義9,定義

15、10,94,3.無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系,定理 3,關(guān)于定理3的說(shuō)明:,定理3的意義在于關(guān)于無(wú)窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.,95,1.重要極限,五、兩個(gè)重要極限,2.重要極限,96,注意 應(yīng)該掌握兩個(gè)重要極限的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):,只要符合上述結(jié)構(gòu)形式，其極限公式成立,具體例題下節(jié)講.,97,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰

16、山,第十講,第三節(jié) 極限的運(yùn)算,第一章 函數(shù)與極限,一、極限的運(yùn)算法則,第十講,100,定理1,1、極限的運(yùn)算法則,101,推論1,推論2,102,定理2,有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小.,定理3,有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,定理4,有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論3,常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,定義,103,證明,定理5,此定理說(shuō)明：求兩個(gè)無(wú)窮小商的極限時(shí)，分子與分母都可以用其等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，從而使極限的計(jì)算簡(jiǎn)化.,104,

17、常用等價(jià)無(wú)窮小:,105,2、極限運(yùn)算的10個(gè)基本公式,106,107,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十一講,第三節(jié) 極限的運(yùn)算,第一章 函數(shù)與極限,第十一講,二、極限運(yùn)算的10個(gè)基本類(lèi)型（Ⅰ）,110,?例1,?解,111,?解,?例2,112,?解,?例3,?例4,?解,113,?解,?例5,?例6,?解,114

18、,小結(jié):,115,?例7 求下列極限,?解,116,117,?解,118,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十二講,第三節(jié) 極限的運(yùn)算,第一章 函數(shù)與極限,第十二講,二、極限運(yùn)算的10個(gè)基本類(lèi)型（Ⅱ）,121,?例8 求下列極限,?解,122,解（2）,123,解（3）,結(jié)論：,124,?解（4）,125,?例9,?解因

19、為,126,?例10,?解,127,?例11,?解,128,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十三講,第一章 函數(shù)與極限,第十三講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),一、函數(shù)的連續(xù)性定義,131,定義1,132,?增量的定義,增量可正可負(fù).,133,134,定義2,135,136,2. 函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連

20、續(xù),在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).,137,(1) 左連續(xù):,(2) 右連續(xù):,3. 函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),138,139,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十四講,第一章 函數(shù)與極限,第十四講,第四節(jié) 函數(shù)

21、的連續(xù)性與間斷點(diǎn),二、函數(shù)的連續(xù)性舉例,142,?例1,證,143,?例 有關(guān)有理函數(shù)的討論.,故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù).,144,?例,?解,145,?例,?解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,,,解,?例,148,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十五講,第一章 函數(shù)與極限,第十五講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),

22、三、函數(shù)的間斷點(diǎn),151,三、函數(shù)的間斷點(diǎn),152,?定義,153,?間斷點(diǎn)的分類(lèi),第一類(lèi)間斷點(diǎn)中, 左、右極限相等者稱(chēng)為可去間斷點(diǎn), 不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn).,不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn), 稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).,無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)屬于第二類(lèi)間斷點(diǎn).,154,說(shuō)明 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,?例,若補(bǔ)充定義:,(1). 可去間斷點(diǎn),155,?例,(2). 跳躍間斷點(diǎn),156,?例,(3).

23、振蕩間斷點(diǎn),157,(4). 無(wú)窮間斷點(diǎn),?例,158,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰山,第十六講,第一章 函數(shù)與極限,第十六講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性,161,例如：,?定理,162,?定理,例如：,反函數(shù)的連續(xù)性,163,例如：,總之, 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,16

24、4,?定理,?復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,165,(1) 三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的 .,166,基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,初等函數(shù)求極限的方法代入法.,167,?例,?例,?解,?解,168,繼續(xù)教育學(xué)院,School of Continuing Education, Jilin University,高等數(shù)學(xué)（理專(zhuān)）,授課教師：楊泰

25、山,第十七講,第一章 函數(shù)與極限,第十七講,第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),171,例如,,五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),172,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值.,?定理 (有界性與最大值最小值定理),,,,,173,注意:若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn), 那么函數(shù)不一定有界, 也不一定有最大值或最小值.,例如,174,?零點(diǎn)的定義:,?定理 (零點(diǎn)定理),17