第九章-多元函數(shù)的積分學(xué)

1、第9章多元函數(shù)的積分學(xué)第一節(jié)重積分的概念與性質(zhì)一、重積分的概念引例1曲頂柱體的體積曲頂柱體是指底是面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界為準(zhǔn)線而母線xOyDD平行于軸的柱面的一部分，它的頂面是曲面，，且z)(yxfz?Dyx?)(0)(?yxf為上的連續(xù)函數(shù)，如圖所示，現(xiàn)在我們討論如何計(jì)算上述曲頂柱體的體積。DV（1）分割區(qū)域：任取一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分割成個(gè)小閉區(qū)域：DDn，，…，，…，，1D?2D?iD?nD?（2）近似代替：在中任取一點(diǎn)

2、，用表示的面積，則以為iD?)(ii??i??iD?iD?底，以為高的平頂柱體的體積為：，于是有)(iif??iiif????)(iiiifV??????)()21(ni??（3）作和：。????????niiiiniifVV11)(???（4）取極限：記，當(dāng)趨于零時(shí)，max1inid??????????niiiifV10)(lim????引例2平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有面上的有界閉區(qū)域，它在點(diǎn)處的面密度為xOyD)(yx且在上連

3、續(xù)，現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量。0)(?yx?DM首先作分割，將薄片任意分成個(gè)小塊，在上任取一點(diǎn)，用表示niD?)(ii??i??iD?的面積，就可得到每個(gè)小塊薄片質(zhì)量的近似值：iM?iii?????)()21(ni??再通過求和即得平面薄片質(zhì)量的近似值：，????????niiiiniiMM11)(????記，則。max1inid?????????niiiiM10)(lim?????1.二重積分的定義定義1設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉

4、區(qū)域任意分割成個(gè)小閉區(qū)域)(yxfDDn存在，則稱此極限為函數(shù)在有界閉區(qū)域上的三重積????niiiiiVf10)(lim????)(zyxfD分，記為，即，其中????dVzyxf)(?????????niiiiiVfdVzyxf10)(lim)(????稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為體積元素，，及)(zyxfdVzyxf)(dVxyz稱為積分變量，稱為積分區(qū)域，稱為三重積分號，稱為積分區(qū)域。D????與二重積分相類似，若函數(shù)在有

5、界區(qū)域上連續(xù)，則在上的三)(zyxf?)(zyxf?重積分必存在，即在上可積。)(zyxf?如果于上，表示物體在點(diǎn)的體密度，是該物體所占有的空0)(?zyxf?)(zyx?間閉區(qū)域，則在上的三重積分就為該物體的質(zhì)量，即)(zyxf?M。?????dVzyxfM)(二、重積分的性質(zhì)性質(zhì)1如果函數(shù)，都在上可積，則對任意常數(shù)，，函數(shù))(yxf)(yxgD??在上也可積，且有)()(yxgyxf???D。?????????DDDdyxgdyxf

6、dyxgyxf???????)()()]()([這一性質(zhì)稱為重積分的線性性質(zhì)。性質(zhì)2如果函數(shù)在上可積，用曲線將分成兩個(gè)閉區(qū)域，，則)(yxfDD1D2D在和上仍可積，且有：。這)(yxf1D2D????????21)()()(DDDdyxfdyxfdyxf???一性質(zhì)稱為重積分的區(qū)域可加性。性質(zhì)3如果函數(shù)在上可積，并且在上，則)(yxfDD0)(?yxf0)(???Ddyxf?。性質(zhì)4如果函數(shù)，都在上可積，且在上有：成)(yxf)(yx