北師大九年級上1.1 你能證明它們嗎(1) 課件

1、北 師 大 ? 八 年 級 《 數(shù) 學 ( 上 ) 》,1、你能證明它們嗎(1),,第一章 證明(2),沙頭角中學 彭萬保,1、你能證明它們嗎,,北 師 大 ? 九 年 級《 數(shù) 學 ( 上 ) 》,,2024年3月30日星期六,2,本節(jié)課學些什么？,重點:,難點:,,2、了解作為證明基礎的幾條公理的內容， 掌握證明的基本步驟和書寫格式。,3、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的有關性質

2、定理和判定定理。,能夠用綜合法證明等腰三角形的有關性質定理和判定定理。,了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。,1、回顧與鞏固上學期證明(一)的有關內容;,2024年3月30日星期六,3,在生活實踐中，人離不開交流.交流必須對某些名稱和術語有共同的認識才能進行。,例如: “具有中華人民共和國國籍的人,叫做中華人民共和國公民” 是“中華人民共和國公民”的定義;,為此,就要對名稱和術語的含義加以描述

3、,作出明確的規(guī)定,也就是給出它們的定義 .,“兩點之間 線段的長度,叫做這兩點之間的距離” 是“兩點之間的距離”的定義;,“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形” 是“平行四邊形”的定義;,你還能舉出曾學過的“定義”嗎?,名詞、術語 與 定義,2024年3月30日星期六,4,下圖表示某地的一個灌溉系統(tǒng).,上面“如果……,那么……”都是對事情進行判斷的語句.判斷一件事情的句子,叫做命題.,如果B處水流受到污染

4、,那么 處水流便受到污染;如果C處水流受到污染,那么 處水流便受到污染;如果D處水流受到污染,那么 處水流便受到污染;……,A,,,,,,,,,,,,,,,,,B·,C ·,E ·,· F,H ·,· G,D ·,K ·,J ·,· I,C,E,F,G,E,K,判斷 與

5、 命題,2024年3月30日星期六,5,下列句子都是命題嗎？,(4)無論n為怎樣的自然數(shù)，式子n2-n+11的值都是質數(shù)；,(2)任何一個三角形一定有直角；,(1)熊貓沒有翅膀；,(3)對頂角相等；,反之,如果一個句子沒有對某一伯事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:,(1)你喜歡數(shù)學嗎?,(2)作線段AB=CD.,(5)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.,命題一般都寫成“如果……,那么

6、……”的形式,你能把上面的命題都寫成“如果……,那么……”的形式嗎?,命題 的 一般形式,2024年3月30日星期六,6,命題的 真 、偽,,,題設,結論,已知事項,由已知事項推出的事項,如果題設成立，那么結論一定成立,題設成立時，不能保證結論還是正確的,說明一個命題是假命題，只要舉出一個雖然具備題設條件，但結論不成立的例子（反例）,（反例只需舉出一個，就可說明原命題是假命題）,C,2024年3月30日星期六,7,1.兩直線被第三

7、條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等;4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;5.三邊對應相等的兩個三角形全等;6.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.,公理、定理 與 證明,【公理】,【證明】,【定理】,公認的真命題稱為公理(axiom).,,經(jīng)過證明的真命題稱為定理(theorem).,除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方

8、法證實.,推理的過程稱為證明.,本套教材選用如下命題作為公理 :,2024年3月30日星期六,8,幾何的三種語言、平行線的判定,公理、定理及由它們直接推出來的結論(推論),以后可以直接運用.,【公理】,同位角相等,兩直線平行.,∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.,∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.,∵∠1+∠2=180? , ∴ a∥b.,2024年3月30日星期六,9,幾何的三種語言、平行線的性質,【公理】,兩直線平行,同位角相等.,∵ a∥

9、b, ∴ ∠1=∠2.,∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2.,【性質定理 1 】,兩直線平行,內錯角相等.,【性質定理 2 】,兩直線平行,同旁內角互補.,∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=180? .,公理、定理及由它們直接推出來的結論(推論),以后可以直接運用.,2024年3月30日星期六,10,幾何的三種語言、三角形內角和定理,△ABC中,∠A+∠B+∠C=180o.,∠A+∠B+∠C=180o 的幾種變形: ∠A=180o –(∠B+∠

10、C). ∠B=180o –(∠A+∠C). ∠C=180o –(∠A+∠B). ∠A+∠B=180o –∠C. ∠B+∠C=180o –∠A. ∠A+∠C=180o –∠B.,【三角形內角和定理】,三角形三個內角的和等于180o.,公理、定理及由它們直接推出來的結論(推論),以后可以直接運用.,2024年3月30日星期六,11,幾何的三種語言、關注三角形的外角,△ABC中: ∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>

11、∠3.,【三角形內角和定理的推論】,【推論1】,三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.,三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.,直角三角形的兩銳角互余.,【推論2】,【推論3】,公理、定理及由它們直接推出來的結論(推論),以后可以直接運用.,2024年3月30日星期六,12,有關三角形全等的一些結論,【公理】,三邊對應相等的兩個三角形全等 .,(SSS),兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等 .,兩角及其夾邊對應相等的兩

12、個三角形全等 .,全等三角形的確對應邊、對應角相等.,兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 .,(SAS),(ASA),(AAS),【公理】,【公理】,【推論】,【公理】,,運用上述公理和已經(jīng)證明的定理及其推論，我們還可以證明有關三角形的一些其它的結論。,2024年3月30日星期六,13,駛向勝利的彼岸,學好幾何的標志是會“證明”,證明命題的一般步驟:,(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結論(求證);,(2)根據(jù)題意,畫出

13、圖形;,(3)結合圖形,用符號語言 寫出“已知”和“求證”;,(4)分析題意,探索證明思路,(5)依據(jù)思路,運用數(shù)學符號和數(shù)學語言 條理清晰地寫出證明過程;,(6)檢查表達過程是否正確,完善.,(由“因”導“果”,執(zhí)“果”索“因”.);,2024年3月30日星期六,14,等腰三角形的性質——的驗證與證明,(2) 你能動手來證明這些結論嗎嗎？,,底邊,,,頂角,,等腰三角形的兩個底角相等.,簡稱:,等邊對等角.,驗證方法,用折紙重疊

14、法.,,以底邊的中線為折痕,,,2024年3月30日星期六,15,“等邊對等角”——由實驗到論證,(2) 你能動手來證明這些結論嗎嗎？,(3) 你能利用已有的公理和定理 來證明“等邊對等角”這一結論嗎 ？,把折好的紙打開,不難發(fā)現(xiàn)折痕兩旁的的兩個三角形全等。,由此實驗得到啟發(fā)——折痕就是我們用于證明時要添加的輔助線。,注意千萬不要忘記書寫的基本格式——,寫“已知”、“求證”、“證明”。,2024年3月30日星期六,16,等

15、腰三角形的 “三線合一”,在上述問題中，折痕AD,是等腰三角形ABC的怎樣的線？,線段AD的還具有怎樣的性質？,為什么？,由此你能得到什么結論？,等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。,“等邊對等角”定理 的推論：,線段AD是BC邊的中線、,∠BAC的平分線、,邊BC上的高。,2024年3月30日星期六,17,隨堂練習 學好數(shù)學的訣竅,1、證明：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60?。,做題