第四章 直梁的彎曲

1、2024/3/30,1,第四章 直梁的彎曲,第一節(jié) 梁的彎曲實(shí)例與概念,以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱(chēng)為梁。,2024/3/30,2,在內(nèi)部液體和自重的作用下，臥式容器會(huì)發(fā)生彎曲變形。,2024/3/30,3,起吊重物時(shí)，橋式吊車(chē)的吊車(chē)梁就會(huì)發(fā)生彎曲變形,2024/3/30,4,安裝在室外的受到風(fēng)載的作用的塔設(shè)備,2024/3/30,5,受管道重量的作用要發(fā)生變形的管道托架,2024/3/30,6,,,,,,,工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題,

2、2024/3/30,7,桿狀構(gòu)件，當(dāng)受到垂直于桿軸的外力或在桿軸平面內(nèi)受到外力偶的作用時(shí)，桿的軸線將由直線變成曲線，這種變形稱(chēng)為彎曲變形。工程上把以彎曲變形為主的桿件統(tǒng)稱(chēng)為梁。,梁的概念,2024/3/30,8,受力特點(diǎn)：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)，受到垂直于梁的軸線的力或力偶作用，使構(gòu)件的軸線在此平面內(nèi)彎曲為曲線，這樣的彎曲稱(chēng)為平面彎曲。,2024/3/30,9,平面彎曲的概念,我們以矩形截面梁為例說(shuō)明的彎曲,,,,,,矩形截面梁有一個(gè)縱

3、向?qū)ΨQ(chēng)面,,,,,,當(dāng)外力都作用在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，彎曲也發(fā)生在該對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，我們稱(chēng)之為平面彎曲。,,,,,,,,,,,,因此，我們可以用梁軸線的變形代表梁的彎曲,,2024/3/30,10,通過(guò)梁的軸線和截面對(duì)稱(chēng)軸的平面叫做縱向?qū)ΨQ(chēng)面。,多數(shù)情況下，梁上的外力均垂直于梁的軸線，并作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，在這樣的外力作用下，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)彎曲成為一條平面曲線，這種彎曲變形稱(chēng)為平面彎曲。,2024/3/30,11,梁的類(lèi)型,2024/3/

4、30,12,梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖,研究對(duì)象：等截面的直梁，且外力作用在梁對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的平面力系。,1.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。,2.梁的支座簡(jiǎn)化(平面力系)：,a)活動(dòng)鉸鏈支座,b)固定鉸鏈支座,c)固定端,,,2024/3/30,13,3.靜定梁—僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁,(a)懸臂梁,(b)簡(jiǎn)支梁,(c)外伸梁,4.作用在梁上的荷載可分為:,(a)集中載荷,集中力,M,,,,集中力偶,(b)分布載荷,q

5、(x),,,,,,,,,,,,,,任意分布載荷,q,,,,,,,,,,,,,,均布載荷,2024/3/30,4、求支座反力的平衡方程,求解梁彎曲問(wèn)題必須在梁上建立直角坐標(biāo)系,求支座反力要利用外載荷與支座反力的平衡條件,舉例說(shuō)明,,,,,,P,左邊固定鉸鏈支座，有兩個(gè)約束反力,,A,B,,,,,右邊活動(dòng)鉸鏈支座，1個(gè)約束反力,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/3/30,15,再以懸臂梁為例,,,,假設(shè)該懸臂梁承受均

6、布載荷,,,,,,,,,,q,,,l,固定端有3個(gè)約束反力,,Rx,Ry,A,B,,MA,建立平衡方程求約束反力,,,,,,,,,,,,,,,2024/3/30,16,第二節(jié) 梁橫截面上的內(nèi)力— 剪力和彎矩,一、截面法求內(nèi)力—剪力Q和彎矩M,,,,,2024/3/30,17,,,2024/3/30,18,內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下：,2024/3/30,19,,,,,剪力正負(fù)號(hào),,,對(duì)所取截面上任一點(diǎn)的力矩順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù),Q,Q,正

7、,負(fù),剪力的計(jì)算法則：梁內(nèi)任意指定截面內(nèi)的剪力，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所用橫向外力的代數(shù)和，凡是對(duì)該截面中性軸形成順時(shí)針轉(zhuǎn)向力矩的外力取正值，反之取負(fù)值。,2024/3/30,20,,2024/3/30,21,,,,,彎矩正負(fù)號(hào),,,,,M,M,M,M,正,負(fù),,,使梁下凹為正，向上凸為負(fù),彎矩的計(jì)算法則：任一橫截面內(nèi)的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有橫行外力對(duì)該截面中性軸取矩的代數(shù)和，凡向上的外力，其矩取正值，向下的外力，其矩取負(fù)值。,

8、2024/3/30,22,,截面左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶或截面右側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負(fù)值,2024/3/30,23,截面法求剪力和彎矩,,,,,,P1,P2,,,RAy,A,B,RAx,RB,,,,,P1,,RAy,,a,,a,,M,,Q,對(duì)截面中心建立力矩平衡方程,,m,m,,,,,,,,,,,,,,,,RAx,,,,2024/3/30,24,說(shuō)明：,1、一般情況下，x 方向的約束反力為零。,2、如果不求剪力，可以不建立 y

9、方向的平衡方程。,3、不考慮剪力時(shí)，彎矩平衡方程一定要建立在截面的中心。,2024/3/30,25,第三節(jié) 彎矩方程與彎矩圖,一、剪力方程式和彎矩方程式,,二、內(nèi)力圖—剪力圖和彎矩圖,2024/3/30,26,例4-1．簡(jiǎn)支梁受集度為q的均布荷載作用，畫(huà)出此梁的剪力圖和彎矩圖。,,2024/3/30,27,例4-2．簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載P作用，畫(huà)出此梁的剪力圖和彎矩圖。,,,2024/3/30,28,例4-3．簡(jiǎn)支梁在C處受一集中

10、力偶mC的作用，畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。,,,,2024/3/30,29,2024/3/30,30,,2024/3/30,31,,2024/3/30,32,內(nèi)力圖的一些規(guī)律：,1、q(x)=0：一段梁上無(wú)均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線，彎矩圖為一斜直線；2、q(x)=常數(shù)：一段梁上有均布荷載，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當(dāng)均布荷載q(x)向下時(shí)，彎矩圖凸向上，當(dāng)均布荷載向上時(shí)，曲線凸向下；3、彎矩的極值：若梁的某一截面

11、上的剪力Q(x)=0，則該截面的彎矩為一極值；,2024/3/30,33,內(nèi)力圖的一些規(guī)律：,4、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突變方向與集中力方向一致，突變絕對(duì)值等于集中力數(shù)值，彎矩圖上形成尖角；5、集中力偶作用處：此處剪力圖無(wú)變化，彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的數(shù)值。,2024/3/30,34,第四節(jié) 彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力及其分布規(guī)律,一、純彎曲的變形特征,2024/3/30,35,各橫截面上同時(shí)有彎矩M和剪力

12、Q，稱(chēng)為剪切彎曲。各橫截面只有彎矩M，而無(wú)剪力Q，稱(chēng)為純彎曲。,2024/3/30,36,純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱(chēng)為彎曲問(wèn)題的平面假設(shè)。,2024/3/30,37,中性層和中性軸,,,,,,,,,中性層,梁彎曲變形時(shí)，既不伸長(zhǎng)又不縮短的縱向纖維層稱(chēng)為中性層。,對(duì)矩形截面梁來(lái)講，就是位于上下中間這一層。,中性軸,中性層與橫截面的交線。,,,,,,梁彎曲時(shí)，實(shí)際上各個(gè)截面繞著中性軸

13、轉(zhuǎn)動(dòng)。,,,如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長(zhǎng)、上部將縮短,,,2024/3/30,38,二、橫截面上的正應(yīng)力,變形幾何條件,物理?xiàng)l件：彈性范圍內(nèi),,2024/3/30,39,靜力平衡,2024/3/30,40,J—橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩，m4,W—稱(chēng)為抗彎截面模量，單位為：cm3。,梁純彎曲時(shí)橫截面上的最大正應(yīng)力的公式為：,2024/3/30,41,橫力彎曲,橫截面翹曲，橫向力引起擠壓應(yīng)力平面假設(shè)和各縱向纖維不互相擠壓不成

14、立均布載荷作用下的矩形截面簡(jiǎn)支梁，L/h>5時(shí)，按純彎曲正應(yīng)力計(jì)算，誤差<1%。,2024/3/30,42,2024/3/30,43,梁的危險(xiǎn)截面,梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上,,,,,,,,,,,,,,,危險(xiǎn)截面位于梁中部,,,,,,,,,危險(xiǎn)截面位于梁根部,梁的最大正應(yīng)力,梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處,,,,,,,,,,,,,,,,,第五節(jié) 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件,2024/3/30,44,梁彎曲

15、時(shí)的強(qiáng)度條件,利用強(qiáng)度條件，可對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、選擇截面尺寸及確定許可荷載。,2024/3/30,45,根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行：,1、強(qiáng)度校核:,2、截面設(shè)計(jì):,3、確定梁的許可荷載:,2024/3/30,46,例4-5 容器四個(gè)耳座支架在四根各長(zhǎng)2.4m的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字鋼為16號(hào)型鋼，鋼材彎曲許用應(yīng)力[s]=120MPa，試校核工字鋼的強(qiáng)度。,2024/3/30,47,最大彎矩

16、在梁的中間，為：,由型鋼表查得16號(hào)工字鋼的Wz=141cm3,2024/3/30,48,梁的彎矩圖如圖b 所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為,例4-6 一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。,（1）作彎矩圖， 求最大彎矩,2024/3/30,49,因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面

17、上緣受最大拉應(yīng)力，其值為,在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為,（2）求最大應(yīng)力,,例題4-5P73 一反應(yīng)釜重30kN，安放在跨長(zhǎng)為1.6m的兩根橫梁中央，若梁的橫截面采用三種形狀:,試確定梁的截面尺寸，并比較鋼材用量。矩形截面a/b=2，材料為Q235-A，許用彎曲應(yīng)力為120MPa。,簡(jiǎn)支梁，在中間受集中載荷作用，所以最大彎矩位于集中載荷作用處，由題已知得：Mmax=RA×l/2 ＝Pl/4=6000N.m,解：1.畫(huà)受

18、力圖，求約束力及最大彎矩受力圖如圖所示，由靜力學(xué)平衡方程得:RA = RB = P/2,2.根據(jù)強(qiáng)度條件，計(jì)算截面尺寸由強(qiáng)度條件得到所需最小抗彎截面模量W為：帶入數(shù)據(jù)得：W＝50cm3當(dāng)梁橫截面采用矩形平放時(shí)，解得b＝5.3cm，a＝10.6cm所以截面面積A＝53.2cm2每米（m）質(zhì)量G＝43.8kg/m,當(dāng)梁橫截面采用矩形立放時(shí)，解得a＝8.4cm，b＝4.2cm得到每米（m）質(zhì)量G＝27.5kg/m當(dāng)采

19、用工字鋼時(shí)，查附表P490A－1，得到10號(hào)工字鋼得Wz＝49cm3，與50cm3相比，不超過(guò)5％，所以可用。由此查得：截面面積A＝14.3cm2每米（m）質(zhì)量G＝11.2kg/m由此三種不同截面所需鋼材質(zhì)量比為：,例題鑄鐵制作的懸臂梁，尺寸及受力如圖所示，圖中Fp＝20kN。梁的橫截面為丁字形，形心坐標(biāo)yc＝96.4mm，截面對(duì)于z軸的慣性矩Iz＝1.02×108mm4。已知材料的拉伸許用應(yīng)力和壓縮許用應(yīng)力分別為[σ]

20、+=40MPa，[σ]- =100MPa。試校核梁的強(qiáng)度是否安全。,解：1.畫(huà)彎矩圖，判斷可能的危險(xiǎn)截面 最大負(fù)彎矩作用在B截面上。 由于拉伸許用應(yīng)力與壓縮許用應(yīng)力不相等，彎矩小的截面上最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)到中性軸的距離，大于彎矩大的截面上最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)到中性軸的距離，所以彎矩小的截面上的最大壓應(yīng)力也可能比較大，由此，A、B截面都可能為危險(xiǎn)截面。

21、 MA＝16kN ，MB＝12kN,2.根據(jù)危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力分布確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn) A、B截面上正應(yīng)力分布圖如下圖所示。由圖可以看出，對(duì)于拉應(yīng)力只需要校核A截面下邊緣（b點(diǎn)）強(qiáng)度即可；而對(duì)于壓應(yīng)力，需同時(shí)校核A截面和B截面邊緣（a和d點(diǎn)）處的強(qiáng)度。,3.計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，進(jìn)行強(qiáng)度校核截面A上的下邊緣各點(diǎn)（b點(diǎn)）：,< [σ]+=40MPa,截面A上的上邊緣各點(diǎn)（a點(diǎn)）：,< [σ]

22、－=100MPa,截面B上的下邊緣各點(diǎn)（d點(diǎn)）：,< [σ]－=100MPa,上述計(jì)算結(jié)果表明，梁的強(qiáng)度是安全的。,2024/3/30,59,第六節(jié) 提高梁彎曲強(qiáng)度的措施,一、支撐和荷載的合理布置二、選擇合理的截面形狀,,2024/3/30,60,支撐的合理布置,2024/3/30,61,載荷的合理布置,2024/3/30,62,二、選擇合理的截面形狀,2024/3/30,63,材料遠(yuǎn)離中性軸,矩形0.167h；圓形0.125

23、h；環(huán)形 0.205h 工字鋼和槽鋼(0.27～0.31)h,2024/3/30,64,等強(qiáng)度梁,2024/3/30,65,第七節(jié) 梁的彎曲變形,一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角變形后梁的軸線稱(chēng)為彈性曲線或撓曲線撓度 f梁的撓曲線方程 f = f(x)轉(zhuǎn)角θ,,2024/3/30,66,梁的抗彎剛度EJz二．梁的變形的求解直接積分法和疊加法,2024/3/30,67,直接積分法,邊界條件和連續(xù)條件,2024/3/30,68,例4-7

24、 等截面懸臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗彎剛度為EJz，求此梁的撓曲線方程以及自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,2024/3/30,69,,,疊加法,2024/3/30,70,2024/3/30,71,2024/3/30,72,例4-8 等直外伸梁AC受荷載如下圖，已知抗彎剛度EJz ，求A點(diǎn)的撓度。,2024/3/30,73,三、梁的剛度條件,變形與跨度的三次方有關(guān)用高強(qiáng)度鋼的好處,2024/3/30,74,四、變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁,