matlab矩陣分析與處理matlab全課件教程

1、第3章 MATLAB矩陣分析與處理,3.1 特殊矩陣3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3 矩陣求逆與線性方程組求解3.4 矩陣求值3.5 矩陣的特征值與特征向量3.6 矩陣的超越函數(shù),3.1 特殊矩陣3.1.1 通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機矩陣。randn：產(chǎn)生

2、均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機矩陣。,,例3.1 分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。(1) 建立一個3×3零矩陣。zeros(3) (2) 建立一個3×2零矩陣。zeros(3,2) (3) 設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A=[1 2 3;4 5 6]; %產(chǎn)生一個2×3階矩陣A

3、zeros(size(A)) %產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣,,例3.2 建立隨機矩陣：(1) 在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。(2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n

4、的二維矩陣。,,例3.2 建立隨機矩陣：(1) 在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。(2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。,,3.1.2 用于專門學(xué)科的特殊矩陣 (1)

5、 魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。,,例3.3 將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。M=100+magic(5),,(2) 范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二

6、列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積。可以用一個指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。,,(3) 希爾伯特矩陣在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)

7、invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。,,例3.4 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：format rat %以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4),,(4) 托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x, y均為

8、向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如T=toeplitz(1:6),,(5) 伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p),,(6) 帕斯卡矩陣我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三

9、角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。,,例3.5 求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。,,3.2 矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1 對角陣與三角陣1．對角陣只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩

10、陣，對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。,,(1) 提取矩陣的對角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。(2) 構(gòu)造對角矩陣設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有

11、另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+|k|)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。,,例3.6 先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...11,18,25,2,19];D=diag(1:5);D*A

12、 %用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù),,2．三角陣三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。,,(1) 上三角矩陣求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。(

13、2) 下三角矩陣在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。,,3.2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運算符是單撇號(’)。2．矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90º的k倍，當(dāng)k為1時可省略。,,3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)

14、第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。,,3.3 矩陣求逆與線性方程組求解3.3.1 矩陣的逆與偽逆對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：A·B=B·A=I (I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯

15、，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。,,如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。,3.3.2 用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性

16、方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得x=A-1b例3.8 用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b　也可以運用左除運算符“＼”求解線性代數(shù)方程組。,3.4 矩陣求值,3.4.1 方陣的行列式把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為所對應(yīng)的行列式

17、的值。在MATLAB中，求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。,,3.4.2 矩陣的秩與跡1．矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2．矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。,,3.4.3 向量和矩陣的范數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定

18、義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。,,1．向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2—范數(shù)。(2) norm(V,1)：計算向量V的1—范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計算向量V的∞—范數(shù)。,,2．矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。,,3.4.4 矩陣的條件數(shù)在MA

19、TLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。(2) cond(A)或cond(A,2) 計算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf) 計算A的 ∞—范數(shù)下的條件數(shù)。,,3.5 矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1) E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向

20、量E。(2) [V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。,,(3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。,,例3.9 用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p);

21、 %A的伴隨矩陣x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多項式p的零點,3.6 矩陣的超越函數(shù)1．矩陣平方根sqrtmsqrtm(A)計算矩陣A的平方根。2．矩陣對數(shù)logmlogm(A)計算矩陣A的自然對數(shù)。此函數(shù)輸入?yún)?shù)的條件與輸出結(jié)果間的關(guān)系和函數(shù)sqrtm(A)完全一樣,,3．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、expm3expm(