圖論法用于供水管網(wǎng)水力計算的研究

1、供水管網(wǎng)的水力平衡計算是供水系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計、經(jīng)濟(jì)評價和運(yùn)行管理的基礎(chǔ)。水力平衡計算的目的就是在確定管徑的情況下求出滿足連續(xù)方程和能量方程的各節(jié)點(diǎn)壓力水頭和各管段流量。目前常用的水力平衡計算方法有哈代-克羅斯法(Hardy-Cross)，牛頓-萊福遜法(New ton-Raphson)，線性理論法(Linear-Theory)，有限元法(Finite Element)等等。所有這些方法各有所長，適用范圍各不相同，有的還需人工假設(shè)管段流量，使

2、輸入數(shù)據(jù)工作量增大，且未考慮管網(wǎng)附件的影響。本文介紹的圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，用峰陣輸入原始數(shù)據(jù)來描述管網(wǎng)結(jié)構(gòu)，輸入的數(shù)據(jù)量最少，不易出錯，易于計算大型的復(fù)雜管網(wǎng)。其計算過程可同時考慮管網(wǎng)附件，如控制閥、加壓泵、逆止閥、減壓閥等，使計算結(jié)果更符合實際。1 圖論原理將供水管網(wǎng)中的管段概化成一條線段(即圖中的邊)，將有附件的管段看成圖中的特殊管段，邊與邊由節(jié)點(diǎn)相連。這樣，一個供水系統(tǒng)的管網(wǎng)圖就轉(zhuǎn)化為圖

3、論中的網(wǎng)絡(luò)圖。而且管道中的水流是有方向的，所以管網(wǎng)圖是有向圖。根據(jù)以上所述原則，可將圖 1 所示管網(wǎng)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化為圖 2 所示的網(wǎng)絡(luò)圖。 圖 1 圖 2圖 1 中有一水庫 A，三個給水點(diǎn) B、C、D，Q1 表示水庫節(jié)點(diǎn)供水量，Q2\,Q3\,Q4 分別表示 B、C、D 節(jié)點(diǎn)的用水量。管段視為網(wǎng)絡(luò)圖中的對應(yīng)邊，管段的直徑、管長、管道流量、摩損系數(shù)等作為管段對應(yīng)邊的權(quán)。至此，與管網(wǎng)同構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)圖生成了。圖中箭頭表示各條邊的方向，即管段中水流方向

4、。網(wǎng)絡(luò)圖中節(jié)點(diǎn)與邊的關(guān)聯(lián)函數(shù)可以用完全關(guān)聯(lián)矩陣 I4×5 表示如式(1)所示。頂點(diǎn)邊的編號(1)1，表示 j 管段與 i 節(jié)點(diǎn)相連，且管內(nèi)水流流離該節(jié)點(diǎn)；0，表示此管段不與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)； 式中：Iij= {-1，表示 j 管段與 i 節(jié)點(diǎn)相連，且管內(nèi)水流流入該節(jié)點(diǎn)。關(guān)聯(lián)矩陣通過選主元初等行變換即可得到割陣：先選關(guān)聯(lián)陣第一行中一非零枝元素為主元，并使其為+1，消去其它各行中此主元；再選第二行、第三行、…的主元，最后即得割陣 Af。

5、因此，可以由關(guān)聯(lián)矩陣導(dǎo)出割陣和環(huán)陣。2 圖論法模型任何管道的水力計算都可以用管段流量 q\,水頭損失 h\,管徑 D\,管長 L 和管壁條件 C 等 5 個因素來描述。一般 D、L 和 C 為已知條件，只有 q 和 h 未知。因此，求解一個管網(wǎng)的水力平衡問題，可從兩方面考慮：一是利用 q 和 h 的關(guān)系，消去 h，以 q 為未知量計算，求出 q 后，反求 h；二是首先消去 q，以 h為未知量計算；解出 h 之后，再反求。圖論法也可從這兩

6、方面入手，即求弦流量式和求枝摩損式。前者只適用于環(huán)狀網(wǎng)，而后者則適用于所有類型的管網(wǎng)，所以本文著重介紹后者。設(shè)一管網(wǎng)有 J 個節(jié)點(diǎn)，P 條管段，L 個環(huán)，則三者滿足 L=P-J+1 的關(guān)系。管網(wǎng)的每一管段都有 q 和 h兩個未知量，因而未知量的個數(shù)為 2P。但管網(wǎng)環(huán)方程有 L 個，線性無關(guān)的連續(xù)性方程有 J-1 個，總數(shù)為L+J-1=P 個，不能求解 2P 個未知量［１］。因此，必須借助 P 個管段摩損方程式。管段摩損方程式線性化后的通

7、式如(7)和(8)所示。系數(shù) R 稱為阻尼系數(shù)，Y 稱為傳導(dǎo)系數(shù)。R 和 Y 的具體形式與所選用的摩損公式有關(guān)，是 D、C、L 的函數(shù)。摩損公式線性化后，R 還是 q 的函數(shù)，Y 還是 h 的函數(shù)。不過，在求解過程中，總是把 R 和 Y 當(dāng)作已知量來對待。阻尼式： h=R×q (7)傳導(dǎo)式： q=Y×h (8)式中 R 和 Y 是阻尼系數(shù)和傳導(dǎo)系數(shù)矩陣。如果摩損公式采用 Hazen-William 公式，則有：h=R

8、×q=10.68q1.852L/(C1.852D4.87)=10.68L|q|0.852/(C1.852D4.87)q (9)R=10.68L|q|0.852/(C1.852D4.87) (10)Y=1/R=C1.852D4.87/(10.68L|q|0.852)=C1.852D4.87/(10.68L)|q|-0.852 (11)用 h 向量表示管段摩損：h 表示枝摩損，h′表示弦摩損；用 q 向量表示管段流量：q 枝管段流