素數(shù)在三角形正整數(shù)點陣平面上的分布

1、1素數(shù)在三角形正整數(shù)點陣平面上的分布 素數(shù)在三角形正整數(shù)點陣平面上的分布熊啟釗本文稿討論素數(shù)在三角形正整數(shù)點陣上的分布，在所涉及的點陣區(qū)域內，可見素數(shù)呈兩種斜率的直線段分布（全線段密集的分布或間斷的分布） 。分布在一維實數(shù)軸上的素數(shù)，不容易被看出其分布的特性；如果轉換到任何平面上則當別論。論及素數(shù)在平面上之分布的考查， 已知有： “烏拉姆 （1909-1984） 素數(shù)螺旋 Ulam’s prime number spiral (1963

2、)” ；季林逸《解開素數(shù)分布之迷：試論素數(shù)周期律》 （登載于《呂梁學刊》1998 年第 1 期，尚未見到全文，未能介紹） ；王敏《素數(shù)分布——素數(shù)的定義，分布和檢驗》 （見 SOSO 百科。詞條創(chuàng)建：春然。最近更新 10-02-21。 ）等等。在本稿中，把正整數(shù) 1，2，3，… 按如下圖(一)所示的三角形點陣，從上到下、從左至右，依次填寫。各水平線段上的點列稱為數(shù)行，從上到下稱為數(shù)行 1、數(shù)行 2、…、數(shù)行 i、…。各數(shù)行 i 上的的點

3、，從左至右稱為數(shù)位 1i、數(shù)位 2i、…、數(shù)位 jl、…、數(shù)位(2i-1)i。數(shù)行 i 上之數(shù)位 jl 上的正整數(shù)的值記作(i,ji)，如為素數(shù)則記作 p(i,ji)。在討論某一個問題時，每行只選定一個數(shù)位。三角形點陣中的 p(i,ji)，他們當然落在由奇數(shù)組成的豎直線上，其上還有非素數(shù)的奇數(shù)，這種情況不利于分析，我們對正整數(shù)在豎直線上的分布棄置不顧（其實，其上的素數(shù)，可分屬各傾斜線段）。正整數(shù)的這種安排，仿佛三維直角坐標：i, ji,

4、 (i, ji`) 約略相當于直角坐標的 x, y, z。圖(一)中有一個有趣的現(xiàn)象： 代表素數(shù)的點 （紅色） 落在斜率為 ±½ 的傾斜直線上 （不含正整數(shù) 2） ，或者連貫全線段，或者間斷分布在這種線段上。所謂連貫全線段，指的是代表素數(shù)的點，不遺余地地密集在，起于三角形點陣之右邊界的，止于三角形點陣之左邊界的，傾斜直線段上。我們只討論斜率為 ½的傾斜直線。[其上兩素數(shù)鄰點間之步長為√5，不排除存在其它斜率

5、和步長的線段。]在 (i, ji ) 從 1 到 1849，即筆者力能觀察到的范圍內，斜率為 ½ 的傾斜直線中，有 5 條被素數(shù)點所連貫的線段，它們是① 3、5；② 7、11、17；③ 23、31、41、53、67、83、101；④ 47、59、73、89、107、127、149、173、199、227、257（此線段上共 11 個點，圖(一)未能全部納入）；⑤ 223、251、281、313、347、383、421、461、

6、503、547、593、641、691、743、797、853、911、971、1033、1097、1163、1231、1301、1373、1447、1523、1601（此線段共 27 個點，處于上圖(一)之外）。為一睹這 5 條線段的風采，特將它們繪在圖(三)上（該圖已大大簡化）。除了這 5 條傾斜線段，不論是否還有被素數(shù)點所連貫的其它傾斜線段，也不論是否還有被素數(shù)點所覆蓋的其它幾何形態(tài)的線段，這 5 條傾斜線段的強烈特性表現(xiàn)，很能引

7、起注意，多少應能透露一點素數(shù)分布的信息。關乎此，筆者所能做到的只有，根據這種分布形式，從一已知素數(shù)計算存在于同一傾斜線段上的其它素數(shù)，來進行驗證（如屬間斷分布，當然也算出了同一傾斜線段上的合數(shù)，但無法預知） 。先寫出計算式。設行 i 的數(shù)位 jl 上的 p(i,ji) 為已知。讓我們求同一傾斜線段與行 i+1 之交點(i+1, ji+1)上的 p(i+1, ji+1)?？煽闯鰆i+1 = ji-1。 (1)又因 p(i+1, ji+1)

8、=(行 1 至行 i 上的正整數(shù)的個數(shù))+ji+1而 (行 1 至行 i 上的正整數(shù)的個數(shù))=1+3+5+…+(2i-1)= ½ [1+(2i-1)]i=i2。[其實，從圖(一)可看出，行 i 末的那個正整數(shù)就是 i2。] 于是（因(1)）p(i+1, ji+1) = i2+ji+1 = i2+ji-1。 (2)現(xiàn)在擴充上式，即求位于行 i 下方之行 I 的數(shù)位 jI（即平、斜兩線交點）上的 p(I, jI)。反復利用(1)與

9、(2)：p(i+2, ji+2) =(i+1)2+ji+2 = (i+1)2+ji+1-1=(i+1)2+ ji-2，p(i+3, ji+3) =(i+2)2+ji+3 = (i+2)2+ji+2-1=(i+1)2+ ji-3，…………，p(I, jI) =(I-1)2+jI= (I-1)2+jI-1-1=(I-1)2+ ji-(I-i)×1。 (3)(3)可寫成 p(I, jI ) =I 2 -3I+i+ ji+1。 (4)

10、3381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 ，380 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 402379 306 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

11、 252 253 254 255 256 257 326 403378 305 240 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 258 327 404377 304 239 182 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 198 259 328 405376 303 238 181 132 91

12、 92 93 94 95 96 97_ 98 99 100 101 146 199 260 329 406375 302 237 180 131 90 57 58 59_ 60 61_ 62 63 64 65 102 147 200 261 330 407374 301 236 179 130 89_ 56 31_ 32 33 34 35 36 37_ 66 103 148 201 262 331 408373 300 235 178

13、129 88 55 30 13_ 14 15 16 17_ 38 67_ 104 149 202 263 332 409372 299 234 177 128 87 54 29_ 12 3__ 4 5__ 18 39 68 105 150 203 264 333 410371 298 233 176 127 86 53_ 28 11_ 2__ 1 6 19_ 40 69 106 151 204 265 334 411370 297 23

14、2 175 126 85 52 27 10 9 8 7__ 20 41_ 70 107 152 205 266 335 412369 396 231 174 125 84 51 26 25 24 23_ 22_ 21 42 71_ 108 153 206 267 336 413368 395 230 173 124 83_ 50 49 48 47_ 46 45 44 43 _72 109 154 207 268 337 414367 3

15、94 229 172 123 82 81 80 79_ 78 77 76 75 74 73_ 110 155 208 269 338 415366 393 228 171 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 156 209 270 339 416365 392 227 170 169 168 167 166 165 164 163 162 161 160 159 158 157

16、 210 271 340 417364 291 226 225 224 223 222 221 220 219 218 217 216 215 214 213 212 211 272 341 418363 290 289 288 287 286 285 284 283 282 281 280 279 278 277 276 275 274 273 342 419362 361 360 359 358 357 356 355 354 35

17、3 352 351 350 349 338 347 346 345 344 343 420441 440 439 438 437 436 435 434 433 432 431 430 429 428 427 426 425 424 423 422 421圖二 烏拉姆素數(shù)螺旋,請注意在東、北東、北等八個方向上的素數(shù)直線分布□ 01□■□ 02■□■□□ 03□■□□□□□ 04■□□□□□■□□ 05□□□□□■□□□□□ 06□□□□

18、■□□□□□■□□ 07□□□■□□□□□■□□□□□ 08□□■□□□□□■□□□□□□□□ 09□■□□□□□■□□□□□□□□□□□ 10■□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□ 11□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□ 12□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 13□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 14□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□ 15□■□□□□□

19、□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□ 16■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□□□□ 17□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□□□□□□□ 18□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□□□□□□□□□□ 19□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□□□□□□□□□□□□□ 20□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ■□□□□□□□□□□

20、□□□□□□□□□□ 21□□□□□□□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 22□□□□□□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 23□□□□□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 24□□□□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 25□□□□□□□□□□□

21、□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 26□□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 27□□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 28□□□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 29□□□

22、□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 30□□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 31□□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 32□□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

23、□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 33□□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 34□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 35□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

24、□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 36□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 37□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 28□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

25、□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 39□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 40■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 41□□□□□□□