Zeilberger算法及其應(yīng)用.pdf

1、本篇論文主要研究了Zeilberger算法的一些最新進(jìn)展，其中包括Zeilberger算法的q模擬形式(簡(jiǎn)稱q-Zeilberger算法)的終止條件，運(yùn)用q-Zeilberger算法證明無(wú)窮基本超幾何恒等式，以及利用Zeilberger算法來(lái)證明雙重和恒等式。在第一章中，我們介紹了Zeilberger算法的一些背景和論文中使用的一些記號(hào)和基本定義。 在第二章中，我們解決了一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題：在什么情形下q-Zeilberger算法終止

2、。當(dāng)給定的q-雙超幾何項(xiàng)是關(guān)于q，qn，qk的有理函數(shù)時(shí)，Le給出了這種特殊情形下的解答。我們給出了這個(gè)問(wèn)題在一般情形下的解答，對(duì)q-Zeilberger算法終止的q-雙超幾何項(xiàng)給出了一個(gè)刻畫(huà)。首先，對(duì)給定的q-雙超幾何項(xiàng)T(n，k)，應(yīng)用Abdramov-Petkov(s)ek提出的方法，我們給了一個(gè)算法q-decomp。該算法給出T(n，k)的一個(gè)加性分解：T(n，k)=(K-1)T1(n，k)+T2(n，k)。同時(shí)，我們證明了由算

3、法q-decomp計(jì)算得到的q-雙超幾何項(xiàng)T2(n，k)具有很好的性質(zhì)。緊接著，我們對(duì)q-雙超幾何項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。由q-雙超幾何項(xiàng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)以及遞歸關(guān)系式中一些因子的整除性，得到結(jié)論：對(duì)于由上面q-decomp算法得到的T2(n，k)，q-Zeilberger終止當(dāng)且僅當(dāng)T2(n，k)是q-正則超幾何項(xiàng)。由此得到本章的主要結(jié)果—對(duì)任意的q-雙超幾何項(xiàng)T(n，k)，q-Zeilberger算法是否終止的判別標(biāo)準(zhǔn)。最后，我們還給了一個(gè)算

4、法，用于判斷是否可以用q-Zeilberger算法找到給定q-雙超幾何項(xiàng)T(n，k)所滿足的遞歸關(guān)系。 在第三章中，我們給出了一個(gè)證明無(wú)窮基本超幾何恒等式的系統(tǒng)方法。設(shè)f(a，…，c)=∑ktk(a，…，c)是一個(gè)無(wú)窮基本超幾何級(jí)數(shù)，其中k是求和下標(biāo)。通過(guò)引進(jìn)一個(gè)新參數(shù)n，也即將一些參數(shù)a，…，c替換成aqn，…，cqn，求和項(xiàng)tk(a，…，c)就變成了一個(gè)關(guān)于n和k的q-雙超幾何項(xiàng)，此時(shí)應(yīng)用q-Zeilberger算法，就可以

5、得到f(a，…，c)所滿足的遞歸關(guān)系。當(dāng)遞歸關(guān)系是一階的或只有首末兩項(xiàng)時(shí)，f(a，…，c)就等于極限limN→∞f(aqN,…，cqN)乘以一個(gè)無(wú)窮乘積，從而我們可以直接計(jì)算得到f(a，…，c)的值。當(dāng)遞歸關(guān)系包含三項(xiàng)或三項(xiàng)以上時(shí)，我們證明了無(wú)窮基本超幾何級(jí)數(shù)f(a，…，c)在一定的收斂條件下，由它所滿足的遞歸關(guān)系和極限limN→∞f(aqN，…，cqN)所唯一確定。因此要證明一個(gè)恒等式，只需驗(yàn)證恒等式兩邊是否滿足相同的遞歸關(guān)系和恒等式

6、兩邊是否具有相同的極限值。這種方法可以證明由Gasper和Rahman所撰寫(xiě)的書(shū)中幾乎所有的無(wú)窮基本超幾何求和公式，以及許多經(jīng)典變換公式。 在第四章中，我們提出了一個(gè)證明超幾何的雙重和恒等式的方法。首先研究了關(guān)于雙超幾何項(xiàng)的Gosper算法。設(shè)F(n，i，j)是一個(gè)超幾何項(xiàng)，Gosper算法的目標(biāo)是尋找有理函數(shù)R1(n，i，j)和R2(n，i，j)使得F=△i(R1F)+△j(R2F)。利用遞歸關(guān)系式中一些因子的整除性，在三個(gè)假

7、定條件下，可以證明R1和R2的分母一定含有某些因子，而這些因子是由F(n，i，j)直接計(jì)算而得。然后通過(guò)類(lèi)似的討論，可以得到遞歸關(guān)系LF=△i(R1F)+△j(R2F)中有理函數(shù)R1(n，i，j)和R2(n，i，j)的分母的一個(gè)估計(jì)，其中L=a0(n)N0+a1(n)N1+…+ar(n)Nr是一個(gè)差分算子。把這些因子作為分母，通過(guò)猜測(cè)分子的次數(shù)和求解線性方程組，就可以得到R1和R2的分子。最后，我們給了算法EstDen和算法BiZeil