特殊三角剖分上的多元樣條及其應(yīng)用.pdf

1、多元樣條在函數(shù)逼近、計(jì)算幾何、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和有限元等領(lǐng)域中均有很廣泛的應(yīng)用.在本文中,我們一方面繼續(xù)研究某些有很重要應(yīng)用價(jià)值的特殊三角剖分上的多元樣條,著重討論了均勻2-型三角剖分上樣條空間的性質(zhì),同時(shí)也考慮了一般三角化四邊形剖分和三維空間中四面體剖分的情況.另一方面積極地將多元樣條理論方面獲得的結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際工程中,如計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和有限元方法.主要工作如下:在第二章中,我們討論了2-型三角剖分上異度樣條空間的性質(zhì).考慮當(dāng)剖

2、分是均勻的情況,這種剖分是一類特殊的貫穿剖分,也稱為四方向剖分,因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,對(duì)稱性好,在實(shí)際中有很廣泛的應(yīng)用.為了擺脫刻劃樣條次數(shù)和光滑度之間關(guān)系的基本不等式的限制,考慮分別在矩形剖分線和對(duì)角剖分線上采用不同的光滑度,從而獲得了更多樣條空間上的豐富結(jié)果.我們主要討論了應(yīng)用比較廣泛的三次和四次樣條空間的情況.借助光滑余因子協(xié)調(diào)法,我們構(gòu)造了各個(gè)空間的具有局部支集的樣條基函數(shù),并利用這些基函數(shù)構(gòu)造保持高階精度的樣條擬插值算子,深入討論了

3、它們的逼近性質(zhì),給出了逼近誤差的估計(jì),同時(shí)利用擬插值算子討論了樣條空間的逼近階.在第三章中,我們研究了二元樣條函數(shù)在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.非均勻有理B樣條(NURBS)方法已經(jīng)成為用于曲線曲面描述的廣為流行的技術(shù).但是,采用張量積形式的傳統(tǒng)NURBS方法也存在一些不足.其一,由于基函數(shù)是一元B樣條基的張量積,使得其參數(shù)域只能是矩形區(qū)域.而對(duì)于非規(guī)則的參數(shù)域,只能由矩形域上的NURBS曲面經(jīng)過裁剪和拼接得到.但是,一方面裁剪是昂貴的

4、,而且有數(shù)值誤差;另一方面,要在曲面的接縫處保持光滑,即使是近似的平滑也是困難的.從控制頂點(diǎn)的角度看,張量積型的基函數(shù)使得控制頂點(diǎn)在拓?fù)渖媳仨毼挥诰匦尉W(wǎng)格上.這意味著,NURBS曲面的大部分控制頂點(diǎn)的存在只是為了滿足這種拓?fù)浼s束,它們并不含有特別的幾何信息,因此是冗余的.其二,張量積的基函數(shù)使得曲面的次數(shù)升高.例如,一張p×q次的B樣條曲面雖然在等參數(shù)線上是p或者q次的參數(shù)曲線,但整個(gè)曲面的次數(shù)卻為p+q次.代數(shù)次數(shù)較高的曲面使得與之相

5、關(guān)的運(yùn)算變得更復(fù)雜,甚至影響曲面的幾何性質(zhì),如出現(xiàn)多余的拐點(diǎn)等.這些缺陷,都是張量積型曲面本身不能克服的.而現(xiàn)階段對(duì)非張量積型參數(shù)曲面的研究只限于三角域(單純形)上的Bernstein-Bézier(B-B)曲面,由于參數(shù)域的不同,不可能直接將三角域上的B-B曲面轉(zhuǎn)化到四邊形區(qū)域上去.為了解決上述問題,我們采用具有局部支集的二元B樣條基函數(shù)構(gòu)造非張量積型的NURBS曲面.對(duì)于矩形參數(shù)域,我們利用2-型三角剖分上各樣條空間中的基函數(shù)系統(tǒng)地

6、構(gòu)造了二次、三次和四次非張量積型NURBS曲面.由于每個(gè)二元B樣條基具有單獨(dú)的局部支集,并可以根據(jù)各種參數(shù)域的形狀選取滿足相應(yīng)光滑度和支集形狀的樣條基,而且整體次數(shù)較低,從而能夠很好地克服上述傳統(tǒng)NURBS曲面由張量積引起的問題.與這些基函數(shù)所對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)也不再要求必須位于矩形網(wǎng)格上.在第四章中,我們討論了樣條有限元方法.現(xiàn)階段,樣條函數(shù)在有限元方法中的應(yīng)用多數(shù)是一元的B樣條或者張量積型的B樣條,而對(duì)于多元樣條,只有少數(shù)的文獻(xiàn)研究了2