工程應(yīng)用中大型系統(tǒng)的模型降階.pdf

1、本文提出了一些降階方法主要屬于第一類的基于Krylov子空間的降階方法。此外，本文還提出了線性系統(tǒng)的時(shí)域小波(Wavelet)降階方法，并和已有的時(shí)域Chebyshev降階方法[Wang2002]作了比較。本文在下列幾章分別詳細(xì)闡述提出的一些方法。 在第一章中，先討論了兩種基于Krylov子空間的不同的投影過程，然后選擇其中的一種作為以下討論的理論基礎(chǔ)。 在第二章中，討論了線性系統(tǒng)的模型降階方法。在第一節(jié)提出線性系統(tǒng)的時(shí)

2、域小波降階方法，并詳細(xì)地與已有的Chebyshev時(shí)域模型降階方法比較[Wang2002]。我們利用了電路系統(tǒng)特有的稀疏性提出了關(guān)于求解小波系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的Sylvester方程的高效算法，即不完全Shur分解方法。求解小波系數(shù)矩陣是時(shí)域小波降階的關(guān)鍵，能否快速求解系數(shù)矩陣所對(duì)應(yīng)的Sylvester方程關(guān)系到整個(gè)小波降階方法的有效性。數(shù)值模擬的結(jié)果表明小波降階方法在模擬快速變化3的電路時(shí)比Chebyshev降階方法[Wang2002]更為

3、有效。第二節(jié)我們將線性系統(tǒng)的模型降階方法引入電化學(xué)領(lǐng)域的快速模擬中，這是目前該領(lǐng)域進(jìn)行快速模擬的創(chuàng)新方法，模擬的結(jié)果表明模型降階方法能夠有效的進(jìn)行該領(lǐng)域線性系統(tǒng)的快速模擬。 時(shí)域小波降階方法提出的背景是在集成電路領(lǐng)域，特征尺寸越來越小，集成電路已經(jīng)步入納米時(shí)代。集成電路的規(guī)模已經(jīng)達(dá)到giga量級(jí)，時(shí)鐘信號(hào)的速度達(dá)到gigahertz(GHz)。在現(xiàn)代的大規(guī)模集成電路中，信號(hào)在互連網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中，信號(hào)完整性以及信號(hào)延遲的影響主宰了

4、整個(gè)系統(tǒng)的性能[Gao1990，Hasegawa1984，Dai1992]。盡管許多互連電路著名的模型只由線性電子元件構(gòu)成，比如：電阻，電容，電感，互感[Pillage1990]，但由于規(guī)模很大，仍然很難對(duì)其進(jìn)行模擬。因此，互連網(wǎng)絡(luò)的模擬在現(xiàn)代工業(yè)應(yīng)用和科學(xué)研究中成為一個(gè)很有挑戰(zhàn)性的研究熱點(diǎn)。 目前模型降階的方法被證明是對(duì)大規(guī)模電路進(jìn)行快速模擬的很有效的方法。許多對(duì)線性系統(tǒng)的模型降階方法都是基于系統(tǒng)的頻域傳遞函數(shù)矩匹配的原理，通

5、過逼近傳遞函數(shù)的矩來得到降階的模型。例如經(jīng)典的方法AWE[Pillage1990]，PVL[Feldmann1995a]，這兩種方法已經(jīng)在電路模擬中被廣泛應(yīng)用。然而，在許多情況下，即使降階后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)很精確，降階系統(tǒng)在時(shí)域的響應(yīng)卻不是很精確。這是由于在現(xiàn)代技術(shù)中，系統(tǒng)工作的頻率不斷增長(zhǎng)，互連電路的磁耦合的影響越來越嚴(yán)重，造成信號(hào)的完整性問題，比如信號(hào)波形的overshootingandundershooting現(xiàn)象使得互連線的沖擊

6、響應(yīng)在波形上變得越來越復(fù)雜[Wang2002]。特別是，信號(hào)波形的快速變化使得基于頻域近似的降階方法不能夠在時(shí)域內(nèi)得到精確的波形。因此需要有直接在時(shí)域進(jìn)行降階的方法來代替頻域降階方法，從而能夠得到精確的時(shí)域響應(yīng)。與頻域降階方法對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行逼近不同，時(shí)域降階方法直接用狀態(tài)空間的基函數(shù)來逼近系統(tǒng)的狀態(tài)變量比如基于Chebyshev基函數(shù)的降階方法[Wang2002]以及基于一般的正交多項(xiàng)式的降階方法[Wang2002]。例如，Chebys

7、hev降階方法[Wang2002]是用Chebyshev函數(shù)來逼近系統(tǒng)的時(shí)域狀態(tài)變量。通過計(jì)算Chebyshev基函數(shù)關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣，可以把系數(shù)矩陣的列正交化得到一個(gè)投影矩陣，然后把系統(tǒng)的狀態(tài)變量投影到這個(gè)投影矩陣所在的子空間上，從而得到系統(tǒng)的降階模型。這個(gè)方法在4[Wang2002]中被用來和傳統(tǒng)的頻域降階方法比較，并被證明此方法比傳統(tǒng)的頻域降階方法更為精確和有效。 第三章針對(duì)微機(jī)電領(lǐng)域(MEMS)中的一個(gè)熱學(xué)問題

8、提出了兩種參數(shù)系統(tǒng)的模型降階方法。由這個(gè)熱學(xué)問題建立起來的模型是一個(gè)帶參數(shù)的線性系統(tǒng)。而傳統(tǒng)的模型降階方法只能處理不帶參數(shù)的系統(tǒng)，即系統(tǒng)矩陣是常數(shù)矩陣，矩陣中的元素是固定的取值。而為了更精確的描述一些物理系統(tǒng)，許多應(yīng)用問題建立的起來的模型都帶有一些可變的參數(shù)[Daniel2004]。這些參數(shù)的值可以根據(jù)需要隨時(shí)調(diào)整。為了觀察系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于不同參數(shù)的取值條件下的不同特性，參數(shù)每改變一次，必須對(duì)原有的系統(tǒng)重新模擬一次，計(jì)算參數(shù)值改變后的系統(tǒng)的輸

9、出，從而驗(yàn)證系7統(tǒng)的不同特征。如果需要驗(yàn)證許多種不同參數(shù)的取值，那么就必須對(duì)原有的大規(guī)模系統(tǒng)進(jìn)行許多次模擬。顯然會(huì)導(dǎo)致很大的計(jì)算量。參數(shù)模型降階的目的就是要用一個(gè)小規(guī)模的帶參數(shù)的系統(tǒng)代替原來的參數(shù)系統(tǒng)，使得原系統(tǒng)的所有參數(shù)都被保留在這個(gè)小規(guī)模系統(tǒng)中，并且這個(gè)小的參數(shù)系統(tǒng)的精度不會(huì)隨參數(shù)值的變化而變壞，即小的參數(shù)系統(tǒng)對(duì)任何參數(shù)的取值都能保證其精度在可接受的范圍內(nèi)。然而，傳統(tǒng)的模型降階方法不能得到這樣的參數(shù)降階模型，因?yàn)檫@些方法只能對(duì)任意一

10、組固定的參數(shù)進(jìn)行一對(duì)一的降階，這就表明如果我們需要驗(yàn)證許多組的參數(shù)取值，那么傳統(tǒng)的模型降階方法必須計(jì)算許多個(gè)降階模型，每個(gè)降階模型對(duì)應(yīng)每一組參數(shù)的取值。這樣的降階方法是很不實(shí)用的。在本章中，我們提出了兩種參數(shù)模型降階方法，一種方法是啟發(fā)式的方法，目前還沒有被理論證明，但是數(shù)值例子的模擬結(jié)果表明這種降階方法至少對(duì)于處理帶一個(gè)參數(shù)的系統(tǒng)是非常有效的。另外一種方法是基于對(duì)參數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行多級(jí)數(shù)展開的方法。數(shù)值模擬的結(jié)果非常精確。另外，近