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文檔簡介
1、圖論是近幾十年來發(fā)展十分迅速的一個新興的數(shù)學(xué)分支.從古老的5個柏拉圖立體開始,對稱和正則圖形始終是數(shù)學(xué)中最引人入勝的一個研究方向.即使是現(xiàn)在,這個領(lǐng)域仍有很多富有挑戰(zhàn)性的問題.許多正則性質(zhì)自然的表現(xiàn)為結(jié)合方案,其中P-多項(xiàng)式方案實(shí)質(zhì)上就是距離正則圖. 上世紀(jì)七十年代初,英國數(shù)學(xué)家Biggs首先提出距離正則圖這一概念,接著他和一批數(shù)學(xué)家Gardiner,Smiths,Brouwer,Bannai和Ito等建立了距離正則圖的基本理論
2、.近幾十年,距離正則圖理論的研究非常活躍,并且與圖論,設(shè)計(jì)理論,碼論,幾何論和群論都有密切的聯(lián)系,是代數(shù)組合論的一個重要分支. 距離正則圖的分類問題一直是距離正則圖研究中的一個重要的問題.Ivanov指出距離正則圖Г的直徑d(Г)由價(jià)k和r(Г)的函數(shù)定界,從而為了對固定價(jià)k的距離正則圖進(jìn)行分類,主要的工作就在于確定r(Г)的上界. 對于一個距離正則圖Г,當(dāng)α1=1或c2=1時,每一個極大團(tuán)的大小都為s+1=α1+2,不
3、存在同構(gòu)于K2,1,1的導(dǎo)出子圖,從而我們可以在此情形下只考慮階為(s,t)的距離正則圖. 對于階為(s,t)的距離正則圖.t=0,1,2時,Mohar,,Ito,Biggs,Boshier,Shawe-Taylor,Bannai,Hiraki,Nomura,Suzuki和Yamazaki等數(shù)學(xué)家經(jīng)過二三十年的研究,已經(jīng)完全解決了.t=3時并沒有太多相關(guān)分類的結(jié)論.當(dāng)s=1時,階為(1,3)的距離正則圖是價(jià)為4,α1=0的圖.上
4、世紀(jì)八十年代末,Bannai和Ito證明了價(jià)為4的距離正則圖的直徑存在界,但當(dāng)時并沒有得到完整的分類.直到1999年,Brouwer和Koolen應(yīng)用計(jì)算機(jī)搜索,得到了這類圖的完全分類.Suzuki指出:s>1是一個限制性很強(qiáng)的條件,在t=3時,對階為(2,3),(3,3),(4,3)的距離正則圖的研究是很有意義的. 目前尚未解決的最小的情形就是階為(2,3)的距離正則圖,本文我們所考慮的就是階為(2,3)并且?guī)缀螄L為偶數(shù),即
5、cr+1>1的距離正則圖的分類情況. 本文主要應(yīng)用組合和代數(shù)兩種方法.首先用組合方法分析交叉表中所有可能的參數(shù),將不存在的交叉數(shù)排除,剩下有限多個僅依賴于r的交叉表的情形;第二步就是用代數(shù)方法進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,得到r的上界;再應(yīng)用計(jì)算機(jī)對剩下的有限種情況一一計(jì)算,利用圖特征值重?cái)?shù)的整數(shù)性排除不可能的交叉表,從而大大壓縮了直徑d可能的范圍,為階為(2,3),幾何圍長是偶數(shù)的距離正則圖的完全分類起了重大的作用。 文章共分為三章.
6、 第一章主要介紹了有關(guān)距離正則圖的基本概念,性質(zhì),以及研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀. 第二章利用組合方法分析了所有滿足基本必要條件的交叉數(shù),排除了不可能存在的交叉表參數(shù),剩下的情形直徑d只與r和s的大小有關(guān). 第三章主要應(yīng)用代數(shù)方法和特征值理論,針對第二章剩下的各情形計(jì)算,得到r和s的上界,從而確定直徑d的范圍.進(jìn)一步利用計(jì)算機(jī)計(jì)算圖特征值的重?cái)?shù),排除重?cái)?shù)非整數(shù)的情形,為階為(2,3),cr+1>1的距離正則圖的完全分類作
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