小波變換的逼近性質(zhì)和framing擴(kuò)展理論論.pdf

1、小波變換是一個非常有用的工具.它將函數(shù)。廠的信息轉(zhuǎn)化為不同頻率的分量信息,通過研究這些分量的信息來得到函數(shù)的性質(zhì)。目前主要有連續(xù)小波變換和離散小波變換兩種形式，離散小波通?？梢詷?gòu)成L2(Rd)里的框架,稱為小波框架，小波框架是框架理論研究的重要方向。框架理論是Duffin和Schaeffer[1]在1952年研究非調(diào)和Fourier級數(shù)時引入的,1986年由Daubechies,Grossman和Meyer[2]重新研究,并引起了學(xué)者的

2、興趣.框架有很多很好的性質(zhì)使得它在函數(shù)空間的刻畫,信號處理和其它領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.對于框架理論和它的應(yīng)用,請參考[3,4,5,6,7,8,9]。由于框架理論在現(xiàn)代時頻分析里扮演著重要角色,它在過去的20年里快速發(fā)展,尤其是小波框架理論和Gabor框架理論。在研究Gabor框架時,Ramanathan和Steger[10]引入了齊次逼近性質(zhì)這個很重要的工具.在研究小波框架時,齊次逼近性質(zhì)也是很重要的,并在實(shí)際中很有用,因?yàn)樾〔蚣艿凝R次

3、逼近性質(zhì)意味著用有限項重構(gòu)一個函數(shù)所產(chǎn)生的誤差在時間-尺度平移下是不變的。
　　 本研究第一章主要研究連續(xù)小波變換的齊次逼近性質(zhì)。在第一章第一節(jié)里。我們首先給出一維情況下連續(xù)小波變換的齊次逼近性質(zhì).我們指出每一對允許性小波在L2(R)意義下具有齊次逼近性質(zhì),即定理1若ψ1,ψ2∈L2(R)是允許性小波且Cψ1,ψ2≠0,則(ψ1,ψ2)在L2(R)中具有齊次逼近性質(zhì)。但是在逐點(diǎn)收斂意義下齊次逼近性質(zhì)一般是不成立的.因此緊接著,我

4、們給出逐點(diǎn)意義下齊次逼近性質(zhì)成立的一個充分條件,結(jié)論如下：定理2設(shè)ψ1,ψ2,xψ1,xψ2∈L1(R),ψ2可導(dǎo)且ψ′2∈L2(R),ψ1(0)=0=ψ2(0)。若有界函數(shù)f是指數(shù)α H(o)lder連續(xù),0<α≤1,則對任意ε,s0>0,存在常數(shù)A2>A1>0使得對任意的(s,t)∈(),這里|s|≥s0,x∈R,A′2≥A2和0

5、f∈L2(R)∩L1(R)是連續(xù)函數(shù),ψ1,ψ2∈L1(R),ψ2可導(dǎo)且ψ′2∈L2(R),xψ2∈L1(R)和(ψ)1(0)=0=(ψ)2(0)。則下面的條件等價：(ⅰ).有某個X0∈R,使得對任意的ε>0,都存在A2>A1>0使得；(ⅱ).對任意ε>0,存在A2>A1>0使得這說明了逐點(diǎn)意義下齊次逼近性質(zhì)成立當(dāng)且僅當(dāng)小波和重構(gòu)的函數(shù)f的Fourier變換在R＼{0}上具有緊支集。在第一章第二節(jié)中,我們得到了一個關(guān)于小波逆變換的結(jié)果,

6、這個結(jié)果改進(jìn)了Daubechies[4],Holschneider和Tchamitchain[17]的相關(guān)結(jié)果。定理4令(ψ1,ψ2)是一對允許性小波且Cψ1,ψ2≠0.則對任意f∈L2(Rd),然后,第一章第三節(jié)利用第二節(jié)的相關(guān)結(jié)果研究了高維小波變換的齊次逼近性質(zhì)。我們指出在一維情況下成立的結(jié)果一般在高維也可以得到類似結(jié)論,但當(dāng)維數(shù)大于1時,上述充要條件已經(jīng)不再是允要條件,而只是充分條件,這與一維的情況不同,具體見這節(jié)的反例。小波框架

7、的齊次逼近性質(zhì)使得用有限項重構(gòu)一個函數(shù)所產(chǎn)生的誤差在時間-尺度平移下是不變的,但要確定一列點(diǎn)和一個函數(shù)所構(gòu)成的是小波框架并不容易.因此在第二章里,我們考慮用小波逆變換的黎曼和來近似原函數(shù),即考慮當(dāng)p→1+,q→0+時,級數(shù)。首先我們研究了當(dāng)分析小波和重構(gòu)小波相同時,即ψ1=ψ2時,黎曼和收斂的必要條件,得到了如下結(jié)果:其中級數(shù)在L2(Rd)里收斂。最后我們考慮了有限黎曼和的收斂性。最后一章研究的是框架以及framing的擴(kuò)展理論.Hil

8、bert空間框架的擴(kuò)展理論是從幾何的角度來分析Parseval框架和最一般的框架。框架的擴(kuò)展理論可以簡化框架理論里很多結(jié)果的證明,同樣可以給出很多框架的新結(jié)果和應(yīng)用,詳細(xì)見[7].文章[18]推廣了框架的概念,引入了framing的概念,并相應(yīng)的得到了framing擴(kuò)展理論.一般情況下Hilbert空間的framing擴(kuò)展空間是Banach空間,不一定是Hilbert空間,這是framing和框架不同的地方.本文第三章主要研究frami