加權(quán)Laplace-Beltrami算子及相關(guān)問題研究.pdf

1、本文考慮完備黎曼流形上加權(quán)Laplace-Beltrami算子，加權(quán)熱方程以及相關(guān)幾個問題。 利用加權(quán)Laplacian比較定理討論了加權(quán)體積的增長，特別，討論了在的條件下加權(quán)體積增長；進(jìn)一步，證明了關(guān)于Calderón-Zygmund分解的一個結(jié)果。 考慮了加權(quán)熱核的梯度估計(jì)，Harnack不等式，借助于體積增長的結(jié)果得到了在(1)的條件下加權(quán)熱核協(xié)變導(dǎo)數(shù)的積分估計(jì)，并證明了在此條件下加權(quán)Riesz變換的幾乎有界性。

2、 在加權(quán)線性熱方程以及Ricci曲率張量有負(fù)下界的兩種情況下定義了熵，得到了熵的單調(diào)公式，在后一種情況下得到了相應(yīng)的微分不等式，并借此估計(jì)熱核的下界，我們還指出熵與流形的幾何性質(zhì)之間的關(guān)系，證明了在熵有下界情況下加權(quán)體積具有點(diǎn)態(tài)歐氏體積增長。 最后估計(jì)了閉的黎曼流形上加權(quán)Laplace-Beltrami算子第一非零特征值的下界，討論了譜隙與m維Bakry-Emery曲率張量的關(guān)系，并證明了雙曲空間上熱核加權(quán)Laplace-