小波變換及其在圖像處理中的應(yīng)用研究畢業(yè)論文

1、<p>　　小波變換及其在圖像處理中的應(yīng)用研究</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1緒論1</b></p><p>

2、<b>　　1.1概述1</b></p><p>　　1.2小波分析與多辨分析的歷史1</p><p>　　1.3本課題研究的意義和目的3</p><p>　　2 小波分析的基本理論4</p><p>　　2.1 從傅立葉變換到小波變換4</p><p>　　2.1.1 傅里葉變換4&

3、lt;/p><p>　　2.1.2 短時(shí)傅里葉變換5</p><p>　　2.1.3 小波變換5</p><p>　　2.2 連續(xù)小波變換5</p><p>　　2.2.1一維連續(xù)小波變換5</p><p>　　2.2.2 高維連續(xù)小波變換7</p><p>　　2.3 離散小波變換7&

4、lt;/p><p>　　2.4 小波包分析8</p><p>　　2.4.1 小波包的定義9</p><p>　　2.4.2 小波包的性質(zhì)10</p><p>　　2.4.3 小波包的空間分解10</p><p>　　2.4.4 小波包算法11</p><p>　　3 幾種常用的小波12

5、</p><p>　　4 小波變換在圖像處理中的應(yīng)用14</p><p>　　4.1 小波分析用于圖像壓縮14</p><p>　　4.1.1 基于小波變換的圖像局部壓縮14</p><p>　　4.1.2 小波變換用于圖像壓縮的一般方法15</p><p>　　4.1.2.1 利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮1

6、5</p><p>　　4.1.2.2 二維信號(hào)壓縮中的閾值的確定與作用命令16</p><p>　　4.1.3 基于小波包變換的圖像壓縮17</p><p>　　4.2 小波分析用于圖像去噪19</p><p>　　4.3 小波分析用于圖像增強(qiáng)20</p><p>　　4.3.1 圖像增強(qiáng)問(wèn)題描述20<

7、;/p><p>　　4.3.2 圖像鈍化21</p><p>　　4.3.3 圖像銳化22</p><p>　　4.4 小波分析用于圖像融合23</p><p>　　4.5 小波分析用于圖像分解23</p><p><b>　　5 全文總結(jié)25</b></p><p>

8、;<b>　　致 謝26</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)27</b></p><p><b>　　附錄28</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去

9、噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波。二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點(diǎn)?；谛〔ǚ治龅膱D像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹(shù)壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。小波變換用的不是時(shí)間-頻率域，而是時(shí)間-尺度域。因此，尋找具有唯一對(duì)偶小波的合適

10、小波也就成為小波分析中最基本的問(wèn)題。小波分析之所以在信號(hào)處理中有著強(qiáng)大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個(gè)小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時(shí)候更為靈活。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 小波分析 圖像壓縮 圖像去噪 圖像增強(qiáng)</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Wavelet analyz

11、e is very important in digital image processing, including the image compression, the image goes chirp , image fusion, image dissection, image enhancement etc.. Wavelet analyze is development and the analytic continuatio

12、n of the Fourier . Besides Continuously Wavelet (CWT ) , dispersed wavelet (DWT ) , Wavelet Packet and wavelet of multidimension. Two-dimentional wavelet analyze , used in image compression is a important aspect of wavel

13、et analysis application. Wavelet analyze is ve</p><p>　　Keywords： Wavelet analyze Image compression Image fusion Image enhancement　Two-dimentional Wavelet</p><p><b>　　1緒論</b></

14、p><p><b>　　1.1概述</b></p><p>　　小波分析是近15年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新的時(shí)頻分析方法。其典型應(yīng)用包括齒輪變速控制，起重機(jī)的非正常噪聲，自動(dòng)目標(biāo)所頂，物理中的間斷現(xiàn)象等。而頻域分析的著眼點(diǎn)在于區(qū)分突發(fā)信號(hào)和穩(wěn)定信號(hào)以及定量分析其能量，典型應(yīng)用包括細(xì)胞膜的識(shí)別，金屬表面的探傷，金融學(xué)中快變量的檢測(cè)，INTERNET的流量控制等。</p>

15、;<p>　　從以上的信號(hào)分析的典型應(yīng)用可以看出，時(shí)頻分析應(yīng)用非常廣泛，涵蓋了物理學(xué)，工程技術(shù)，生物科學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域，而且在很多情況下單單分析其時(shí)域或頻域的性質(zhì)是不夠的，比如在電力監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，即要監(jiān)控穩(wěn)定信號(hào)的成分，又要準(zhǔn)確定位故障信號(hào)。這就需要引入新的時(shí)頻分析方法，小波分析正是由于這類(lèi)需求發(fā)展起來(lái)的。</p><p>　　在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開(kāi)的，不包含任何時(shí)頻的信息，這

16、對(duì)于某些應(yīng)用來(lái)說(shuō)是很恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對(duì)其是非常重要的。但其丟棄的時(shí)域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，Gabor變換，時(shí)頻分析，小波變換等。其中短時(shí)傅立葉變換是在傅立葉分析基礎(chǔ)上引入時(shí)域信息的最初嘗試，其基本假定在于在一定的時(shí)間窗內(nèi)信號(hào)是平穩(wěn)的，那么通過(guò)分割時(shí)間窗，在每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)把信號(hào)展開(kāi)到頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時(shí)域

17、區(qū)分度只能依賴(lài)于大小不變的時(shí)間窗，對(duì)某些瞬態(tài)信號(hào)來(lái)說(shuō)還是粒度太大。換言之，短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行。所以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說(shuō)不夠精確，存在很大的缺陷。</p><p>　　而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分(信號(hào)較平穩(wěn))可以采用較低的時(shí)間分辨率，而提高頻率

18、的分辨率，在高頻情況下(頻率變化不大)可以用較低的頻率分辨率來(lái)?yè)Q取精確的時(shí)間定位。因?yàn)檫@些特定，小波分析可以探測(cè)正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱(chēng)為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域。 </p><p>　　全文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長(zhǎng)度、濾波器長(zhǎng)度、對(duì)稱(chēng)性、消失矩等，都做了簡(jiǎn)要的說(shuō)明。在不同的應(yīng)用場(chǎng)合，各個(gè)小波函數(shù)各有利弊。</p&g

19、t;<p>　　小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。文中給出了詳細(xì)的程序范例，用MATLAB實(shí)現(xiàn)了基于小波變換的圖像處理。</p><p>　　1.2小波分析與多辨分析的歷史</p><p>　　小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換，在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多問(wèn)題 ，因?yàn)閮烧叨即嬖谛畔⑷哂?，在?duì)信號(hào)采樣以后，需要計(jì)算的

20、信息量還是相當(dāng)?shù)拇?，尤其是連續(xù)小波變換，因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計(jì)算，所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇蟆６M(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒(méi)有正交性，各個(gè)分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來(lái)了不便。</p><p>　　真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是Meyer在1986年提出的一組小波，其二進(jìn)制伸縮和平移構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上，1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波時(shí)

21、提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)诳臻g的概念上形象的說(shuō)明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來(lái)，并類(lèi)似傅立葉分析中的快速傅立葉算法，給出了小波變換的快速算法——Mallat算法。這樣，在計(jì)算上變得可行以后，小波變換在各個(gè)領(lǐng)域才發(fā)揮它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，解決了各類(lèi)問(wèn)題，為人們提供了更多的關(guān)于時(shí)域分析的信息。</p><p>　　形象一點(diǎn)

22、說(shuō)，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近。在每個(gè)空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果對(duì)信號(hào)在這類(lèi)空間上進(jìn)行分解，就可以得到相互正交的時(shí)頻特性。而且由于空間數(shù)目是無(wú)限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號(hào)的某些特性。</p><p>　　下面我們簡(jiǎn)要介紹一下多分辨分析的數(shù)學(xué)理論。</p

23、><p>　　定義：空間中的多分辨分析是指滿(mǎn)足如下性質(zhì)的一個(gè)空間序列：</p><p>　　(1)調(diào)一致性：，對(duì)任意</p><p>　　(2)漸進(jìn)完全性：，</p><p><b>　　(3)伸縮完全性：</b></p><p><b>　　(4)平移不變性：</b></

24、p><p>　　(5)Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Risez基。關(guān)于Riesz的具體說(shuō)明如下：</p><p>　　若是的Risez基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：</p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　對(duì)所有雙無(wú)限可平方和序列，即</p><p><b&g

25、t;　　(1.2)</b></p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　滿(mǎn)足上述個(gè)條件的函數(shù)空間集合成為一個(gè)多分辨分析，如果生成一個(gè)多分辨分析，那么稱(chēng)為一個(gè)尺度函數(shù)。</p><p>　　可以用數(shù)學(xué)方法證明，若是的Riesz基，那么存在一種方法可以把轉(zhuǎn)化為的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。這樣，我們只要能找到構(gòu)成多分辨分析的尺度函

26、數(shù)，就可以構(gòu)造出一組正交小波。</p><p>　　多分辨分析構(gòu)造了一組函數(shù)空間，這組空間是相互嵌套的，即</p><p>　　那么相鄰的兩個(gè)函數(shù)空間的差就定義了一個(gè)由小波函數(shù)構(gòu)成的空間，即</p><p>　　并且在數(shù)學(xué)上可以證明且，，為了說(shuō)明這些性質(zhì)，我們首先來(lái)介紹一下雙尺度差分方程，由于對(duì)，所以對(duì)，都有，也就是說(shuō)可以展開(kāi)成上的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，由于，那么就可以展開(kāi)

27、成</p><p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　這就是著名的雙尺度差分方程，雙尺度差分方程奠定了正交小波變換的理論基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)上可證明，對(duì)于任何尺度的，它在j+1尺度正交基上的展開(kāi)系數(shù)是一定的，這就為我們提供了一個(gè)很好的構(gòu)造多分辨分析的方法。</p><p>　　在頻域中，雙尺度差分方程的表現(xiàn)形式為：</p>

28、<p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　如果在=0連續(xù)的話(huà)，則有</p><p><b>　　(1.5)</b></p><p>　　說(shuō)明的性質(zhì)完全由決定。</p><p>　　1.3本課題研究的意義和目的</p><p>　　小波分析克服了

29、短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分(信號(hào)較平穩(wěn))可以采用較低的時(shí)間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下(頻率變化不大)可以用較低的頻率分辨率來(lái)?yè)Q取精確的時(shí)間定位。因?yàn)檫@些特定，小波分析可以探測(cè)正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱(chēng)為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域。</p>&

30、lt;p>　　小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中的一個(gè)重要領(lǐng)域，圖像和信號(hào)處理又是電子信息技術(shù)領(lǐng)域的重要方面?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要組成部分。現(xiàn)在，對(duì)性質(zhì)隨時(shí)間穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的，小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號(hào)的處理工具。圖像處理是針對(duì)性很強(qiáng)的技術(shù)

31、，根據(jù)不同應(yīng)用、不同要求需要采用不同的處理方法。采用的方法是綜合各學(xué)科較先進(jìn)的成果而成的，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、心理學(xué)、信號(hào)分析學(xué)、計(jì)算機(jī)學(xué)、和系統(tǒng)工程等。計(jì)算機(jī)圖像處理主要采用兩大類(lèi)方法：一類(lèi)是空域中的處理，即在圖像空間中對(duì)圖像進(jìn)行各種處理；另一類(lèi)是把空間與圖像經(jīng)過(guò)變換，如傅立葉變換，變到頻率域，在頻率域中進(jìn)行各種處理，然后在變回到圖像的空間域，形成處理后的圖像。圖像處理是“信息處理”的一個(gè)方面，這一觀點(diǎn)現(xiàn)在已經(jīng)為人所熟知。它可以進(jìn)一步細(xì)分

32、為多個(gè)研究方向：圖片處理、圖像處理、模式識(shí)別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。小波分析用在圖像處理方面，主要是用來(lái)進(jìn)行圖像壓縮、圖像去噪、</p><p>　　2 小波分析的基本理論</p><p>　　2.1 從傅立葉變換到小波變換</p><p>　　小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，

33、要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅立葉變換、Gabor變換、時(shí)頻分析、小波變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)分析等。其中，短時(shí)傅立葉變換和小波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿(mǎn)足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的。短時(shí)傅立葉變

34、換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g(t)的一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時(shí)傅立葉變換是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法，因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù)。因而短時(shí)傅立葉變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷。</p><p>　　小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間—尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而

35、且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不邊但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)故障檢測(cè)與診斷具有良好的效果。</p><p>　　2.1.1 傅里葉變換</p>

36、<p>　　在信號(hào)處理中重要方法之一是傅立葉變換，它架起了時(shí)間域和頻率域之間的橋梁。</p><p>　　對(duì)很多信號(hào)來(lái)說(shuō)，傅立葉分析非常有用。因?yàn)樗芙o出信號(hào)里包含的各種頻率成分。但是,傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信息，它不能告訴人們?cè)谀扯螘r(shí)間里發(fā)生了什么變化。而很多信號(hào)都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)(或者瞬變)特性，如漂移、趨勢(shì)項(xiàng)、突然變化以及信號(hào)的開(kāi)始或結(jié)束。這些特性是信號(hào)的最重

37、要部分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類(lèi)信號(hào)。</p><p>　　雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生

38、的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。</p><p>　　在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號(hào)，僅從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法，也稱(chēng)為時(shí)頻局部化方法

39、。</p><p>　　2.1.2 短時(shí)傅里葉變換</p><p>　　由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力，Dennis Gabor于1946年引入了短時(shí)傅立葉變換。短時(shí)傅立葉變換的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。其表達(dá)式為</p><p><b>

40、　　(2.1)</b></p><p>　　其中*表示復(fù)共軛， f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中，起著頻限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗”在t軸上移動(dòng)，是f(t)“逐漸”進(jìn)行分析。因此，g(t)往往被稱(chēng)之為窗口函數(shù)， 大致反映了f(t)在時(shí)刻時(shí)、頻率為的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開(kāi)就可以表示為在、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱(chēng)為窗口

41、，和分別稱(chēng)為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然，希望和都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但和是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意小(事實(shí)上，，且僅當(dāng)為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立) 。 </p><p>　　由此可見(jiàn)，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，，只能改變窗

42、口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f(shuō)短時(shí)傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。因此，短時(shí)傅立葉變換用來(lái)分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率(即要小)，而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率(即要小)。而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者。</p><p>　　2.1.3 小波變換&

43、lt;/p><p>　　小波變換提出了變化的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí)，采用長(zhǎng)的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗。小波變換用的不是時(shí)間-頻率域，而是時(shí)間-尺度域。尺度越大，采用越大的時(shí)間窗，尺度越小，采用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻率成反比。</p><p>　　2.2 連續(xù)小波變換</p><p>　　2.2.1一維連續(xù)小波變換</p>&

44、lt;p>　　定義：設(shè)，其傅立葉變換為，當(dāng)滿(mǎn)足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)</p><p>　　< (2.2)</p><p>　　時(shí)，我們稱(chēng)為一個(gè)基本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得</p><p><b>　　(2.3)</b></p>&l

45、t;p>　　稱(chēng)其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　其重構(gòu)公式(逆變換)為</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分

46、析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)該滿(mǎn)足一般函數(shù)的約束條件</p><p>　　〈 (2.6)</p><p>　　故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿(mǎn)足完全重構(gòu)條件式，在原點(diǎn)必須等于0，即</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　為了使信號(hào)重

47、構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波的傅立葉變化滿(mǎn)足下面的穩(wěn)定性條件：</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p><b>　　式中0〈AB〈</b></p><p>　　從穩(wěn)定性條件(2.8)可以引出一個(gè)重要的概念。</p><p>　　定義(對(duì)偶小波)

48、若小波滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件(2.8)式，則定義一個(gè)對(duì)偶小波，其傅立葉變換由下式給出：</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　注意，穩(wěn)定性條件(2.8)式實(shí)際上是對(duì)(2.9)式分母的約束條件，它的作用是保證對(duì)偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個(gè)小波的對(duì)偶小波一般不是唯一的，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，我們又總是希望它們是唯一對(duì)應(yīng)的。因此，尋

49、找具有唯一對(duì)偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問(wèn)題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：</p><p>　　(1)線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。</p><p>　　(2)平移不變性：若f(t)的小波變換為，則的小波變換為。</p><p>　　(3)伸縮共變性：若f(t)的小波變換為，則f(ct)的小波變換為。</p>

50、<p>　　(4)自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。</p><p>　　(5)冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。</p><p>　　小波變換的冗余性事實(shí)上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：</p><p>　　(1)由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)f(t)

51、的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。</p><p>　　(2)小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。</p><p>　　小波變換在不同的(a，b)之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問(wèn)題之一

52、。</p><p>　　2.2.2 高維連續(xù)小波變換</p><p><b>　　對(duì)，公式</b></p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　存在幾種擴(kuò)展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ(chēng)，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ(chēng)，</p><p><

53、;b>　　(2.11)</b></p><p>　　并且其相容性條件變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2.12)</b></p><p><b>　　對(duì)所有的。</b></p><p><b>　　(2.13)</b></p><p>

54、;　　這里，=〈〉，，其中且，公式(2.6)也可以寫(xiě)為</p><p><b>　　(2.14)</b></p><p>　　如果選擇的小波不是球?qū)ΨQ(chēng)的，但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移。例如，在二維時(shí)，可定義</p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>　　這里，，，相容條件

55、變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2.16)</b></p><p>　　該等式對(duì)應(yīng)的重構(gòu)公式為</p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　對(duì)于高于二維的情況，可以給出類(lèi)似的結(jié)論。</p><p>　　2.3 離散小波變換</p>

56、<p>　　在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量t的。這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)：</p><p>　　這里，，且，為方便起見(jiàn)，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?lt;/p><

57、;p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長(zhǎng)是固定值，為方便起見(jiàn)，總是假定(由于m可取正也可取負(fù)，所以這個(gè)假定無(wú)關(guān)緊要)。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫(xiě)作</p><p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　

58、而離散化小波變換系數(shù)則可表示為</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p><b>　　其重構(gòu)公式為</b></p><p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　C是一個(gè)與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇和，才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然

59、，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。</p><p>　　實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子值和位移參數(shù)值計(jì)算CWTa,b值，加之實(shí)際的觀測(cè)信號(hào)都是離散的，所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換(DWT)。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2的冪次進(jìn)行離散。最有效的計(jì)算方法是s．Mallat于1988年發(fā)展的快小波算法(又稱(chēng)塔式算法)。

60、對(duì)任一信號(hào)，離散小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分（稱(chēng)為近似部分）和離散部分(稱(chēng)為細(xì)節(jié)部分)。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算。不過(guò)這時(shí)尺度因子已經(jīng)改變。依次進(jìn)行到所需要的尺度。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波。</p><p><b>　　2.4 小波包分析</b></p><

61、;p>　　短時(shí)傅立葉變換對(duì)信號(hào)的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時(shí)間分辨率較差，即對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分(具有等Q結(jié)構(gòu))。小波包分析能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨率分析沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了

62、時(shí)-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。關(guān)于小波包分析的理解，這里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波包分解樹(shù)如圖2.1。</p><p>　　圖2.1 小波包分解樹(shù)</p><p>　　圖2.1中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號(hào)數(shù)表示小波分解的層樹(shù)(也即尺度數(shù))。分解具有關(guān)系：</p><p>　　S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD

63、3+ADD3+DDD3。</p><p>　　2.4.1 小波包的定義</p><p>　　在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空間分解為所有子空間的正交和的。其中， 為小波函數(shù)的閉包(小波子空間)?，F(xiàn)在，對(duì)小波子空間按照二進(jìn)制分式進(jìn)行頻率的細(xì)分，以達(dá)到提高頻率分辨率的目的。</p><p>　　一種自然的做法是將尺度空間和小波子

64、空間用一個(gè)新的子空間統(tǒng)一起來(lái)表征，若令</p><p>　　則Hilbert空間的正交分解即可用的分解統(tǒng)一為</p><p><b>　　(2.22)</b></p><p>　　定義子空間是函數(shù)是函數(shù)的閉包空間，而是函數(shù)的閉包空間，并令滿(mǎn)足下面的雙尺度方程：</p><p><b>　　(2.23)</

65、b></p><p>　　式中，，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)n=0時(shí)，以上兩式直接給出</p><p><b>　　(2.24)</b></p><p>　　與在多分辨分析中，滿(mǎn)足雙尺度方程：</p><p><b>　　(2.25)</b></p><p>　　相比較

66、，和分別退化為尺度函數(shù)和小波基函數(shù)。式(2.24)是式(2.22)的等價(jià)表示。把這種等價(jià)表示推廣到(非負(fù)整數(shù))的情況，即得到(2.23)的等價(jià)表示為</p><p>　??； (2.26)</p><p>　　定義(小波包) 由式(2.23)構(gòu)造的序列(其中)稱(chēng)為由基函數(shù)=確定的正交小波包。當(dāng)n=0時(shí)，即為(2.24)式的情況。</p><p

67、>　　由于由唯一確定，所以又稱(chēng)為關(guān)于序列的正交小波包。</p><p>　　2.4.2 小波包的性質(zhì)</p><p>　　定理1 設(shè)非負(fù)整數(shù)n的二進(jìn)制表示為 ,=0或1。則小波包的傅立葉變換由下式給出：</p><p><b>　　(2.27)</b></p><p><b>　　式中</b>

68、</p><p>　　定理2 設(shè)是正交尺度函數(shù)的正交小波包，則，即構(gòu)成的規(guī)范正交基。</p><p>　　2.4.3 小波包的空間分解</p><p>　　令是關(guān)于的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族?，F(xiàn)在令n=1，2，…；j=1，2，…，并對(duì)(2.22)式作迭代分解，則有</p><p>　　因此，我們很容易得到小波子空間的各種分解如下

69、：</p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p>　　空間分解的子空間序列可寫(xiě)作，m=0，1，…，-1

70、；l=1，2，…。子空間序列的標(biāo)準(zhǔn)正交基為。容易看出，當(dāng)l=0和m=0時(shí)，子空間序列簡(jiǎn)化為=，相應(yīng)的正交基簡(jiǎn)化為，它恰好是標(biāo)準(zhǔn)正交小波族。</p><p>　　若n是一個(gè)倍頻程細(xì)劃的參數(shù)，即令n=+m，則我們有小波包的簡(jiǎn)略記號(hào)，其中，。我們把稱(chēng)為既有尺度指標(biāo)j、位置指標(biāo)k和頻率指標(biāo)n的小波包。將它與前面的小波作一比較知，小波只有離散尺度j和離散平移k兩個(gè)參數(shù)，而小波包除了這兩個(gè)離散參數(shù)外，還增加了一個(gè)頻率參數(shù)n=

71、+m。正是這個(gè)頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分辨率低的缺陷，于是，參數(shù)n表示函數(shù)的零交叉數(shù)目，也就是其波形的震蕩次數(shù)。</p><p>　　定義(小波庫(kù)) 由生成的函數(shù)族(其中；j，)稱(chēng)為由尺度函數(shù)構(gòu)造的小波庫(kù)。</p><p>　　推論1.1 對(duì)于每個(gè)j=0，1，2，…</p><p>　　=…… (2.2

72、8)</p><p><b>　　這時(shí)，族</b></p><p>　　{|j=…，-1，0；n=2，3，…且} (2.29)</p><p><b>　　是的一個(gè)正交基。</b></p><p>　　隨著尺度j的增大，相應(yīng)正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低，這正

73、是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨j增大而變寬的頻譜窗口進(jìn)一步分割變細(xì)的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的不足。</p><p>　　小波包可以對(duì)進(jìn)一步分解，從而提高頻率分辨率，是一種比多分辨分析更加精細(xì)的分解方法，具有更好的時(shí)頻特性。</p><p>　　2.4.4 小波包算法</p><p>　　下面給出小波包的分解算法和重構(gòu)算法。設(shè)，則可表示為<

74、/p><p><b>　　(2.30)</b></p><p>　　小波包分解算法：由求與</p><p><b>　　(2.31)</b></p><p>　　小波包重構(gòu)算法：由{}與求</p><p><b>　　3 幾種常用的小波</b></p&

75、gt;<p>　　同傅立葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的，所有滿(mǎn)足小波條件的函數(shù)都可以作為小波函數(shù)，那么小波函數(shù)的選取就成了十分重要的問(wèn)題。</p><p><b>　　1)Haar小波</b></p><p>　　A.Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系,定義如下：</p><p><b>　　(3

76、.1)</b></p><p>　　這是一種最簡(jiǎn)單的正交小波，即</p><p>　　… (3.2)</p><p>　　2)Daubechies(dbN)小波系</p><p>　　該小波是Daubechies從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波。一般簡(jiǎn)寫(xiě)為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺

77、度函數(shù)吁中的支撐區(qū)為2N-1。的消失矩為N。除N＝1外(Haar小波)，dbN不具對(duì)稱(chēng)性〔即非線性相位〕；dbN沒(méi)有顯式表達(dá)式(除N＝1外)。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。假設(shè)，其中，為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p>　

78、　3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系</p><p>　　Biorthogonal函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示為biorNr.Nd的形式：</p><p>　　Nr=1 Nd=1，3，5</p><p&

79、gt;　　Nr=2 Nd=2，4，6，8</p><p>　　Nr=3 Nd=1，3，5，7，9</p><p>　　Nr=4 Nd=4</p><p>　　Nr=5 Nd=5</p><p>　　Nr=6 Nd=8</p><p>　　其中，r表示重構(gòu)，d表示分解。</p>

80、<p>　　4)Coiflet(coifN)小波系</p><p>　　coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個(gè)小波函數(shù)，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)這一系列，coiflet具有比dbN更好的對(duì)稱(chēng)性。從支撐長(zhǎng)度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撐長(zhǎng)度；從消失矩的數(shù)目來(lái)看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩?cái)?shù)目。</p><

81、;p>　　5)SymletsA(symN)小波系</p><p>　　Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對(duì)稱(chēng)的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種改進(jìn)。Symlets函數(shù)系通常表示為symN(N=2，3，…，8)的形式。</p><p>　　6)Morlet(morl)小波</p><p>　　Morlet函數(shù)定義為，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有

82、正交性。</p><p>　　7)Mexican Hat(mexh)小波</p><p>　　Mexican Hat函數(shù)為</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　它是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛?，所以有時(shí)稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部

83、化，并且滿(mǎn)足</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。</p><p><b>　　8)Meyer函數(shù)</b></p><p>　　Meyer小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。</p>

84、<p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　其中，為構(gòu)造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　4 小波變換在圖像處理中的應(yīng)用</p><p>　　4.1 小波分析用于圖像壓縮</p><p

85、>　　4.1.1 基于小波變換的圖像局部壓縮</p><p>　　基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分解，去除信號(hào)點(diǎn)之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，以達(dá)到壓縮的效果，但該方法在處理過(guò)程中并不能提供時(shí)域的信息，在我們比較關(guān)心時(shí)域特性的時(shí)候顯得無(wú)能為力。</p><p>　　但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測(cè)控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的

86、同時(shí)，對(duì)熱點(diǎn)部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對(duì)某個(gè)局部的細(xì)節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達(dá)到這個(gè)要求，雖然可以通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行分塊分解，然后對(duì)每塊作用不同的閾值或掩碼來(lái)達(dá)到這個(gè)要求，但分塊大小相對(duì)固定，有失靈活。</p><p>　　在這個(gè)方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時(shí)頻特性，我們可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對(duì)我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。&

87、lt;/p><p>　　下面這個(gè)局部壓縮的例子利用了小波變化的時(shí)頻局部化特性，通過(guò)這個(gè)例子可以看出小波變換在應(yīng)用這類(lèi)問(wèn)題上的優(yōu)越性。具體程序見(jiàn)附錄⑴ 。運(yùn)行結(jié)果如圖4.1。</p><p>　　圖4.1 利用小波變換的局部壓縮圖像</p><p>　　從圖4.1可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通

88、過(guò)對(duì)局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來(lái)達(dá)到局部壓縮的效果。</p><p>　　在本例中，把圖像中部的細(xì)節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮圖像中可以很明顯地看出只有中間部分變得模糊(比如在原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨)，而其他部分的細(xì)節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。</p><p>　　本例只是為了演示小波分析應(yīng)用在圖像局部壓縮的方法，在實(shí)際的應(yīng)用中，可能不會(huì)只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會(huì)是將局部細(xì)節(jié)系數(shù)全

89、部清除，更一般的情況是在N層變換中通過(guò)選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實(shí)現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個(gè)不同方向的細(xì)節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。</p><p>　　4.1.2 小波變換用于圖像壓縮的一般方法</p><p>　　二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞

90、過(guò)程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。</p><p>　　4.1.2.1 利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮</p><p>　　基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹(shù)壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。</p><p>　　下面是一個(gè)圖像信號(hào)(即一個(gè)二維信號(hào)，文件名為wbarb.mat)，利用二維小波分析對(duì)圖像進(jìn)行壓縮。一個(gè)圖像作小

91、波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不相同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對(duì)一個(gè)圖像來(lái)說(shuō)，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個(gè)最簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖像壓縮可按附錄⑵ 中的程序進(jìn)行處理。</p><p>　　圖像對(duì)比如圖4.2所示?？梢钥闯?，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解

92、第一層的低頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3)；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較大(約為1/12)，壓縮效果在視覺(jué)上也基本過(guò)的去。這是一種最簡(jiǎn)單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過(guò)其他處理即可獲得較好的壓縮效果。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第3、4、…層的低頻信息。從理論上說(shuō)，可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。</p><p>　

93、　原始圖像 分解后低頻和高頻信息</p><p>　　第一次壓縮圖像 第二次壓縮圖像</p><p>　　圖4.2 利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮</p><p>　　下面再給出用wdenemp函數(shù)對(duì)一個(gè)圖像(文件名tire.mat)進(jìn)行壓縮的程序。具體程序清單見(jiàn)附錄⑶ 。圖像對(duì)比如圖4.3所示：&

94、lt;/p><p>　　原始圖像 壓縮圖像</p><p>　　圖4.3 利用二維小波分析對(duì)圖像進(jìn)行壓縮</p><p>　　利用二維小波變換進(jìn)行圖像壓縮時(shí)，小波變換將圖像從空間域變換到時(shí)間域，它的作用與以前在圖像壓縮中所用到的離散余弦(DCT)、傅立葉變換(FFT)等的作用類(lèi)似。但是要很好的進(jìn)行圖像的壓縮，需要綜合的利用多種其他技

95、術(shù)，特別是數(shù)據(jù)的編碼與解碼算法等，所以利用小波分析進(jìn)行圖像壓縮通常需要利用小波分析和許多其他相關(guān)技術(shù)共同完成。</p><p>　　4.1.2.2 二維信號(hào)壓縮中的閾值的確定與作用命令</p><p>　　由于閾值處理只關(guān)心系數(shù)的絕對(duì)值，并不關(guān)心系數(shù)的位置，所以二維小波變換系數(shù)的閾值化方法同一維情況大同小異，為了方便用戶(hù)使用小波工具箱對(duì)某些閾值化方法提供了專(zhuān)門(mén)的二維處理命令。</p&

96、gt;<p>　　下面這個(gè)例子可以說(shuō)明二維信號(hào)的小波壓縮的一般方法，在這個(gè)例子中同時(shí)采用了求缺省閾值的ddencmp命令和基于經(jīng)驗(yàn)公式的wdcbm2命令對(duì)圖像進(jìn)行壓縮，并對(duì)壓縮效果進(jìn)行比較。具體程序見(jiàn)附錄⑷ 。顯示結(jié)果如圖4.4所示。</p><p>　　圖4.4 detfingr圖像的全局閾值化壓縮和分層閾值化壓縮</p><p>　　可見(jiàn)分層閾值化壓縮方法同全局閾值化方法

97、相比，在能量損失不是很大的情況下可以獲得最高的壓縮比，這主要是因?yàn)閷訑?shù)和方向相關(guān)的閾值化方法能利用更精細(xì)的細(xì)節(jié)信息進(jìn)行閾值化處理。</p><p>　　4.1.3 基于小波包變換的圖像壓縮</p><p>　　小波分析之所以在信號(hào)處理中有著強(qiáng)大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個(gè)小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時(shí)候更為靈活。全局閾值化方法作用的信息密度太大，不夠精細(xì)，所

98、以很難同時(shí)獲得高的壓縮比和能量保留成分，在作用的分層閾值以后，性能明顯提高，因?yàn)榉謱娱撝蹈荏w現(xiàn)信號(hào)固有的時(shí)頻局部特性。</p><p>　　但是小波分解仍然不夠靈活，分解出來(lái)的小波樹(shù)只有一種模式，不能完全地體現(xiàn)時(shí)頻局部化信息。而壓縮的核心思想既是盡可能去除各小波域系數(shù)之間的信息關(guān)聯(lián)，最大限度體現(xiàn)時(shí)頻局部化的信息，因此，實(shí)際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹(shù)的確定則是根據(jù)不同的信息論準(zhǔn)則，以達(dá)到分解系數(shù)表達(dá)的信

99、息密度最高。</p><p>　　下面這個(gè)例子說(shuō)明了小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進(jìn)行比較。具體程序見(jiàn)附錄⑸ 。得到的壓縮結(jié)果如圖4.5所示。</p><p>　　圖4.5 基于小波包分析的圖像壓縮</p><p>　　壓縮過(guò)程中使用的最優(yōu)小波數(shù)如圖4.6所示</p><p>　　圖4.6 最優(yōu)小波樹(shù)&

100、lt;/p><p>　　這兩個(gè)命令是Matlab小波工具箱提供的自動(dòng)獲取閾值和自動(dòng)使用小波包壓縮的命令，后者將分解閾值化和重建綜合起來(lái)。在將小波包用于信號(hào)壓縮的過(guò)程中，ddencmp命令返回的最優(yōu)小波樹(shù)標(biāo)準(zhǔn)都是閾值化標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)確定的最優(yōu)小波樹(shù)可以使得壓縮過(guò)程的零系數(shù)成分最高，并且自動(dòng)降低計(jì)算量。</p><p>　　對(duì)高頻成分很多的圖像，小波包的分解細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。正因

101、為這點(diǎn)，F(xiàn)BI的指紋庫(kù)就是采用的基于小波包的壓縮算法WSQ。</p><p>　　圖像壓縮是應(yīng)用非常廣泛的一類(lèi)問(wèn)題，所以其機(jī)器實(shí)現(xiàn)效率是至關(guān)重要的，在實(shí)際的應(yīng)用中，如JPEG2000，一般不采用通常的mallat算法做小波分解，而是應(yīng)用特定的雙正交小波，利用其濾波器分布規(guī)則的特性，用移位操作來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波操作。</p><p>　　4.2 小波分析用于圖像去噪</p><p

102、>　　噪聲可以理解為妨礙人的視覺(jué)器官或系統(tǒng)傳感器對(duì)所接收?qǐng)D像源進(jìn)行理解或分析的各種因素。一般噪聲是不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)信號(hào)，它只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法去認(rèn)識(shí)。噪聲對(duì)圖像處理十分重要，它影響圖像處理的輸入、采集、處理的各個(gè)環(huán)節(jié)以及輸出結(jié)果的全過(guò)程。特別是圖像的輸入、采集的噪聲是個(gè)十分關(guān)鍵的問(wèn)題，若輸入伴有較大噪聲，必然影響處理全過(guò)程及輸出結(jié)果。因此一個(gè)良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理還是計(jì)算機(jī)處理無(wú)不把減少最前一級(jí)的噪聲作為主攻目標(biāo)。去噪已

103、成為圖像處理中極其重要的步驟。</p><p>　　對(duì)二維圖像信號(hào)的去噪方法同樣適用于一維信號(hào)，尤其是對(duì)于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為</p><p>　　s(i,j)=f( i,j)+δ·e(i,j) i,j=0,1,…，m-1 (4.1)</p><p>　　其中，e是標(biāo)準(zhǔn)偏差不變的高斯白噪聲。二維信號(hào)用二維小波分析的

104、去噪步驟有3步：</p><p>　　(1)二維信號(hào)的小波分解。選擇一個(gè)小波和小波分解的層次N，然后計(jì)算信號(hào)s到第N層的分解。</p><p>　　(2)對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化。對(duì)于從1到N的每一層，選擇一個(gè)閾值，并對(duì)這一層的高頻系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化處理。</p><p>　　(3)二維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)修改的從第一層到第N層的各層高頻系

105、數(shù)計(jì)算二維信號(hào)的小波重構(gòu)。</p><p>　　在這3個(gè)步驟中，重點(diǎn)是如何選取閾值和閾值的量化。</p><p>　　下面給出一個(gè)二維信號(hào)(文件名為detfingr.mat)，并利用小波分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理。Matlab的去噪函數(shù)有ddencmp，wdencmp等，其去噪過(guò)程可以按照附錄⑹中的程序進(jìn)行。輸出結(jié)果從圖4.7中3個(gè)圖像的比較可以看出，Matlab中的ddencmp和wdenc

106、mp函數(shù)可以有效地進(jìn)行去噪處理。</p><p>　　原始圖像 含噪聲的圖像 去噪后的圖像</p><p><b>　　圖4.7 去噪例一</b></p><p>　　再給定一個(gè)wmandril.mat圖像。可以通過(guò)全部濾掉圖像中的高頻部分實(shí)現(xiàn)圖像的去噪。具體去噪過(guò)程可按照附錄⑺中的程序進(jìn)行。輸出結(jié)果如圖4

107、.8：</p><p>　　原始圖像 含噪聲圖像</p><p>　　第一次去噪圖像 第二次去噪圖像</p><p><b>　　圖4.8 去噪例二</b></p><p>　　從上面的輸出結(jié)果可以看出，第一次去噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但從去噪圖像與原始圖

108、像相比可以看出，第一次去噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎(chǔ)上，再次濾去其中的高頻噪聲。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。</p><p>　　下面再給出另一個(gè)含有較少噪聲的facets.mat圖像。由于原始圖像中只含有較少的高頻噪聲，如果按照上一個(gè)例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號(hào)。因此這幅圖像適合采用小波分解系數(shù)閾值量化方法進(jìn)行去噪處理。程序清單

109、見(jiàn)附錄⑻。輸出結(jié)果如圖4.9。</p><p>　　原始圖像 含噪聲圖像 去噪后圖像</p><p><b>　　圖4.9 去噪例三</b></p><p>　　二維信號(hào)在應(yīng)用中一般表現(xiàn)為圖像信號(hào)，二維信號(hào)在小波域中的降噪方法的基本思想與一維情況一樣，在閾值選擇上，可以使用統(tǒng)一的全局閾值，有可以分

110、作三個(gè)方向，分別是水平方向、豎直方向和對(duì)角方向，這樣就可以把在所有方向的噪聲分離出來(lái)，通過(guò)作用閾值抑制其成分。</p><p>　　4.3 小波分析用于圖像增強(qiáng)</p><p>　　4.3.1 圖像增強(qiáng)問(wèn)題描述</p><p>　　小波分析在二維信號(hào)(圖像)處理方面的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在其時(shí)頻分析特性，前面介紹了一些基于這種特性的一些應(yīng)用的實(shí)例，但對(duì)二維信號(hào)小波系數(shù)的處理

111、方法只介紹了閾值化方法一種，下面介紹一下以前在一維信號(hào)中用到的抑制系數(shù)的方法，這種方法在圖像處理領(lǐng)域主要應(yīng)用于圖像增強(qiáng)。</p><p>　　圖像增強(qiáng)問(wèn)題的基本目標(biāo)是對(duì)圖像進(jìn)行一定的處理，使其結(jié)果比原圖更適用于特定的應(yīng)用領(lǐng)域，這里“特定”這個(gè)詞非常重要，因?yàn)閹缀跛械膱D像增強(qiáng)問(wèn)題都是與問(wèn)題背景密切相關(guān)的，脫離了問(wèn)題本身的知識(shí)，圖像的處理結(jié)果可能并不一定適用，比如某種方法可能非常適用于處理X射線圖像，但同樣的方法可

112、能不一定也適用于火星探測(cè)圖像。</p><p>　　在圖像處理領(lǐng)域，圖像增強(qiáng)問(wèn)題主要通過(guò)時(shí)域(沿用信號(hào)處理的說(shuō)法，空域可能對(duì)圖像更適合)和頻域處理兩種方法來(lái)解決。時(shí)域方法通過(guò)直接在圖像點(diǎn)上作用算子或掩碼來(lái)解決，頻域方法通過(guò)修改傅立葉變換系數(shù)來(lái)解決。這兩種方法的優(yōu)劣很明顯，時(shí)域方法方便快速但會(huì)丟失很多點(diǎn)之間的相關(guān)信息，頻域方法可以很詳細(xì)地分離出點(diǎn)之間的相關(guān)，但需要做兩次數(shù)量級(jí)為nlogn的傅立葉變換和逆變換的操作，

113、計(jì)算量大得多。</p><p>　　小波分析是以上兩種方法的權(quán)衡結(jié)果，建立在如下的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，傅立葉分析的在所有點(diǎn)的分辨率都是原始圖像的尺度，但對(duì)于問(wèn)題本身的要求，我們可能不需要這么大的分辨率，而單純的時(shí)域分析又顯得太粗糙，小波分析的多尺度分析特性為用戶(hù)提供了更靈活的處理方法。可以選擇任意的分解層數(shù)，用盡可能少的計(jì)算量得到我們滿(mǎn)意的結(jié)果。</p><p>　　小波變換將一幅圖像分解為大小、

114、位置和方向都不同的分量。在做逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小，這樣就能夠有選擇地放大所感興趣的分量而減小不需要的分量。下面是一個(gè)圖像增強(qiáng)的實(shí)例。</p><p>　　給定一個(gè)wmandril.mat圖像信號(hào)。由于圖像經(jīng)二維小波分解后，圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分，細(xì)節(jié)部分體現(xiàn)在高頻部分，因此可以通過(guò)對(duì)低頻分解系數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)處理，對(duì)高頻分解系數(shù)進(jìn)行衰減處理，從而達(dá)到圖像增強(qiáng)的效果。具體程序清單見(jiàn)附錄⑼。輸