產(chǎn)銷不平衡的運輸問題及算法 畢業(yè)論文

1、<p><b>　　2012屆畢業(yè)生</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目: 產(chǎn)銷不平衡的運輸問題及算法 </p><p>　　2012年5月25日</p><p><b>　　摘 要</b

2、></p><p>　　傳統(tǒng)的產(chǎn)銷平衡運輸模型，為人們解決運輸問題準備了原始的基本思路。而實際生產(chǎn)生活運輸中，產(chǎn)量和銷量是不確定的，企業(yè)在考慮自身成本時，都會有一個生產(chǎn)量的最低限制。本文就是圍繞產(chǎn)銷不平衡運輸問題的數(shù)學建模及其處理和求解展開探討的，并用例子進行證明和探討，建立數(shù)學模型，轉化成產(chǎn)銷平衡問題，用表上作業(yè)法求解，以滿足實際需求，并使企業(yè)獲得最大利潤。在這篇論文中，至少應掌握運輸問題的基本概念及其數(shù)

3、學模型，以及求解方法。表上作業(yè)法是求解運輸問題的一種既簡單又非常重要的求解方法，重點要掌握表上作業(yè)法的基本方法。通過這篇文章我理解運輸問題其實也是一種特殊的線性規(guī)劃問題，求解線性規(guī)劃問題的基本方法是單純形法，而運輸問題的求解方法和求解線性規(guī)劃的單形法沒有本質(zhì)區(qū)別。</p><p>　　關鍵詞： 線性規(guī)劃 產(chǎn)銷不平衡的運輸問題 表上作業(yè)法 單形法</p><p>　　Title

4、 An Algorithm of Unbalanced Transportation Problem</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The traditional production and marketing transport model for people to balance the transportati

5、on problem for the basic thought of the original. And the actual production and life in transportation production and sales volume is not affirmatory, the enterprise is in itself when considering the cost will be the low

6、est limit production. This paper is the production and transportation problem around the balance of mathematical modeling and the processing and the solving discusses, examples, this pa</p><p>　　Keywords:

7、 linear programming unbalanced transportation problem table manipulation simplex method</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言5</b></p><p>　　2產(chǎn)銷平衡運輸

8、問題6</p><p>　　2.1平衡運輸問題的提法6</p><p>　　2.2 平衡運輸問題的數(shù)學模型6</p><p>　　2.3 平衡運輸問題的解法?表上作業(yè)法7</p><p>　　2.3.1 確定初始基可行解9</p><p>　　2.3.2 最優(yōu)解的判別11</p><p

9、>　　2.3.3 閉回路調(diào)整法13</p><p>　　3產(chǎn)銷不平衡運輸問題14</p><p>　　3.1 產(chǎn)大于銷的情形15</p><p>　　3.1.1 問題描述15</p><p>　　3.1.2 產(chǎn)大于銷應用實例16</p><p>　　3.2 銷大于產(chǎn)的情形17</p>

10、<p>　　3.2.1 銷大于產(chǎn)的問題描述17</p><p>　　3.2.2 銷大于產(chǎn)應用實例18</p><p><b>　　結論20</b></p><p><b>　　致謝21</b></p><p><b>　　參考文獻22</b></p&g

11、t;<p><b>　　1 引言</b></p><p>　　進入現(xiàn)代社會，隨著制造業(yè)、服務業(yè)的發(fā)展以及人們生活水平的提高，有了資源、制造產(chǎn)地和市場這三者的區(qū)位關系。因此，交通運輸在整個經(jīng)濟發(fā)展中有著非常巨大的影響。根據(jù)運輸距離、運輸工具、運輸環(huán)節(jié)、運輸時間、運輸費用等要素合理化貨物運輸，最后達到減少動力投入、增加運輸能力、減少運輸費用的綜合目的，這就是要解決的交通運輸問題。本

12、課題專門研究有多個生產(chǎn)地和有多個銷售地的企業(yè)產(chǎn)銷不平衡的運輸問題及算法，因為，在實際生產(chǎn)生活中的運輸過程，產(chǎn)量和銷量的不確定導致產(chǎn)銷不平衡現(xiàn)象越來越明顯，往往存在的情況是產(chǎn)大于銷或供不應求。本課題先討論產(chǎn)銷平衡時的運輸問題,再討論產(chǎn)銷不平衡時怎樣控制運輸成本來提高企業(yè)的競爭力和經(jīng)濟效益。</p><p>　　表上作業(yè)法是求解產(chǎn)銷平衡運輸問題的一種既簡單又非常重要的求解方法。因為，運輸問題是線性規(guī)劃問題，可以用線性

13、規(guī)劃中的單純形法來解決，但是，有兩個運輸問題的特點使我們不得不設計出其它的特殊解法—表上作業(yè)法。表上作業(yè)法，實質(zhì)上也還是單純形法，有三個基本步驟。第一步，確定一個初始可行調(diào)運方案。產(chǎn)銷平衡問題始終存在可行解，確定初始基本可行解的方法很多，一般用最小元素法、西北角法、vogel法；第二步、檢驗當前可行方案是否最優(yōu)。表上作業(yè)法是用閉回路法和位勢法來處理這個問題的；第三步、方案調(diào)整。若檢驗數(shù)上有空格的檢驗數(shù)為負，則可改進方案，降低成本。<

14、;/p><p>　　產(chǎn)銷不平衡時的運輸問題及算法。產(chǎn)銷不平衡時怎樣控制運輸成本來提高企業(yè)的競爭力和經(jīng)濟效益。主要思想是把產(chǎn)銷不平衡問題轉化為產(chǎn)銷平橫問題進行研究。產(chǎn)量大于銷量時，虛擬出一個假想銷地，使產(chǎn)銷平衡，各個產(chǎn)地到假想銷地的運價為零；供不應求時，假想出一個產(chǎn)地，使產(chǎn)銷平衡，假想產(chǎn)地到各個銷地的運價為零。然后用表上作業(yè)法是求解產(chǎn)銷平衡運輸問題。</p><p><b>　　產(chǎn)銷平

15、衡運輸問題</b></p><p><b>　　平衡運輸問題的提法</b></p><p>　　在生產(chǎn)生活中，大宗物資調(diào)運是經(jīng)常碰到的事情。若某物資在全國有很多生產(chǎn)地，有若干銷售地，那根據(jù)現(xiàn)有的交通網(wǎng)絡，制訂一個什么樣的調(diào)運方案，可以把這些物資調(diào)運到各個銷售地，使得調(diào)運費用最少。這里有個默認的前提是產(chǎn)銷平衡，那什么是產(chǎn)銷平衡呢？全國各個生產(chǎn)地所生產(chǎn)的物資數(shù)

16、量加在一起等于全國各地需要銷售的物資數(shù)量的總和，這是產(chǎn)銷相等，如何根據(jù)產(chǎn)地到銷地的運價進行運輸使運費最小，這是調(diào)運問題，兩者連在一起就是平衡運輸問題。</p><p>　　2.2 平衡運輸問題的數(shù)學模型</p><p>　　假設，有m個生產(chǎn)地，用表示，i=1,2，···，m。m個生產(chǎn)地可以供應某一種物資，每個產(chǎn)地的供應量分別為，i=1,2，·

17、3;·，m。有n個銷售地點，用表示，j=1,2,···n。n個銷售地的需求量分別為，j=1,2，···n。單位物資從運到的運價為，把這些數(shù)據(jù)分別匯總于兩個表中，表1表示產(chǎn)銷平衡表，表2表示單位運價表。</p><p><b>　　表1</b></p><p><b>　　表2</b&

18、gt;</p><p>　　現(xiàn)在用表示物資從運到的運量，當產(chǎn)銷平衡時，要求得最小總運費的調(diào)運方案，那么，可以求解以下數(shù)學模型,以下就是平衡運輸問題的數(shù)學模型。</p><p>　　2.3 平衡運輸問題的解法?表上作業(yè)法</p><p>　　平衡運輸問題數(shù)學模型，有（）個變量，有個約束方程，有以下關系式存在：因此平衡運輸模型最多有個獨立的約束方程，也就是說，它的系數(shù)矩

19、陣的秩不超過m+n-1。所以我們就可以用表上作業(yè)來求解運輸問題,這個方法求解運輸問題比較簡便。</p><p>　　表上作業(yè)法是我們的一個習慣稱謂，其實質(zhì)是單純形法，只是求解運輸問題時對其簡化了。只不過具體計算、術語不同罷了。歸納為以下幾點：</p><p>　　(1)確定初始基可行解。在產(chǎn)銷平衡表上給出數(shù)字格。</p><p>　　(2)判斷是否為最優(yōu)解。求出各個

20、非基變量的檢驗數(shù)， 并判別是否已達到最優(yōu)解了。若已經(jīng)是最優(yōu)解了，就停止計算，不然就轉到下一步。</p><p>　　(3)用閉回路法調(diào)整最優(yōu)解。確定換入變量、換出變量，找新的基可行解。</p><p>　　(4)重復(2)和(3)一直到求出最優(yōu)解。</p><p>　　例，某化工廠。在全國各地有3個生產(chǎn)地，生產(chǎn)地每日生產(chǎn)量為7噸，生產(chǎn)地每日生產(chǎn)量為4噸，生產(chǎn)地每日生

21、產(chǎn)量為9噸。該工廠在全國各地有4個銷售地點，銷售地的銷售量每日為3噸，銷售地的銷售量每日為6噸，銷售地的銷售量每日為5噸，銷售地的銷售量每日為6噸?，F(xiàn)在知道從各個生產(chǎn)地到各個銷售地的單位產(chǎn)品的運價，如表3所示，在滿足各個銷售地的需要量的前提下，公司怎樣調(diào)運可以使運費最少。</p><p>　　上表為表3（運價表），下表為表4(產(chǎn)銷平衡表)</p><p>　　解：通過以下三個步驟解決問題,

22、這里分三個章節(jié)來研究。</p><p>　　2.3.1 確定初始基可行解</p><p>　　用最小元素法確定初始基可行解，確定初始基又分三個小步驟來解。最小元素法基本思想很簡單，就近供應思想，在單位運價表中，從最小的運價開始確定供銷關系，然后是次小的運價，一直到確定出初始基可行解為止。對于平衡運輸問題，因為：=d，所以，平衡運輸問題一定存在初始基可行解。一定有可行解：>=0，i=1

23、、2、···m，j=1、2、···n。</p><p>　　又因為：0<=<=min(,)</p><p>　　因此，平衡運輸問題一定存在最優(yōu)解。</p><p>　　第一步 從運價表3中找出最小運價1，找到對應的產(chǎn)地和銷地:,也就是將要從，因為（=4）>（=3）,所除了滿足外，還有1噸多

24、余的產(chǎn)品，在表 4 中的（，）的交叉格處填上3，得到表5，把表3中的列劃去得表6。</p><p><b>　　表 5 </b></p><p><b>　　表 6 </b></p><p>　　第二步 在表6中找出最小運價2，找到對應的產(chǎn)地和銷地，把多余的那1噸供應給,在（）的交叉格處填上1，得到一個新平衡表

25、，把表6的行劃去，得到一個新運價表。</p><p>　　第三步：在第二步中得到的新運價表中找到最小運價3，···，就這樣，一步一步的做下去，知道新的單位運價表被劃空為止，最后得到的產(chǎn)銷平衡表表 7 就是一個調(diào)運方案，這個調(diào)運方案的總運費為86元。</p><p><b>　　表7</b></p><p>　　

26、2.3.2 最優(yōu)解的判別</p><p>　　判別方法也很好理解，主要是計算空格的檢驗數(shù)?，i，j是自然數(shù)。運輸問題呢要實現(xiàn)目標函數(shù)最小化，所以最優(yōu)解是在所有的? >= 0時的那個，現(xiàn)在將用閉回路法判別最優(yōu)解。</p><p>　　在表7上，以某一個空格為起點，從每個空格出發(fā)找一條閉回路，從起點開始，用水平線或者垂直線向前劃，當遇到數(shù)字格時可以轉90°，然后繼續(xù)向前劃水平

27、線或者垂直線，一直到回到起始位置為止。如下三個圖：</p><p>　　（a）（b）（c）</p><p>　　因為m+n-1個數(shù)字格與之相對應的系數(shù)向量為一個基，任一空格與之相對應的系數(shù)向量為這個基的線性組合，所以從某個空格出發(fā)一定存在一個閉回路。例如（i，j是自然數(shù)）可以表示為：</p><p><b>　　=</b&g

28、t;</p><p>　　=()?()+()?()+()</p><p><b>　　=</b></p><p>　　。這些向量就構成了閉回路了，圖d。</p><p>　　計算檢驗數(shù)的閉回路法經(jīng)濟解釋是：在表表7中從任意空格如（，）出發(fā)，假設把的產(chǎn)品調(diào)1噸給，那要保持平衡，就需要做依次的調(diào)整：（）處減1噸，（）處增多

29、1噸，（）處減1噸，這樣就形成了以（）空格為起點，其他格為數(shù)字的閉回路了如圖：圖 8 。所在格右邊的數(shù)字為單位運價。</p><p><b>　　圖 d </b></p><p><b>　　圖 8 </b></p><p>　　像這樣調(diào)整之后運費增加：（+1）*3+（-1）*3+（-1）*1+(+1)*2

30、= 1 (元)。這表明，如果這樣調(diào)整運價，運費將會增加。在（）格填入“1”這個數(shù)，”1”就是檢驗數(shù)照這樣的方法，可以找到所有檢驗數(shù)，如表：表9。</p><p><b>　　表 9 </b></p><p>　　空格 閉 回 路 檢驗數(shù)</p><

31、;p>　　(11）(11)--（13）--（23）--（21）--（11）1</p><p>　　(12) (12)--（14）--（34）--（32）--（12）2</p><p>　　(22)(22)--（23）--（13）--（14）--（34）--（32）--（22）1</p><p>　　(24)(24)-

32、-（23）--（13）--（14）--（24）-1</p><p>　?。?1）(31)--（34）--（14）--（13）--（23）--（21）--（31）10</p><p>　　（33）(33)--（34）--（14）--（13）--（33）12</p><p>　　檢驗數(shù)還存在負數(shù)-1，說明原方程不是最優(yōu)解，還需改進，下

33、面介紹閉回路法來進行改進。</p><p>　　2.3.3 閉回路調(diào)整法</p><p>　　如果檢驗數(shù)為負的個數(shù)超過或等于2，那先選擇最小的檢驗數(shù)所對應的空格為調(diào)入格，以它對應的非基變量為換入變量。這里由表 9 知，只有一個負的檢驗數(shù)，以對應的空格（2,4）格為調(diào)入格，以此點為出發(fā)點作一閉回路，見表10。</p><p><b>　　表 10

34、 </b></p><p>　　銷地產(chǎn)量</p><p><b>　　產(chǎn)地</b></p><p>　　4（+1）·····3（-1） 7</p><p>　　31（-1）····

35、;··（+1） 4</p><p>　　63 9</p><p>　　銷量3 656</p><p>　　選擇表 10 中的閉回路上具有（-1）的數(shù)字格中的最小者作為（2,4）格的最小調(diào)入量，即： = min（1,3） = 1。然后再按閉回路上的正負號，加上或者減去這個最小調(diào)入量 1 ，又得到一

36、個調(diào)整方案，如表11</p><p><b>　　表 11 </b></p><p>　　再用閉回路法對表11中給出的解求各空格的檢驗數(shù)，得到的表表12，表12中沒有檢驗數(shù)都為負的空格，所以表11中的解為最優(yōu)解，這時得到的總運費為最小運費是85元。</p><p><b>　　表 12 </b></p

37、><p><b>　　產(chǎn)銷不平衡運輸問題</b></p><p>　　前面講的都是平衡運輸問題，現(xiàn)在開始研究產(chǎn)銷不平衡運輸問題。平衡運輸問題模型以：為前提的，要解決產(chǎn)銷不平衡運輸問題，就可以轉化為這個模型來解決。</p><p>　　3.1 產(chǎn)大于銷的情形</p><p>　　3.1.1 問題描述</p>&l

38、t;p>　　若生產(chǎn)大于銷售，這時的運輸問題的數(shù)學模型可以寫成：</p><p><b>　　滿足：</b></p><p>　　由于生產(chǎn)大于銷售，所以要虛擬出一個假想銷售地來，這個銷售地用來銷售各個產(chǎn)地多余的產(chǎn)品，只不過各個生產(chǎn)地運往這個銷售地的運價為 0 ，設產(chǎn)地的生產(chǎn)量為，有：</p><p>　　,當i=1,2，·

39、3;·m，j=1,2，···，n時</p><p>　　，當i=1，2，···m，j=n+1時</p><p><b>　　帶入得模型：</b></p><p>　　可以看出這是一個平衡運輸問題。</p><p>　　如若生產(chǎn)大于銷售，那就增加一個銷售

40、地，這個銷售地為假想的，只不過各個生產(chǎn)地到這個銷售地的單位運價為0，該銷售點的需要量為：</p><p>　　3.1.2 產(chǎn)大于銷應用實例</p><p>　　例：有兩個個倉庫、，有三個地方需要提供貨物,具體資料如表13所示，可發(fā)貨數(shù)量、需要量、單位運價都在里面。</p><p>　　解：這個問題是產(chǎn)大于銷的運輸問題，增加一個假想需要地，=149=5，運價都為0，見

41、表：表14。</p><p><b>　　表 13 </b></p><p><b>　　表 14 </b></p><p>　　確定初始基可行解。最小元素法。表15。</p><p><b>　　見表 15 </b></p><p>　

42、　判別最優(yōu)解，用閉回路法判別知，不是最優(yōu)解。</p><p>　　用閉回路法調(diào)整最優(yōu)解，得到最優(yōu)解，最小運費為21元，調(diào)整方案見表16</p><p><b>　　表 16 </b></p><p>　　3.2 銷大于產(chǎn)的情形</p><p>　　3.2.1 銷大于產(chǎn)的問題描述</p><p>

43、;　　如果供不應求，類似產(chǎn)大于銷售，同樣是增加一個假想的生產(chǎn)地，它運往各個銷售地的單位運價為0，還缺的生產(chǎn)量為：</p><p>　　3.2.2 銷大于產(chǎn)應用實例</p><p>　　例：有造紙廠三個，向四個用戶供應貨物，表17為其相關資料，要求確定一個調(diào)運方案使得總運費最小。</p><p><b>　　表 17 </b></p

44、><p>　　解：這是一個生產(chǎn)大于銷售的運輸問題，可轉化為產(chǎn)銷平衡運輸問題來解決。見表18</p><p><b>　　表 18 </b></p><p>　　確定初始基可行解。用的是最小元素法。結果見表19</p><p>　　判斷是否為最優(yōu)解。表19中有1個0解，表19中，第一個初始解=3找的比較好，計算過后每一

45、個空格的檢驗數(shù)都不為負，所以表19為最優(yōu)解。</p><p>　　假設把第一個初始解定在其他位置，如（、）檢驗數(shù)存在負數(shù)，所以需要調(diào)整。</p><p>　　閉回路法調(diào)整最優(yōu)解。假設第一個初始解定在，那用閉回路法調(diào)整，調(diào)整方案為：造紙廠給用戶運輸8個單位產(chǎn)品，用戶運輸4個單位產(chǎn)品、給運輸1個單位產(chǎn)品，造紙產(chǎn)給用戶運輸6個單位產(chǎn)品、給用戶運輸3個單位產(chǎn)品，總運費為62。見表20。</p

46、><p><b>　　表 19 </b></p><p><b>　　表 20 </b></p><p><b>　　結論</b></p><p>　　本文通過對產(chǎn)銷不平衡運輸問題的分析和探討，給出了解決運輸問題的思想和步驟，解決了如何調(diào)運使總的運輸費用最小的問題，在今

47、后運輸生產(chǎn)及管理過程起到不可估量的作用，的別是對經(jīng)常會遇到的將大宗物資從產(chǎn)地調(diào)運到銷地的情況起到巨大作用自己。通過這篇論文，我們將清楚地知道，什么運輸問題應該用什么樣的手段來解決。若是平衡運輸問題，先建立數(shù)學模型，就用表上作業(yè)法來解決，大體上分三個步驟，第一、確定初始基可行解，第二步、判斷是否為最優(yōu)解、第三步，調(diào)整最優(yōu)解。若是產(chǎn)銷不平衡運輸問題，先把其轉化為平衡運輸問題，再進行解決。產(chǎn)大于銷，就就虛擬出一個假想銷售地，這樣才能轉化為平衡

48、運輸問題；供不應求，就虛擬出一個假想生產(chǎn)地，這樣才能轉化為平衡運輸問題。</p><p>　　通過對這篇論文的設計，我除了掌握了運輸問題的基本概念及其數(shù)學模型，以及求解方法外。我還更加深刻的學習和應用了線性規(guī)劃問題，知道了表上作業(yè)法是求解運輸問題的一種既簡單又非常重要的求解方法，并且掌握了表上作業(yè)法的基本方法。通過這篇論文我理解運輸問題其實也是一種特殊的線性規(guī)劃問題，求解線性規(guī)劃問題的基本方法是單純形法，而運輸問

49、題的求解方法和求解線性規(guī)劃的單形法沒有本質(zhì)區(qū)別。最深刻的是單純形的理論和應用。最后給我的感觸是，運籌學中的交通運輸問題在現(xiàn)實中是一個非常重要的問題，對人類的生活有著非常重要的作用。</p><p>　　通過做畢業(yè)設計，自己才真正感覺到自己學了這十幾年的數(shù)學并非白學，反而感到數(shù)學真的強大，沒有數(shù)學真的什么也干不了。另外，我學到了做項目和做事情不可以少的一些基本常識，即，做事，要有個計劃，要按計劃有序的完成任務，沒有

50、計劃就會亂，不知道今天該做什么或者明天該做什么，最后是什么也沒做，任務完成不了，在畢業(yè)設計這個過程中能學到這一點我已經(jīng)感到很榮幸了，這一點將對我以后的人生起到不可估量的作用。</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　畢業(yè)論文終于寫完了，終于在學校期間干了一件實實在在的有意義的大事了，我的心情無法平靜，真的好開心啊。在看到自己的成果的時候，在聽到同

51、學夸獎我的作品的時候，我都不敢夸我自己有多么厲害和辛苦，因為我的作品完全是我的導師林浩的辛勤指導、批閱和修改的，**老師在我的論文上花的功夫絕對是論文成功完成的主要因素，可以好不夸張的說，沒有**老師的幫助我的論文就是狗屎，看看論文初稿打印版上那些密密麻麻的紅字，就可以想象**老師的花在論文上的心血有多濃。在這論文的最后，我想對**老師說：**老師，您辛苦了！。我的腦海里一直清晰的存留著那個場景，當我從**老師手中的拿到修改后的初稿那一

52、剎那，看到他認認真真修改過后的論文初稿上的紅筆字，我對他的敬佩之情突發(fā)猛增，我當時感動地說不出話來，真的，我都不知道我該怎么報答他。總之，整個畢業(yè)設計過程，無不凝聚著**老師的心血和汗水，對論文的完善和質(zhì)量的提高起到了關鍵性的作用。</p><p>　　另外，在學習生活中，**好老師對工作認真負責、治學嚴謹，沒有那件事他會辦的不好。樂于助人、人格高尚、平易近人，我經(jīng)?？吹?*老師在休息時間以朋友的身份給同學交流以

53、解決他們在學習和生活中的困惑。**老師嚴謹求實的治學態(tài)度、一絲不茍的工作作風和高尚的人格魅力，都給了學生很大感觸，使學生終生受益，還有，**好老師誨人不倦的師者風范是我終生學習的楷模。在此，學生謹向導師致以最真摯的感激和最崇高的敬佩之情。</p><p>　　三年來，在學校和各位老師孜孜不倦的教誨和無微不至的關懷下，我擁有了更加成熟的思想和更加豁達的心胸，也學到了可以獨立于社會的一技之長和永不停息的終身學習理念。

54、在此，向各位老師表示誠摯的感謝和崇高的敬意。謝謝你們！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 韓伯棠.管理運籌學[M].北京：高等教育出版社，2005.</p><p>　　[2] 謝凡榮.需求區(qū)間型運輸問題的求解算法[J].運籌與管理，2005，14(1):23-27.</p><p&g

55、t;　　[3] 張曉鋒.需求量有下界的運輸問題[J].寧夏大學學報(自然科學版),1996,17(3):39-43.</p><p>　　[4] 毛禹忠.物流管理[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.</p><p>　　[5] 錢頌迪，等.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2005 </p><p>　　[6] (美)Frederick S Hillier,等

56、 運籌學導論(第8版)[M].北京：清華大學出版社，2007.</p><p>　　[7] 劉滿風.運籌學模型與方法教程[M].北京：清華大學出版社，2001:44-46</p><p>　　[8] 蔣魯敏.數(shù)學思想與方法[M].上海：華東師范大學出版社, 2000：100-142.</p><p>　　[9] 胡運權.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2002.

57、</p><p>　　[10] 劉麗文.生產(chǎn)與運作管理[M].北京：清華大學出版社，2001</p><p>　　[11] 張建中，許紹吉. 線性規(guī)劃[M].北京：科學技術出版社，1997.</p><p>　　[12] 何堅勇.運籌學基礎[M].北京：清華大學出版社，2000.</p><p>　　[13] 馬振華.運籌學與最優(yōu)化理論卷[M

58、].北京：清華大學出版社，2000.</p><p>　　[14] Gass S I Linear programming methods and applications Fifth Edition,M c Graw HillBook Company,1984 50-200.</p><p>　　[15] Hitchcoch F L .The distribution of produc