畢業(yè)設(shè)計(jì)--fir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、<p>　　第一章 FIR數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)方法</p><p>　　有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIRDF，F(xiàn)inite Impulse Response Digital Filter）的最大優(yōu)點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)線性相位濾波。而IIRDF主要對幅頻特性進(jìn)行逼近，相頻特性會(huì)存在不同程度非線性。我們知道，無失真?zhèn)鬏斉c濾波處理的條件是，在信號的有效頻譜范圍內(nèi)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)為常數(shù)，相頻響應(yīng)具有線性相位。在數(shù)

2、字通信和圖像處理與傳輸?shù)葢?yīng)用場合都要求濾波器具有線性相位特性。另外FIRDF是全零點(diǎn)濾波器，硬件和軟件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡單，不用考慮穩(wěn)定性問題。所以，F(xiàn)IRDF是一種很重要的濾波器，在數(shù)字信號處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)幅頻特性指標(biāo)相同時(shí)，F(xiàn)IRDF的階數(shù)比IIRDF高的多，但是同時(shí)考慮幅頻特性指標(biāo)和線性相位要求時(shí)，IIRDF要附加復(fù)雜的相位校正網(wǎng)絡(luò)，而且難以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位特性。所以，在要求線性相位濾波的應(yīng)用場合，一般都用FIRDF。</p

3、><p>　　FIRDF的設(shè)計(jì)方法主要有兩類：第一類是基于逼近理想濾波器特性的方法，包括窗函數(shù)法，頻率采樣法和等波紋最佳逼近法。第二類是最優(yōu)設(shè)計(jì)法，我們主要討論第一類設(shè)計(jì)法，側(cè)重與濾波器的設(shè)計(jì)方法和相應(yīng)的MATLAB工具箱函數(shù)的介紹。</p><p>　　FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語言中的數(shù)字信號處理工具箱，提

4、供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運(yùn)算更加方便和快捷。在MATLAB中提供的濾波函數(shù)有fir1(),此函數(shù)以經(jīng)典的方法實(shí)現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，可以設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通和帶阻濾波器；fir2函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器，其濾波的頻率特性由矢量f和m決定，f和m分別為濾波器的期望幅頻響應(yīng)的頻率相量和幅值相量。Firls()和remez()的基本格式用于設(shè)計(jì)I型和II型線性相位FIR濾波器，I型和II型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

5、freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。并且提供了各種窗函數(shù)的函數(shù)，比如，hamming()是海明窗函數(shù)，hanning()是漢寧窗函數(shù)，kaiser()是凱澤窗函數(shù)，使在設(shè)計(jì)的過程中，不用自己重新設(shè)計(jì)窗函數(shù)。</p><p>　　1.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器</p><p>　　設(shè)我們所要設(shè)計(jì)的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是(e),(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此</p

6、><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　?。?-2)</b></p><p>　　如果我們能夠在已知的情況下，求出，經(jīng)過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單位脈沖相應(yīng)是無限長的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應(yīng)濾波器的一種可能方法是對截取一段來近似代替，可是這樣會(huì)改變原來的濾波

7、器指標(biāo)，出現(xiàn)吉布斯效應(yīng)誤差。</p><p>　　窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列，即</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　w(n)是有限長序列，當(dāng)n<0或n>N-1時(shí)，w(n)=0。</p><p>　　這

8、種方法的重點(diǎn)在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過渡帶；旁瓣相對值盡可能小，以使得通帶波紋小，并且阻帶衰減大。</p><p>　　下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：</p><p>　　1.矩形窗(Rectangle Window)</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>

9、<b>　　其頻率函數(shù)為：</b></p><p><b>　　（3-5）</b></p><p>　　2.三角形窗(Bartlett Window)</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　其頻率函數(shù)為：</b><

10、;/p><p><b>　?。?-7)</b></p><p>　　3.漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為：</p><p><b>　?。?-9）</b>

11、</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為</p><p><b>　　(3-10)</b></p><p>　　4.漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　其幅度函數(shù)為：

12、</b></p><p><b>　?。?-12）</b></p><p>　　5.布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗</p><p><b>　?。?-13)</b></p><p><b>　　其幅度函數(shù)為：</b></p><

13、p><b>　　(3-14）</b></p><p>　　6.凱澤(Kaiser)窗</p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>　　其中：β是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，I0( x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)[10].</p><p>　　上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表</

14、p><p>　　窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器的步驟：</p><p>　　1）根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)。</p><p>　　2）根據(jù)對過渡帶和阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長度N。</p><p>　　3）計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)：</p><p><b>　　（3-16)</

15、b></p><p>　　式中,是前面所選擇好的窗函數(shù)。</p><p>　　4）檢驗(yàn)技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。根據(jù)下式計(jì)算：</p><p><b>　　(3-17)</b></p><p>　　如果不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)步，直到滿足要求為止。</p><p>　　

16、本文以一個(gè)FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例說明如何使用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器</p><p>　　設(shè)計(jì)實(shí)例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率Wp=0.4*,阻帶截止頻率Ws=0.5*, 通帶衰減不大于3db，阻帶衰減不小于40db。</p><p><b>　　程序如下：</b></p><p>　　Wp=0.4*pi;&

17、lt;/p><p>　　Ws=0.5*pi;</p><p>　　Wdel=Ws-Wp;</p><p>　　N=ceil(8*pi/Wdel);</p><p>　　Wn=(0.4+0.5)*pi/2;</p><p>　　window=hanning(N+1);</p><p>　　b=fir1

18、(N,Wn/pi,window);</p><p>　　freqz(b,1,512)</p><p>　　程序執(zhí)行后得幅頻和相頻如下圖所示：</p><p><b>　　圖1.1</b></p><p>　　1.2 頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器</p><p>　　1.對理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hd

19、(z)進(jìn)行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響Hd(ejw)的等間隔采樣值H(k)。H(k)實(shí)際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(yīng)(h(n))的離散傅里葉變換（DFT），如下試：</p><p><b>　　(3-18)</b></p><p><b>　　(3-19)</b></p><p>　　為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣

20、點(diǎn)的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過渡點(diǎn)，加寬過渡帶以減小通帶的起伏。</p><p>　　每一個(gè)抽樣值產(chǎn)生一個(gè)與sin()/sin()成正比，并位移（2k）/N的頻率響應(yīng)，而H（k）與內(nèi)插函數(shù)的線性組合就是FIR濾波器的頻率響應(yīng)，增加一點(diǎn)過渡可以使阻帶衰減提高到-44~54dB,二點(diǎn)過渡衰減-65~75,三點(diǎn)過渡衰減-85~95dB.</p><p>　　如果不能使過渡帶太寬，同時(shí)要求增

21、大阻帶衰減，可以增加取樣點(diǎn)數(shù)N，但這樣會(huì)增加計(jì)算量、延時(shí)和誤差。</p><p>　　頻率取樣型FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟：</p><p>　　(1)給定理想濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejw)。</p><p>　　(2)根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點(diǎn)數(shù)和h(n)的長度N。</p><p><b>　　(3-20)</b><

22、;/p><p>　　(3)由IFFT計(jì)算IDFT得到：</p><p><b>　　(3-21)</b></p><p>　　設(shè)計(jì)實(shí)例：率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，滿足：低阻帶邊緣：w1s=0.2*;低通帶邊緣：w1p=0.35*;高通帶邊緣：w2p=0.65*;高阻帶邊緣：w2s=0.8*。設(shè)計(jì)過渡帶中的頻率樣本值為t1和t2，取t1=0.109

23、021,t2=0.59417456。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)程序如下：</b></p><p><b>　　M=40;</b></p><p>　　al=(M-1)/2;</p><p><b>　　l=0:M-1;</b></p><p>　

24、　t1=0.109021;</p><p>　　t2=0.59417456;</p><p>　　Hrs=[zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4)];</p><p>　　k1=0:floor((M-1)/2);</p><p>

25、　　k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;</p><p>　　angh=[-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2)];</p><p>　　H=Hrs.*exp(j*angh);</p><p>　　h=real(ifft(H,M));</p><p>　　freqz(h,1,512,1000)<

26、/p><p>　　實(shí)驗(yàn)得幅頻相頻特性如下圖所示：</p><p><b>　　圖1.2</b></p><p>　　1.3等波紋最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器</p><p>　　在數(shù)字信號處理中, 利用數(shù)字濾波器可改變信號中所含頻率分量的相對比例或?yàn)V除某些頻率分量, 使其達(dá)到所需要的效果. 其中數(shù)字FIR 濾波器由于具有精

27、確的線性相位, 且系統(tǒng)穩(wěn)定, 所以廣泛應(yīng)用于通信、 數(shù)字圖象處理、 語音信號處理、 自適應(yīng)處理、 雷達(dá)/ 聲納系統(tǒng)等方面. 目前, FIR 濾波器[ 1, 2]的設(shè)計(jì)主要有窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣設(shè)計(jì)法. 但是, 這2 種方法都不易精確控制通帶邊界頻率Wp與阻帶邊界頻率Ws ,所以, 在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.而以最大誤差最小化準(zhǔn)則支持的切比雪夫逼近法是一種優(yōu)異的設(shè)計(jì)方法, 易于精確控制Wp與Ws.</p><p&

28、gt;　　與窗函數(shù)和頻率采樣法比較，由于這種設(shè)計(jì)法使最大誤差均勻化，所以設(shè)計(jì)的濾波器性能價(jià)格比最高。階數(shù)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使濾波器的最大逼近誤差最小，即通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大；指標(biāo)相同時(shí)，這種設(shè)計(jì)法使階數(shù)最低。</p><p>　　等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)證明復(fù)雜，已超出本科生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。所以我們略去等波紋最佳逼近法復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只介紹基本思想和實(shí)現(xiàn)線性相位FIRDF的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)的MATL

29、AB信號處理工具箱函數(shù)remez和remezord。Remez函數(shù)采用數(shù)值分析中的remez多重迭代算法求解等波紋最佳逼近問題，求得滿足等波紋最佳逼近準(zhǔn)則的FIRDF的單位脈沖相應(yīng)h(n),由于切比雪夫和雷米茲(remez)對解決該問題做出了貢獻(xiàn)，所以又稱之為切比雪夫逼近法或者雷米茲逼近法。</p><p><b>　　第二章 設(shè)計(jì)步驟</b></p><p>　　

30、等波紋濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有2 種,第 1 種是離散最小二乘法. 它的思路是在給定的一些離散點(diǎn)上,使實(shí)際的幅頻特性和理想幅頻特性之間的誤差的平方和為最小. 第 2 種是最優(yōu)化等波紋設(shè)計(jì)法,也稱為雷米茲法或切比雪夫逼近法. 該類型濾波器幅頻特性在通帶和阻帶上的誤差峰值是均勻分布的,其誤差具有等波紋特性,因而把波紋的幅度控制到最小, 或在同等指標(biāo)下減小它的階次. 第 1 種方法是連續(xù)最小的平方法的推廣, 容易理解,但它的指標(biāo)與濾波器沒

31、有直接關(guān)聯(lián),誤差平方小的濾波器不能保證沒有窄而大的波紋出現(xiàn),像吉布斯效應(yīng) 那樣. 第 2 種方法直接控制通帶波動(dòng)和阻帶衰減, 最具針對性,是濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. 因此,采用 MAT LAB信號處理工具箱提供的函數(shù),運(yùn)用最優(yōu)化等波紋設(shè)計(jì)法實(shí)現(xiàn)數(shù)字 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)和仿真.。</p><p>　　完整的最優(yōu)化等波紋濾波器設(shè)計(jì), 除了切比雪夫等波紋逼近公式外,還要考慮:</p><p>

32、　　( 1)濾波器采樣點(diǎn)數(shù)n 的確定.</p><p>　　( 2)極值數(shù)目的確定. 最優(yōu)化等波紋濾波器的誤差函數(shù)在給定的頻率上有( L + 2)或( L + 3)個(gè)極值,L 為多項(xiàng)式的階數(shù). 對于某些Wp, Ws 的組合,可能得到有( L + 3)個(gè)極值的濾波器. 此時(shí), L = f loor ( ( n-1) / 2) .</p><p>　　( 3)建立頻率修正的算法. 在程序中自動(dòng)

33、進(jìn)行反復(fù)的迭代修正,直到達(dá)到要求的精度為止.交替定理能保證切比雪夫逼近問題的解存在并且惟一, 但它并沒有說如何得到該解, 既不知 n(或L ) ,也不知極值的頻率δ和波紋系數(shù)W. ParksMcClellan提供了利用Remez 交換算法導(dǎo)出的迭代算法. 它假設(shè)已知濾波器的n,并且設(shè)δ1= δ2 , 就可得到解,其中, δ為最大波紋系數(shù), δ2 為阻帶波動(dòng)系數(shù).</p><p>　　δ和n 是相關(guān)的, n 越大,

34、δ越小. 濾波器的技術(shù)指標(biāo)中給出了通帶波動(dòng)系數(shù) δ1和δ2 , W p , W s ,因此需要設(shè)定n. 凱澤提出逼近 n 的公式:</p><p>　　Parks 和McClellan 算法首先猜設(shè)( L + 2)個(gè)極值頻率{W i } ,估計(jì)極值頻率上的最大誤差及其{ Wi } , 由這些新的頻率點(diǎn)擬合出一個(gè)新的L 階多項(xiàng)式, 重復(fù)以上過程, 直到找出最優(yōu)集{Wi}和全局最大波紋系數(shù)δ1為止. 迭代結(jié)果得到多項(xiàng)

35、式系數(shù)d(n) ,最后算出濾波器脈沖響應(yīng) h(n) .由于n是近似的, δ1可能不等于δ2 . 若δ1>δ2 ,則增加n;若δ1<δ2 ,則減小n,然后再次用Remez 算法確定一個(gè)新的δ.重復(fù)此過程, 直至δ1≈δ2,這樣就可得到等波紋濾波器.</p><p><b>　　性能分析比較</b></p><p>　　分別采用窗口法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)

36、計(jì)雙帶濾波器，其指標(biāo)要求為： </p><p>　　1）第一帶通濾波器 </p><p>　　fp1=4 kHz, fp2 =5 kHz， fr1=3.6 kHz， fr2=5.4 kHz；</p><p>　　2）第二帶通濾波器 </p><p>　　fp3=6 kHz，fp4=7 kHz，fr3=5.6 kHz，fr4=7.4

37、Hz；</p><p>　　3）通帶衰耗：Ap<3 rad，阻帶衰耗：Ar>40 dB，模擬取樣頻率 fs=20 kHz。 </p><p>　　MATLAB 模擬結(jié)果如下。</p><p><b>　　圖1.3</b></p><p><b>　　圖1.4</b></p>

38、<p><b>　　圖1.5</b></p><p>　　比較以上三種濾波器的設(shè)計(jì)方法，在同樣的階數(shù)下，優(yōu)化設(shè)計(jì)可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。頻率取樣法設(shè)計(jì)過程簡單，但阻帶衰減明顯，若適當(dāng)選取過渡帶樣點(diǎn)值，會(huì)取得較窗口法略好的衰耗特性。窗口設(shè)計(jì)法在階數(shù)較低時(shí)，阻帶特性不滿足設(shè)計(jì)要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)，使用哈明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶

39、衰耗要求。FIR 濾波器以其穩(wěn)定和容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，使信號處理后不產(chǎn)生相位畸變，而在實(shí)際中獲得廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　第三章MATLAB的實(shí)現(xiàn)</p><p>　　3.1MATLAB函數(shù)介紹</p><p>　　在介紹MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez之前，先介紹等波紋濾波器的技術(shù)指標(biāo)及其描述參數(shù)，等波紋濾波器的幅頻特性函數(shù)曲線如圖

40、7.4.2所示。</p><p>　　圖7.4.2給出了等波紋濾波器技術(shù)指標(biāo)的兩種描述參數(shù)。</p><p>　　圖7.4.2(a)用衰減的dB數(shù)描述，即ωp=π／2，αp=2dB, ωs=11π／20, αs=20dB.這是工程實(shí)際中常用的指標(biāo)描述方法。但是，用等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法求濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)時(shí)，要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2.</p>

41、;<p>　　圖7.4.2(b)給出了用通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2描述的技術(shù)指標(biāo)。顯然，兩種描述參數(shù)之間可以換算。如果設(shè)計(jì)指標(biāo)以αp和αs給出，為了調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，就必須由αp和αs換算出通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2。</p><p>　　對比圖7.4.2(a)和圖7.4.2(b)得出關(guān)系式：</p><p>　　αp=-20lg[（1-δ1

42、）／（1+δ1）]=20lg[（1+δ1）／（1-δ1）] (7.4.2)</p><p>　　αs=-20lg[δ2／（1+δ1）] ≈-20lgδ2 (7.4.3)</p><p>　　由式(7.4.2)和(7.4.3)得到</p><p>　　δ1=(10^αp/20-1)/(10^αp/20+1)

43、 (7.4.4)</p><p>　　δ2=10^(-αs)/20 (7.4.5)</p><p>　　按照式和(7.4.4)和(7.4.5)計(jì)算得到圖7.4.1（b）中的參數(shù)：δ1=0.1146，δ2=0.1.實(shí)際中δ1和δ2一般很小，這里是為了觀察等波紋特性及參數(shù)δ1和δ2的

44、含義，特意取較大值。</p><p><b>　　1 Remez函數(shù)</b></p><p>　　采用remez算法實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)。其調(diào)用格式為：hn=remez(M，f,m,w)</p><p>　　返回單位脈沖響應(yīng)響亮hn。調(diào)用參數(shù)含義如下：</p><p>　　M：FIRDF階數(shù)，

45、hn長度為N=M+1。</p><p>　　f和m：給出希望逼近的幅度特性。</p><p>　　f為邊界頻率向量，0≤f≤1，要求為f為單調(diào)增向量（即f(k)＜f（k+1）），而且從0開始，以1結(jié)束，1對應(yīng)數(shù)字頻率ω=π（或模擬頻率Fs／2，F(xiàn)s表示時(shí)域采樣頻率）。</p><p>　　m是與f對應(yīng)的幅度向量，m與f長度相等，m（k）表示頻點(diǎn)f(k)的頻響應(yīng)值。如

46、果用命令Plot（f,m）畫出幅頻響應(yīng)曲線，則k為奇數(shù)時(shí)，頻段[f(k),f(k+1)]上的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段[f（k+1），f（k+2）]為無關(guān)區(qū)。簡言之，Plot（f，m）命令畫出的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段[f（k+1），f（k+2）]為無關(guān)區(qū)。簡言之，Plot(f,m)命令畫出的幅頻響應(yīng)曲線中，起始頻段為第一段，奇數(shù)頻段為逼近區(qū)，偶數(shù)頻段為無關(guān)區(qū)。Ww.win2.cn/g10</p>

47、<p>　　除了設(shè)計(jì)選頻FIRDF，remez函數(shù)還可以設(shè)計(jì)兩種特殊濾波器，調(diào)用格式如下。</p><p>　　設(shè)計(jì)希爾伯特變換器的調(diào)用格式為：</p><p>　　hn=remez（M，f,m,w,’hilbert’）</p><p>　　hn具有奇對稱特性：hn(n)= ﹣hn（M+1-n）。在邊界頻率向量f給定的通帶上希望幅度逼近常數(shù)1.一般f=[

48、a,b]，m=[1,1],且f中第一個(gè)邊界頻率a不能為0，必須滿足0＜a＜b＜1.這是因?yàn)橄柌刈儞Q器屬于第二類線性相位濾波器，且濾波器長度N為奇數(shù)，所以只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。</p><p>　　設(shè)計(jì)數(shù)字微分器調(diào)用格式為：</p><p>　　hn=remez（M,f,m,w,’defferentiator’）</p><p>　　下一節(jié)將介紹希爾伯特變換器和數(shù)字

49、微分器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用。</p><p>　　Remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)（M，f,m,w），一般都是調(diào)用remezord函數(shù)來計(jì)算。</p><p>　　2.remezord</p><p>　　功能：根據(jù)逼近指標(biāo)估算等波紋最佳逼近FIRDF的最低階數(shù)m、誤差加權(quán)向量M和歸一化邊界頻率向量f，從而是濾波器在滿足指標(biāo)的前提下造價(jià)最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。

50、其調(diào)用格式為：</p><p>　　[M,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）</p><p><b>　　參數(shù)說明如下。</b></p><p>　　返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，設(shè)計(jì)的濾波器可以滿足由參數(shù)f,m,rip和Fs買哦數(shù)的指標(biāo)。f與remez中類似，這里f可以是模擬頻率（Hz）或歸一化數(shù)字頻率，但必須

51、以0開始，以Fs／2（用歸一化頻率時(shí)對應(yīng)1）結(jié)束，而且其中省略了0和Fs／2兩個(gè)頻點(diǎn)。Fs為采樣頻率，缺省時(shí)默認(rèn)Fs=2Hz。但是這里f的長度（包括省略的0和Fs／2兩個(gè)頻點(diǎn)）是m的兩倍，即m中的每個(gè)元素表示f給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度值。例如，對圖7.4.4，f=[1／4，5／16]；m=[1，0]。</p><p><b>　　圖3.1</b></p><p&

52、gt;　　注意：①省略Fs時(shí)，f中必須為歸一化頻率。②有事估算的階數(shù)M略小，使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)不到指標(biāo)要求，這時(shí)要取M+1或M+2（必須注意對濾波器長度N=M+1的奇偶性要求）。所以必須檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。③如果無關(guān)區(qū)（過渡帶）太窄，或截止頻率接近零頻率和FS／2時(shí)，設(shè)計(jì)結(jié)果不正確。</p><p>　　rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應(yīng)最大偏差），f的長度是rip的兩倍。</p><

53、;p>　　一般以[N,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）返回的參數(shù)作為remez的調(diào)用參數(shù)，計(jì)算單位脈沖響應(yīng)：hn=remez（N，fo,mo,w），對比前面介紹的remez調(diào)用參數(shù)，可清楚地看出remezord返回參數(shù)N，fo,mo和w的含義。</p><p>　　綜上所述，調(diào)用remez和remezord函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIRDF，關(guān)鍵是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求出remezord函數(shù)的調(diào)用

54、參數(shù)f,m,rip和Fs，其中Fs一般是題目給定的，或根據(jù)實(shí)際信號處理要求（按照采樣定理）確定。</p><p>　　下面給出由給定的各種濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord調(diào)用參數(shù)f,m,和rip的公式，編程時(shí)直接誒套用即可。</p><p><b>　　低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)</b></p><p>　　逼近通帶：[0，ωp]，通帶最大衰減：αp

55、dB；逼近阻帶：[ωs，π]，阻帶最小衰減：αsdB。</p><p>　　remezord調(diào)用參數(shù)：</p><p>　　f=[ωp／π，ωs／π]，m= [1，0]，rip= [δ1，δ2] （7.4.6）</p><p>　　其中，f向量省去了起點(diǎn)頻率0和終點(diǎn)頻率1，δ1和δ2分別為通帶和阻帶波紋幅度，由式（7.4.4）和式（7.4.5）計(jì)算得到，下面

56、相同。</p><p><b>　　高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)</b></p><p>　　逼近通帶：[ωp，π]，通帶最大衰減：αpdB；逼近阻帶：[0，ωs]，阻帶最小衰減：αsdB。</p><p>　　remezord調(diào)用參數(shù)：</p><p>　　f= [ωs／π，ωp／π]，m= [0，1]，rip= [δ2，δ1]

57、 (7.4.7)</p><p><b>　　帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)</b></p><p>　　逼近通帶：[ωp1，ωpu]，通帶最大衰減：αpdB；逼近阻帶：[0，ωs1]，[ωsu,π]，阻帶最小衰減：αsdB。</p><p>　　remezord調(diào)用參數(shù)：</p><p>　　f= [ωs1／π，ωp1

58、／π，ωpu／π，ωus／π]，m= [0，1,0]，rip= [δ2，δ1, δ2] (7.4.8)</p><p><b>　　帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)</b></p><p>　　逼近阻帶：[ωs1，ωsu]，阻帶最大衰減：αsdB；逼近阻帶：[0，ωp1]，[ωpu,π]，通帶最小衰減：αpdB。</p><p>　　remezor

59、d調(diào)用參數(shù)：</p><p>　　f= [ωp1／π，ωs1／π，ωsu／π，ωpu／π]，m= [1，0,1]，rip= [δ1, δ2, δ1] (7.4.9)</p><p><b>　　3.2設(shè)計(jì)舉例</b></p><p>　　1利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR帶通濾波器，其指標(biāo)如下：阻帶下截止頻率ω?s=0.2π，通帶下截

60、止頻率ω?p=0.35π，通帶上截止頻率ω?p=0.65π, 阻帶上截止頻率ω?s=0.8π,通帶最大衰減αp=1dB,阻帶最小衰減αs=60dB。</p><p>　　解：調(diào)用remezord和remez函數(shù)求解。由調(diào)用格式知道，首先要根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，在直接編寫程序調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計(jì)得到h(n)。</p><p>　　將設(shè)計(jì)指標(biāo)帶入式

61、（7.4.8）得到remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。本例設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p741.m。</p><p>　　%ep741.m:例7.4.1 用remez函數(shù)設(shè)計(jì)帶通濾波器</p><p>　　f=[0.2,0.35,0.65,0.8]; %省去了0，1</p><p>　　m=[0,1,0]; </p><p>　　rp=1;rs=60;

62、</p><p>　　%由式(7.4.4)和式(7.4.5)求通帶和阻帶波紋幅度dat1和dat2</p><p>　　Dat1=(10∧(rp／20)-1) ／(10∧(rp／20)+1);</p><p>　　Dat2=10∧(-rs／20);</p><p>　　Rip=[dat2,dat1,dat2];</p><

63、p>　　[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip);M=M+2;%remezord估算的階數(shù)偏小，加2才滿足要求</p><p>　　Hn=remez(M,fo,mo,w);</p><p><b>　　繪圖部分略去</b></p><p>　　程序運(yùn)行結(jié)果：M=28.即h(n)的長度N=29。h(n)及其耗損函數(shù)曲線如圖

64、7.4.5所示。而用窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的階數(shù)為80，由此例可見，等波紋最佳逼近法可以使濾波器的階數(shù)大大降低。</p><p><b>　　圖3.2</b></p><p><b>　　圖3.3</b></p><p>　　FIR希爾伯特變換器</p><p>　　例 利用等波紋最近逼近法設(shè)

65、計(jì)14階FIR希爾伯特變換器，要求通帶為[0.1π,0.9π].調(diào)用remez函數(shù)的設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p744.m.</p><p>　　%ep744.m:例7.4.4 調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR希爾伯特變換器</p><p>　　M=14;f=[0.1,0.9];m=[1,1];</p><p>　　hn=remez(M,f,m,’hilbert’); %調(diào)用r

66、emez函數(shù)FIR希爾伯特變換器</p><p><b>　　%以下繪圖部分省略</b></p><p>　　運(yùn)行程序得到的h(n)、幅頻特性和相頻特性如圖7.4.9所示。圖3.4說明h（n）滿足奇對稱特性；圖3.5現(xiàn)實(shí)FIR希爾伯特變換器的幅頻特性｜Hg（ω）｜在通帶內(nèi)以等波紋逼近常數(shù)1；圖3.7中的實(shí)現(xiàn)為FIR希爾伯特變換器的相頻特性θ（ω）；圖3.6放大顯示零頻

67、率附近的相頻特性，表明相頻特性θ（ω）（如式（7.4.17））滿足希爾伯特變換器的要求。θ（ω）中的線性部分是采用因果的FIR濾波器逼近理想希爾伯特變換器的時(shí)延M／2所引入的相移。圖3.6和圖3.7中的許仙表示θ（ω）中的線性部分的波形。與理想希爾伯特變換器相比較，F(xiàn)IR希爾伯特變換器存在幅頻失真，其輸出延時(shí)了（N－1）／2哥采樣間隔。當(dāng)通帶波紋很小時(shí)可以滿足希爾伯特鼻環(huán)的工程要求。</p><p>　　θ（ω）

68、=｛π／2－ω（N－1）／2， -π＜ω＜0</p><p>　?。?π／2－ω（N－1）／2， 0＜ω＜π （7.4.17）</p><p><b>　　圖3.4</b></p><p><b>　　圖3.5</b></p><p><b>　　圖3.6</b&g

69、t;</p><p><b>　　圖3.7</b></p><p>　　例調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)39階數(shù)性相位FIR數(shù)字微分器。要求通帶戒指頻率為0.2π，阻帶截止頻率為0.3π，并希望阻帶逼近零。</p><p>　　解：由題意設(shè)置remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)：M=39；f=[0，0.2，0.3，1]；m=[0，0.2，0，0]。用plot（

70、f,m）畫出希望逼近的幅頻特性如圖7.4.10（a）所示。設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p745.m。運(yùn)行程序輸出的幅頻響應(yīng)曲線如圖7.4.10（b）所示。</p><p>　　%ep745.m:例7.4.5 調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR微分器</p><p>　　M=39;f=[0，0.2,0.3，1];m=[0,0.2,0,0];</p><p>　　hn=remez(M,f,m

71、,’defferentiator’); %調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)FIR微分器</p><p><b>　　%以下繪圖部分略去</b></p><p>　　可以驗(yàn)證，本例中N=39，40和41時(shí)，逼近誤差非常接近。實(shí)際上，當(dāng)通帶截止頻率ωp＜4.5π，濾波器長度N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的逼近效果差別很小。但是，當(dāng)ωp≥4.5π，N取奇數(shù)時(shí)，設(shè)計(jì)效果特別差。所以，實(shí)際中一般