基于kriging的改進(jìn)響應(yīng)面法

1、<p>　　基于kriging的改進(jìn)響應(yīng)面法</p><p>　　摘要：Kriging法是一項(xiàng)估計(jì)技術(shù)，相比傳統(tǒng)插值技術(shù)，有兩方面的優(yōu)點(diǎn)[1]：第一，模型的建立只使用估計(jì)點(diǎn)附近的部分信息，而不是采用所有的信息對(duì)未知信息進(jìn)行模擬；第二，Kriging法同時(shí)具有局部和全局的統(tǒng)計(jì)特性，這使得它可以分析、預(yù)測(cè)己知信息的趨勢(shì)。本文將Kriging模型作為響應(yīng)面函數(shù)，采用拉丁超立方抽樣進(jìn)行初始樣本試驗(yàn)設(shè)計(jì)，應(yīng)用AN

2、SYS建立參數(shù)化有限元模型，結(jié)合MATLAB軟件，用基于Kriging的改進(jìn)響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度，并通過(guò)算例驗(yàn)證了方法的高效性和精確性。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：可靠度；kriging；響應(yīng)面；拉丁超立方抽樣 </p><p>　　中圖分類(lèi)號(hào)：U443.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A </p><p><b>　　引言 </b></p>

3、;<p>　　結(jié)構(gòu)可靠性包括：安全性、適用性和耐久性，即結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定條件下，完成預(yù)定功能的能力。度量可靠性的指標(biāo)叫可靠度。可靠度常用計(jì)算方法有FORM、SORM、MC法、響應(yīng)面法等。FORM是近似計(jì)算可靠度指標(biāo)最簡(jiǎn)單的方法，只需考慮隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差、功能函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。SORM在計(jì)算失效概率過(guò)程中考慮極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近的曲率變化，將功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并取至二次項(xiàng)，

4、以此二次函數(shù)曲面來(lái)代替原失效面，但其計(jì)算過(guò)程繁瑣，不利于工程實(shí)際應(yīng)用。MC法又稱為統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法，計(jì)算機(jī)的發(fā)展為其提供了高效的計(jì)算手段，使其應(yīng)用范圍越來(lái)越廣。響應(yīng)面法是用一個(gè)簡(jiǎn)單的顯示函數(shù)去逼近實(shí)際的隱式的極限狀態(tài)函數(shù)，先假設(shè)一個(gè)包括一些未知參數(shù)的極限狀態(tài)方程，然后用插值方法來(lái)確定表達(dá)式中的未知參數(shù)，確定顯式的響應(yīng)面方程。響應(yīng)面方程有多項(xiàng)式響應(yīng)面方程和其它形式的響應(yīng)面方程。多項(xiàng)式模擬的響應(yīng)面方法能在一定程度能反映極限狀態(tài)方程的非線性，但如果

5、隱式極限狀態(tài)方程是高于二次的，精度是很低的，甚至可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果。針對(duì)這些問(wèn)題，人們開(kāi)始尋找能替代多項(xiàng)式表達(dá)式的其他響應(yīng)面法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬響應(yīng)面</p><p>　　基于Kriging的可靠度計(jì)算 </p><p>　　Kriging是線性回歸分析的一種改進(jìn)的技術(shù)，它包含了線性回歸部分和非參數(shù)部分，其中非參數(shù)部分被視作隨機(jī)分布的實(shí)現(xiàn)，其模型組成形式見(jiàn)下式（1）： </p>

6、<p><b>　　(1) </b></p><p>　　可以理解為線性組合的多項(xiàng)式形式，為隨機(jī)分布過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程的存在就是Kriging法與傳統(tǒng)響應(yīng)面法的不同之處。 </p><p><b>　　(2) </b></p><p>　　式中：為線性回歸系數(shù)；為變量的多項(xiàng)式函數(shù)，為的數(shù)目。相當(dāng)于響應(yīng)面法中的多項(xiàng)式

7、形式，為模型建立提供模擬的全局近似。建立好Kriging模型后，可以另取樣本點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證模型的精度，以保證模型的有效性。Kriging模型建立與預(yù)測(cè)的原理詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]。 </p><p><b>　　拉丁超立方抽樣 </b></p><p>　　拉丁超立方體抽樣給出的試驗(yàn)點(diǎn)帶有隨機(jī)性，其理論依據(jù)是使試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)輸出變量的總均值提供一個(gè)無(wú)偏估值，且方差較小，本質(zhì)是控制抽樣

8、點(diǎn)位置，避免抽樣點(diǎn)在小鄰域內(nèi)重合，相對(duì)于單純的分層抽樣，其最大優(yōu)勢(shì)就在于任何大小的抽樣數(shù)目都能容易地產(chǎn)生，其步驟是： </p><p>　?。?） 將每一維分成互不重迭的m個(gè)區(qū)間，使得每個(gè)區(qū)間有相同的概率 。 </p><p>　　（2） 在每一維里的每一個(gè)區(qū)間中隨機(jī)的抽取一個(gè)點(diǎn)； </p><p>　?。?） 再?gòu)拿恳痪S里隨機(jī)抽出（2）中選取的點(diǎn)，將它們組成向量。

9、 </p><p>　　基于Kriging的改進(jìn)響應(yīng)面法 </p><p>　　通過(guò)拉丁超立方體抽樣得到一系列輸入?yún)?shù)，將輸入?yún)?shù)進(jìn)行ANSYS有限元分析，可以得到輸入對(duì)應(yīng)的輸出。采用DACE工具箱建立Kriging模型，得到了響應(yīng)面方程，再結(jié)合FORM、SORM和MC抽樣的方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)。但實(shí)際應(yīng)用中，我們常需要增加訓(xùn)練樣本數(shù)量以提高模擬精度。為了解決這問(wèn)題，將建立的Krigi

10、ng模型與MC 法結(jié)合，進(jìn)行迭代循環(huán)求解可靠度，即：先采用MC法抽取分布均勻的少量訓(xùn)練樣本點(diǎn)，進(jìn)行有限元分析。用Kriging法將輸入與輸出模擬成響應(yīng)面模型，并預(yù)測(cè)50萬(wàn)個(gè)測(cè)試點(diǎn)的響應(yīng)值。再?gòu)倪@些測(cè)試點(diǎn)選取少數(shù)對(duì)真實(shí)的響應(yīng)面模型貢獻(xiàn)較大的點(diǎn)作為新增訓(xùn)練點(diǎn)來(lái)更新模型，使得響應(yīng)面模型能夠快速接近真實(shí)極限狀態(tài)方程曲線。這些對(duì)響應(yīng)面模型貢獻(xiàn)較大的點(diǎn)的選取，是根據(jù)測(cè)試點(diǎn)的概率密度函數(shù)和測(cè)試點(diǎn)與極限狀態(tài)方程的接近程度來(lái)確定。我們從所有測(cè)試點(diǎn)中選出最

11、小的點(diǎn)，作為新增的訓(xùn)練樣本點(diǎn)，使訓(xùn)練樣本點(diǎn)迅速地落到真實(shí)失效面附近，構(gòu)建出比較真實(shí)的失效面[3]。這整個(gè)過(guò)程在MATLAB中進(jìn)行，在matlab中調(diào)用ANSYS軟件，進(jìn)行循環(huán)迭代，省去了許多的人工操作過(guò)程，節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。 </p><p><b>　　算例 </b></p><p>　　算例1 圖1所示三跨連續(xù)梁，L=5m，三跨連續(xù)梁撓度最大允許值為，建立極限狀

12、態(tài)函數(shù)[4]： </p><p><b>　　(4-1) </b></p><p>　　式中，其中為分布荷載，為彈性模量，為慣性矩，基本隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其分布參數(shù)見(jiàn)表1。 </p><p>　　圖1 三跨連續(xù)梁簡(jiǎn)圖(單位：m) </p><p>　　表1 算例1隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù) </p><p&g

13、t;　　本算例采用基于Kriging的響應(yīng)面法擬合極限狀態(tài)方程后，采用FORM、SORM和MC法計(jì)算出可靠度指標(biāo)，結(jié)果與精確解比較接近，見(jiàn)表2。 </p><p>　　表2 算例1計(jì)算結(jié)果表 </p><p>　　可靠度計(jì)算方法 失效概率( ×10-4) β </p><p>　　FORM[4] 7.543 3.173 </p><p&

14、gt;　　MC[5] 8.960 3.123 </p><p>　　SVM的響應(yīng)面法[4] FORM 8.378 3.142 </p><p>　　MC 8.653 3.133 </p><p>　　基于Kriging的響應(yīng)面法 FORM 8.603 3.135 </p><p>　　SORM 7.350 3.181 </p>

15、<p>　　MC 6.900 3.199 </p><p>　　基于Kriging的改進(jìn)響應(yīng)面法 MC 6.900 3.199 </p><p>　　算例2 矩形截面懸臂梁受均勻分布荷載作用，梁的自由端的最大豎向位移不能超過(guò)允許變形，其功能函數(shù)是，其中分別是彈性模量、均布荷載、慣性矩以及梁的寬和長(zhǎng)。m，MPa，其極限狀態(tài)函數(shù)表示為[6]： </p><p>

16、;<b>　　(2-54) </b></p><p><b>　　圖2 懸臂梁簡(jiǎn)圖 </b></p><p>　　表3隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù) </p><p>　　是正態(tài)分布隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表3。用FORM，SORM和MC法計(jì)算可靠度指標(biāo)，與改進(jìn)的方法進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)下表4。兩個(gè)算例結(jié)果表明Kriging能夠精確地模擬高次

17、非線性的極限狀態(tài)曲線，改進(jìn)的響應(yīng)面法擬合效果更佳。 </p><p>　　表4 算例2計(jì)算結(jié)果表 </p><p><b>　　小結(jié) </b></p><p>　　將Kriging法與MC 法結(jié)合起來(lái)，通過(guò)進(jìn)行迭代循環(huán)構(gòu)造出高精度的響應(yīng)面模型，提高了計(jì)算精度的同時(shí)，還大大減少了有限元計(jì)算的次數(shù)。同時(shí)將MATLAB與ANSYS很好的結(jié)合到一起，實(shí)

18、現(xiàn)了自動(dòng)進(jìn)行有限元分析與構(gòu)建響應(yīng)面方程的循環(huán)迭代，大大提高了計(jì)算效率，減少了大量時(shí)間。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)： </b></p><p>　　[1] 張崎, 李興斯. 基于Kriging模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào), 2006(2):175-179. </p><p>　　[2] Lophaven S, Niel