四.平行截面面積為已知的立體的體積

1、四、平行截面面積為已知的立體的體積,1、定義 對于空間一立體,如果用垂直與某一定軸的任意平面截立體,得到的截面面積都是已知的（即可以用學(xué)過的知識 ,公式計(jì)算),由于這些截面都是互相平行的，則稱為平行截面面積為已知的立體。,2、體積的求法 由于立體體積不以立體的位置改變而改變，因此，可取軸為坐標(biāo)軸，比如x軸。如圖所示，,設(shè)立體在x軸的投影為區(qū)間[a,b]， 而x=x得到截面面積為A(X),求其體積 。,用微分法

2、:分割[a,b]得到微分區(qū)間[x,x+dx]相應(yīng)于這一區(qū)間的薄片體積 的近似植可用以A(x)為底面積,高為dx的平頂柱體體積.于是得體積微元：,故所求體積：,例：一平面經(jīng)過半徑為R的底圓中心并與底面交成角 ，計(jì)算這平面截圓柱體所得的立體的體積。,,解：如圖建立坐標(biāo)：取這平面與圓柱體的底面交線為上過圓中心且垂直與x軸的直線為y軸，則圓柱體的底圓方程為,截下的立體位于平面x=R與x=-R之間，顯然， [-R,R]

3、，過點(diǎn)x且垂直與于x軸的平面截立體所得的截面是一直角三角形，,其面積為：,,,,,因此體積微元,例：祖暅定理：”夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，則這兩個幾何體的體積相等。”,證：在空間直角坐標(biāo)系中，將兩平行平面中的一個作為xy坐標(biāo)軸，另一個平行平面與其相距h，設(shè)為z=h，于是，兩個幾何體夾在中間，如圖所示：,祖暅定理,過點(diǎn)z作平面z=h與兩個幾何體相截，得到的兩個截面P(z