第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、,第四節(jié),一元復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)法則,本節(jié)內(nèi)容:,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,微分法則,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第九章,,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則,定理. 若函數(shù),處偏導(dǎo)連續(xù),,在點 t 可導(dǎo),,則復(fù)合函數(shù),證: 設(shè) t 取增量△t ,,則相應(yīng)中間變量,且有鏈式法則,,,有增量△u ,△v ,,,( 全導(dǎo)數(shù)公式 ),(△t＜0 時,根式前加“–”號),,若定理中,說明:,例如:,易知:,但復(fù)合函數(shù),偏

2、導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為,偏導(dǎo)數(shù)存在,,,則定理結(jié)論不一定成立.,,,,,,,,,推廣:,1) 中間變量多于兩個的情形.,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .,2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.,,,,,,,,,例如,,例如,,,,,,,又如,,當它們都具有可微條件時, 有,注意:,這里,表示 f ( x, ? ( x, y ) )固定 y 對 x 求導(dǎo),表示f ( x, v )固定 v 對 x 求導(dǎo),口訣 :,,與,不同,,,,,,,,分段用乘, 分叉用

3、加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo),例1. 設(shè),解:,,,,,,,,例2.,解:,例3. 設(shè),,,求全導(dǎo)數(shù),解:,注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與,,驗證解的問題中經(jīng)常遇到,,下列兩個例題有助于掌握,這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.,,為簡便起見 , 引入記號,,,,例4. 設(shè),f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),,求,解: 令,則,,,,,例5. 設(shè),二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達式在,解: 已知,,極坐標系下的形式,(1),, 則

4、,,題目,,已知,,,,,,,,,,,,,,,,注意利用已有公式,,同理可得,,,,,,,,,,,題目,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,設(shè)函數(shù),的全微分為,可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,,則復(fù)合函數(shù),都可微,,其全微分表達,形式都一樣,,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,,,例1 .,,例 6.,利用全微分形式不變性再解例1.,解:,,所以,內(nèi)容小結(jié),1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則,“分段用乘,,分叉用加,,單路全導(dǎo),,叉路偏導(dǎo)”,

5、例如,,2. 全微分形式不變性,不論 u , v 是自變量還是中間變量,,,,思考與練習(xí),解答提示:,P81 題7,P81 題7; 8(2); P130 題11,……,P81 題8(2),① ②,作業(yè) P81 2; 4; 6; 9; 10; *12(4); *13,P130 題 11,第五節(jié),,,,備用題,1. 已知,求,解: 由,兩邊對 x 求導(dǎo), 得,,2.,,,求,解: 由題設(shè),,