六方各向異性介質(zhì)波動(dòng)方程

1、第三章 六方各向異性介質(zhì)波動(dòng)方程,3.1.1矩陣和分量形式的波動(dòng)方程,經(jīng)過(guò)彼此代入后得矩陣形式的波動(dòng)方程---以位移為變量的三位三分量波動(dòng)方程：,---（1）,3.1 六方各向異性介質(zhì)波動(dòng)方程,各向異性介質(zhì)本構(gòu)、柯西、奈維爾三個(gè)方程分別是：,當(dāng)上述的物性矩陣取六方物質(zhì)時(shí)，可以得到：,其中 為物性矩陣；,---（2）,或：,矩陣Q對(duì)稱，其中：,--（3）,--（4）,將（3）代入（2）得 分量滿足波動(dòng)方程。

2、 分量波動(dòng)方程是：,Y分量波動(dòng)方程：,Z分量波動(dòng)方程：,以上的波動(dòng)方程也稱為分量形式的三維波動(dòng)方程。其次，由于物性矩陣中獨(dú)立的參數(shù)是5個(gè)，且物性參數(shù)d具體表達(dá)形式不同，上述方程同均勻彈性各向同性介質(zhì)的波動(dòng)方程不一樣。另外，該方程不能簡(jiǎn)單的按照矢量合成的方式組合在一起。,3.1.2、2.5D矢量波動(dòng)方程,第一種情況：ＸＯＺ面上２.５D矢量波動(dòng)方程令Ly=0有：,寫稱矩陣形式：,其中：,第二種情況：XOY面上2.5D矢量波動(dòng)方程令L

3、z=0則有：,矩陣形式：,其中：,3.1.3 射線上的矢量波動(dòng)方程 射線上的矢量波動(dòng)方程也就是射線上的三分量波動(dòng)方程，也稱一維三分量波動(dòng)方程。3.1.3.1、物性矩陣坐標(biāo)系下的一維三分量波動(dòng)方程,1、波沿垂直軸Z方向傳播取Z軸向下的直角坐標(biāo)系，取Z軸為射線方向。在這種情況下建立方程：,矩陣形式：,分析XOY方向波傳播可知，對(duì)于TI介質(zhì)，由于Vqsv=Vsh=Vs垂直，可知VI介質(zhì)為橫向各向異性介質(zhì)的意義。,對(duì)于TI介質(zhì)：,2、波

4、沿水平軸Y方向傳播對(duì)于Lx=Lz=0有：,矩陣形式：,TI介質(zhì)中：,速度關(guān)系滿足：,綜上所述，在兩個(gè)特殊方向上討論了波傳播方向、質(zhì)點(diǎn)偏振方向和傳播速度大小之間的關(guān)系。,3.1.3.2、任意方位射線上的矢量波動(dòng)方程,任意方位射線上的矢量波動(dòng)方程：,（1）、第一種情況：取Z軸向下為正的直角三維坐標(biāo)系，介質(zhì)初始狀態(tài)Z為對(duì)稱軸求如下方位射線上矢量波動(dòng)方程。,經(jīng)過(guò)多步的計(jì)算和變換可得波動(dòng)方程的如下形式：,其中元素如下：,（2）、第二種情況：取

5、Z軸向下為正向，對(duì)稱軸為X軸，波沿著Z軸傳播。其物性矩陣如下：,經(jīng)處理和整理后，可得沿Z向傳播的一維三分量波動(dòng)方程：,其中：,對(duì)這種情況下的波動(dòng)方程退化處理，去除垂直分量后，可得一維雙水平分量波動(dòng)方程：,上述退化方程中，第一個(gè)方程是描述橫波，其質(zhì)點(diǎn)沿平行主對(duì)稱軸Ｘ方向偏振；第二向是描述沿Y向偏振的橫波。,3.2 矢量波場(chǎng)的位函數(shù)分解,矢量波場(chǎng)的位函數(shù)分解實(shí)質(zhì)是各向異性介質(zhì)矢量彈性波場(chǎng)脹縮縱波場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)橫波場(chǎng)的分解問(wèn)題。,3.2.1、六方各

6、向異性介質(zhì)矢量波場(chǎng)分解的特殊性六方各向異性解釋其彈性波場(chǎng)同樣滿足無(wú)旋無(wú)散場(chǎng)的條件。即：,考慮位移矢量和位移位與y變量無(wú)關(guān)，僅與x和z分量有關(guān)，此時(shí)彈性波動(dòng)方程為：,位移矢量的分解和位移位的關(guān)系為：,若令 則可得：,六方各向異性介質(zhì)矢量波場(chǎng)分解的特殊性。 介質(zhì)是六方各向異性時(shí)，不能常采用處理各向同性介質(zhì)的方式解決問(wèn)題。因?yàn)檫@時(shí)物性矩陣與其它5個(gè)彈性參數(shù)有關(guān)，分量形式的波動(dòng)方程不能

7、用矢量分析知識(shí)來(lái)解決。此時(shí)，可以把分量合在一起的方式解決這個(gè)問(wèn)題。,3.2.2、均勻彈性六方各向異性介質(zhì)滿足準(zhǔn)縱波的位函數(shù),取位函數(shù)為：,其中：,將 代入到3.2.1中波動(dòng)方程有：,上式整理后得：,將 代入上兩式得：,簡(jiǎn)化后可得：,和,由上述兩式便可以求解出六方各向異性介質(zhì)中qP波的相速度。,3.2.3 均勻彈性六方各向異性介

8、質(zhì)滿足準(zhǔn)橫波的位函數(shù),同理，對(duì)于滿足準(zhǔn)橫波的位函數(shù)?。?其中：,把 代入到3.2.1中的波動(dòng)方程再把 代入后整理有：,和,上式簡(jiǎn)化后有：,和,上述兩式可以求出六方各向異性介質(zhì)qSV波的相速度。,3.2.4 波的傳播方向和質(zhì)點(diǎn)偏振方向之間的關(guān)系,體積元的偏振方位，其另一種提法就是質(zhì)點(diǎn)的偏振方向。下

9、面以Z軸是對(duì)成軸的均勻彈性六方各向異性介質(zhì)為例來(lái)討論。,3.4.1、準(zhǔn)縱波的qP的偏振情況,,在XOY面內(nèi)位移與位移位存在如下關(guān)系：,再注意到：,把 代入 中，得：,由于Z軸與質(zhì)點(diǎn)偏振方位之間的夾角可以表示為：,其中：,此外，,和,上式表示波的傳播方向與體積元(質(zhì)點(diǎn))之間位移偏振方向不一

10、致，存在一個(gè)偏差角，該角度的大小與介質(zhì)的各向異性強(qiáng)度及波的傳播方向有關(guān)。,3.2.4.2、準(zhǔn)橫波qSV的偏振情況,采用與qP波類似的方法，把位函數(shù)：,代入,得到：,Z軸和質(zhì)點(diǎn)的偏振方位之間的夾角可以表示為：,其中：,上述表達(dá)了準(zhǔn)橫波質(zhì)點(diǎn)偏振方向與qSV波傳播方向的夾角的關(guān)系。除了某些特殊的方向外，準(zhǔn)橫波體積元位移偏振方向不垂直于波的傳播方向，同樣存在一個(gè)偏差角。,通過(guò)上述討論可知:(1)準(zhǔn)縱波體積元位移的偏振方向與波傳播方向不一致，準(zhǔn)橫

11、波體積元偏振方向不垂直于波的傳播方向，均相差一個(gè)偏差角，這是各向異性介質(zhì)中波的傳播有別于各向同性介質(zhì)的特殊現(xiàn)象之一；(2)偏差角的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì)，即介質(zhì)物性矩陣中的彈性參數(shù)，還有波的傳播方向；(3)需要注意，準(zhǔn)縱波和準(zhǔn)橫波體積元位移偏振方向彼此仍然是正交的，此點(diǎn)與各向同性介質(zhì)一樣。,本章總結(jié),本章首先從本構(gòu)、位移與應(yīng)力和位移與應(yīng)變?nèi)齻€(gè)方程出發(fā)，建立了各向異性介質(zhì)矩陣形式的波動(dòng)方程。在此基礎(chǔ)上，討論了分量形式的波動(dòng)方程和射線上的矢量

12、波動(dòng)方程。通過(guò)討論波平行對(duì)稱軸和垂直對(duì)稱軸傳播的 1 維 3 分量波動(dòng)方程，可以知道質(zhì)點(diǎn)偏振平行于各向同性面的波和垂直于各向同性面的波，這兩個(gè)波質(zhì)點(diǎn)偏振的方向彼此正交，波傳播的速度前者較之后者要大，即前者傳播較之后者要快。這個(gè)結(jié)論對(duì)準(zhǔn)縱波和準(zhǔn)橫波均成立。另外，使用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法，能夠得到任意方位射線上的矢量波動(dòng)方程。,另外，各向異性介質(zhì)矢量彈性波場(chǎng)的脹縮縱波場(chǎng)與旋轉(zhuǎn)橫波場(chǎng)的分解問(wèn)題。由于介質(zhì)是各向異性的，物性矩陣與 5 個(gè)彈性參數(shù)有關(guān)，

13、不能像均勻彈性各向同性介質(zhì)那樣，得到緊縮成矢量形式的波動(dòng)方程；單獨(dú)的一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)或一個(gè)矢量位函數(shù)都不可能表達(dá)成獨(dú)立的波動(dòng)方程。但是，可以采用把標(biāo)量位函數(shù)和矢量位函數(shù)結(jié)合在一起的方式解決這個(gè)問(wèn)題。,各向異性介質(zhì)矢量彈性波場(chǎng)位函數(shù)分解后呈現(xiàn)出的重要結(jié)論是，在各向異性介質(zhì)中除了某些特殊方向外，無(wú)論是準(zhǔn)縱波還是準(zhǔn)橫波，波的質(zhì)點(diǎn)偏振方向與波的傳播方向既不平行也不垂直，而是存在一個(gè)偏差角。偏差角的大小與介質(zhì)各向異性強(qiáng)度和波的傳播方向有關(guān)；這是各向