水工模型試驗(yàn) 因次分析與π定理

1、水工及河工模型試驗(yàn),第二章 因次分析,2.1 因次與單位,因次（dimension）:表征物理量的性質(zhì)與類別,或稱量綱。單位（unit）：度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)。因次與單位的關(guān)系,因次的分類,,基本因次：彼此相互獨(dú)立，有長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量（力）,導(dǎo)出因次：由基本因次推導(dǎo)出來(lái)，如速度、加速度等,因次,,有因次的量：數(shù)值大小隨單位的變換而改變,無(wú)因次的量：數(shù)值大小不隨單位的變換而改變,物理量,因次關(guān)系式:,2.1 因次與單位,因次獨(dú)

2、立條件,,（冪積不是無(wú)因次數(shù)，或不存在非零解，即只有零解）,,,,,,（存在惟一解）,2.1 物理量的因次、量度單位和因次式,因次獨(dú)立的基本物理量的選取方法所選取的一組基本物理量中分別含有幾何學(xué)物理量、運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量和動(dòng)力學(xué)物理量；幾何學(xué)物理量：物理量的因次僅是長(zhǎng)度[L]； 運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量：物理量因次表達(dá)式中含有時(shí)間[T]而不含質(zhì)量[M]（或力[F]）；動(dòng)力學(xué)物理量：物理量的因次含有質(zhì)量[M] （或力[F]）。,,2.2 因次和諧原

3、理,一、因次和諧原理因次和諧原理：任一物理方程中的各個(gè)項(xiàng)的因次必須相同；或所有的物理方程都必定是齊次性的，即因次和諧。無(wú)量綱方程：如果一個(gè)物理方程經(jīng)過(guò)變化后，方程中各項(xiàng)都變?yōu)闊o(wú)因次數(shù)，則該物理方程稱為無(wú)量綱方程。因次和諧原理的重要性因次和諧方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。（伯努利方程）用因次和諧原理可以確定物理方程中各物理量的指數(shù)。（瑞利法）,2.2 因次和諧原理,瑞利法 已知某一物理過(guò)程與幾個(gè)物理量有關(guān)，記

4、為 其中的某個(gè)物理量可以表示為其它物理量的指數(shù)的乘積形式：,,,,,2.2 因次和諧原理,例1：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為m的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。,2.2 因次和諧原理,瑞利法基本步驟找出物理過(guò)程的參變量；寫出函數(shù)的指數(shù)關(guān)系式；選定基本因次，整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式；根據(jù)因次和諧原理，列出因次和諧方程組，聯(lián)立求解出各參變量的指數(shù)值；將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式，并加整理、化簡(jiǎn)

5、；通過(guò)模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)，驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性，確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù)，獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。,2.2 因次和諧原理,瑞利因次分析方法的局限性只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積；所建立方程式的正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù)，一般需由模型試驗(yàn)或理論分析求得；只有當(dāng)參變量不大于4個(gè)時(shí)，才能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組，求得不大于

6、三個(gè)的待定指數(shù)，從而建立方程式的具體形式。,2.2 因次和諧原理,作業(yè) 水平圓管中的層流流量Q，通過(guò)實(shí)驗(yàn)知道它與圓管半徑r、單位管長(zhǎng)上的壓差 以及流體的動(dòng)力粘滯系數(shù) 等因素有關(guān)系，即， 請(qǐng)根據(jù)瑞利法推導(dǎo)出圓管層流流量的計(jì)算公式：,2.3 π定理及應(yīng)用,一、π定理（Buckingham定理）π定理：如果任意一個(gè)物理過(guò)程涉及到n個(gè)物理量，若取此n個(gè)物理量中的m個(gè)作為基本因次，則此物理過(guò)程可由這n個(gè)物理量組

7、成的n-m個(gè)無(wú)因次量的函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述，這n-m個(gè)無(wú)因次量用πi (i＝1、2、3、…、n-m)來(lái)表達(dá)。,π定理證明:,,,,2.3 π定理及應(yīng)用,,,,,,2.3 π定理及應(yīng)用,,,,2.3 π定理及其應(yīng)用,注意并非所有的物理過(guò)程，都能利用π定理來(lái)確定物理過(guò)程的函數(shù)表達(dá)式。 在力學(xué)問(wèn)題中，m的數(shù)量最大等于3，如多于3，就要引入附加的物理常數(shù)。π定理的應(yīng)用步驟找出影響物理現(xiàn)象的n個(gè)主要參變量，寫成函數(shù)形式；選出m(一般m=3)

8、個(gè)基本參變量，并保證是因次獨(dú)立的；,2.3 π定理及其應(yīng)用,將有n個(gè)因變量的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)換為（n-m)個(gè)π項(xiàng)的無(wú)因次關(guān)系式。各個(gè)π項(xiàng)表示為,根據(jù)因次和諧原理，列出各待定指數(shù)的聯(lián)立方程式，求解得出各指數(shù)，回代到各個(gè)無(wú)因次πi表達(dá)式，得出πi的表達(dá)式。檢驗(yàn)所求解常數(shù)，確保它們均為無(wú)因次數(shù)。將所有的常數(shù)表示為無(wú)因次方程式。,2.3 π定理及其應(yīng)用,二、π定理在因次分析中的應(yīng)用 例1：設(shè)影響圓球在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)引起的粘滯阻力FD與流體的密度

9、ρ、動(dòng)力粘滯系數(shù)μ、球體與流體的相對(duì)速度v以及表征球體的特征面積A有關(guān)。利用π定理建立圓球的粘滯力公式。,,,2.3 π定理及其應(yīng)用,例2:利用π定理確定粘性流體在光滑圓管中均勻流動(dòng)的阻力損失公式。,2.3 π定理及其應(yīng)用,三、π定理的作用求各變量之間的某種聯(lián)系；可以把參變量組合為個(gè)數(shù)減少了的無(wú)因次量，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化；可以使一些純經(jīng)驗(yàn)公式具有理論上的正確形式。經(jīng)過(guò)因次分析把包含若干個(gè)參變量的函數(shù)式轉(zhuǎn)換為只包含幾個(gè)無(wú)因次數(shù)的函數(shù)式

10、，而這些無(wú)因次數(shù)往往就是該函數(shù)式所描述的物理現(xiàn)象互為相似的一族相似準(zhǔn)數(shù)，它們也正是設(shè)計(jì)模型試驗(yàn)所必須遵循的相似準(zhǔn)則。,2.3 π定理及其應(yīng)用,四、因次分析時(shí)要注意的問(wèn)題遺漏了主要參變量，引入了次要變量或完全無(wú)關(guān)的變量。取了較多沒(méi)有決定性意義的物理量，造成方程中出現(xiàn)累贅的因次。把有因次的某些常數(shù)或系數(shù)視為無(wú)因次數(shù)而未作為參變量；遇到因次相同而物理意義不同的量，在分析時(shí)難以區(qū)分（如彎矩與功）。在所求得的若干無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)中，僅憑因次分析