第二十講平行四邊形

1、第二十講平行四邊形,一、平行四邊形1.概念：兩組對(duì)邊分別_____的四邊形.2.性質(zhì)與判定,平行,平行且相等,平行,相等,平行且相等,相等,相等,互相平分,互相平分,二、三角形的中位線1.三角形的中位線的定義：連接三角形兩邊_____的線段叫做三角形的中位線.2.三角形的中位線的性質(zhì)：三角形的中位線_____于三角形的第三邊，且等于第三邊的_____.,中點(diǎn),平行,一半,【思維診斷】(打“√”或“×”)1.平行

2、四邊形的對(duì)邊平行且相等.　( )2.平行四邊形的鄰角相等.　( )3.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形. 　( )4.平行四邊形對(duì)角線相等且互相平分.　( )5.兩條平行線之間的距離處處相等.　( )6.三角形的中位線等于一邊的一半.　( ),√,×,×,×,√,&

3、#215;,熱點(diǎn)考向一 平行四邊形的性質(zhì) 【例1】(2014·廣州中考)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：△AOE≌△COF.,【思路點(diǎn)撥】由平行四邊形的性質(zhì)及對(duì)頂角的性質(zhì)可推出△AOE與△COF全等的條件.,【自主解答】∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，

4、∴△AOE≌△COF.,∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，,,【規(guī)律方法】平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用1.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.2.平行四邊形的每條對(duì)角線，把它分成兩個(gè)全等的三角形，兩條對(duì)角線把平行四邊形分成四組全等的三角形.3.在解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時(shí)，常利用其性質(zhì)證三角形全等來解決.注意：平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形.,【真題專練】1.(2014·

5、;河南中考)如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC.若AB=4，AC=6，則BD的長是　(　　)A.8B.9C.10D.11,【解析】選C.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，OA= AC= ×6=3，AB=4，由勾股定理，得OB=5，∴BD=2OB=2×5=10.,2.(2014·福州中考)如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，則?ABCD的周長是　　

6、　　.【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=6，AB=DC，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC，∴EC=DC .∵AD=6，BE=2，∴EC=DC=4.∴四邊形ABCD的周長為2×(AD+DC)=20.答案：20,3.(2014·賀州中考)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1=∠2.(1)求證：B

7、E=DF.(2)求證：AF∥CE.,【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.(2)由(1)得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE.,∠AEB=∠4，∠3=∠5，AB=CD，,,熱點(diǎn)考向二 平行四邊形的判定 

8、【例2】(2013·鞍山中考)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.求證：(1)△AFD≌△CEB.(2)四邊形ABCD是平行四邊形.,【思路點(diǎn)撥】(1)由DF∥BE得∠DFE=∠BEF，再證△AFD≌△CEB.(2)由△AFD≌△CEB得到AD=CB且AD∥CB.,【自主解答】(1)∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CE

9、B.(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=CB，∴AD∥CB.∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).,【規(guī)律方法】平行四邊形的三種判定思路1.若已知一組對(duì)邊平行，可以證明這組對(duì)邊相等，或另一組對(duì)邊平行.2.若已知一組對(duì)邊相等，可以證明這組對(duì)邊平行，或另一組對(duì)邊相等.3.若已知條件與對(duì)角線有關(guān)，可以證明對(duì)角線互相平分.注意：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定

10、是平行四邊形.,【真題專練】1.(2014·益陽中考)如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是　(　　)A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠2,【解析】選A.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加“AE=CF”，則判斷△ABE≌△CDF的方法是“SSA”，∴添加的條件

11、不能是AE=CF.,2.(2014·內(nèi)江中考)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AD∥BC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：　　　，使四邊形ABCD為平行四邊形(不添加任何輔助線).,【解析】可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加AD=BC；或根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，添加AB∥DC.答案：答案不唯一；AD=BC(或者AB∥DC),3.(2014·云南中考)如圖，在平行四邊形ABCD中

12、，∠C=60°，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，BC=2CD.(1)求證：四邊形MNCD是平行四邊形.(2)求證：BD= MN.,【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M(jìn)，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴MD=NC，MD∥NC，∴四邊形MNCD是平行四邊形.(2)如圖：連接ND，∵四邊形MNCD是平行四邊形，∴MN=DC.∵N是BC的中點(diǎn)，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=6

13、0°，∴△NCD是等邊三角形.,∴ND=NC，∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN= ∠DNC=30°，∴∠BDC=90°.∵tan∠DBC= = ，∴DB=,熱點(diǎn)考向三 三角形的中位線 【例3】(2013·鞍山中考)如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD

14、=4，CD=3，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是　　　　.,【解題探究】解答本題需要思考兩個(gè)問題：(1)四邊形EFGH的邊長分別是哪個(gè)三角形的中位線？提示：由E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，得到EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.(2)怎樣求BC的長？提示：在Rt△BCD中，由勾股定理即可求出BC的長.,【嘗試解答】∵BD⊥C

15、D，∴∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=4，CD=3，∴ .∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，∴EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.∴EH=FG= AD，EF=GH= BC，∴四邊形EFGH的周長為EH+HG+GF+FE=AD+BC=6+5=11.答案：11,【變式訓(xùn)練】例3中的四邊形EFGH是

16、平行四邊形嗎？并說明理由.【解析】四邊形EFGH是平行四邊形.理由如下：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，∴EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.∴EH∥AD，F(xiàn)G∥AD，∴EH∥FG.同理EF∥GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.,【規(guī)律方法】三角形中位線的應(yīng)用1.已知三角形的中位線，求第三邊的長或已知第三邊的長求三角形的中位線的長.2.利用三角形的中位線可證明

17、平行.3.三角形的三條中位線圍成的三角形與原三角形周長的比為1∶2，面積的比為1∶4.4.已知圖形中線段的中點(diǎn)較多時(shí)，常考慮利用三角形中位線的性質(zhì)定理，確定線段間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系.,【真題專練】1.(2014·河北中考)如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn).若DE=2，則BC=　(　　)A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5,【解析】選C.∵D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△AB

18、C的中位線.∵DE=2，∴BC=2DE=4.,2.(2014·臺(tái)州中考)如圖，蹺蹺板AB的支柱OD經(jīng)過它的中點(diǎn)O，且垂直于地面BC，垂足為D，OD=50cm，當(dāng)它的一端B著地時(shí)，另一端A離地面的高度AC為　(　　)A.25cmB.50cmC.75cmD.100cm【解析】選D.根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得AC=2OD=2×50=100(cm).,3.(2014·揚(yáng)州中考)如圖，△A

19、BC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離是8cm，則△ABC的面積為　　　　cm2.,【解析】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC=2DE=10cm.由折疊的性質(zhì)可得AF⊥DE，∴AF⊥BC，∴S△ABC= BC×AF= ×10×8=40(cm2).答案：40,命題新視角 平行四邊形的探索題 【例】(2013·萊蕪中考

20、)在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE.(1)證明DE∥CB.(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.,【審題視點(diǎn)】,【自主解答】(1)連接CE.∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE= AB=AE.∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，AD=CD.在△ADE與△CDE中，AD=DC，DE=DE，A

21、E=CE，∴△ADE≌△CDE(S.S.S.)，∴∠ADE=∠CDE=30°.∵∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°，∠CDE+∠DCB=180°，∴DE∥CB.,(2)當(dāng)AC= AB時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.理由如下：在Rt△ABC中，∵AC= AB，∴sinB= ，∴∠B=30°.∵∠DCB=150°，∴∠DCB

22、+∠B=180°.∴DC∥BE.由(1)知DE∥CB，∴四邊形DCBE是平行四邊形.,【規(guī)律方法】逆向思維——執(zhí)果索因1.由結(jié)論探索條件.把結(jié)論當(dāng)作條件，通過推理得到結(jié)論成立的條件.這就是執(zhí)果索因.2.利用探索得到的條件，證明結(jié)論的正確性.,【真題專練】1.(2013·茂名中考)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證：△ADE≌△BFE.(2)若DF平分∠ADC，

23、連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由.,【解題指南】第(1)題由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；第(2)題是結(jié)論探索題，根據(jù)圖形先猜測CE⊥DF.然后由(1)中全等三角形及由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)推出結(jié)論.,【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵點(diǎn)F在CB的延長線上，∴AD∥CF，∴∠ADE=∠BFE.∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，∴AE=BE.在△ADE與△BFE中，∠ADE=∠BFE，∠DE

24、A=∠FEB，AE=BE，∴△ADE≌△BFE.,(2)CE⊥DF.理由如下：由(1)知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，又∠1=∠2.DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF.,2.(2014·涼山州中考)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.(1)試說明

25、AC=EF.(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形.,【解析】(1)∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB垂足為F，∴∠AEF= ∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB，∴△AEF≌△BAC，∴AC=EF.(2)∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD，∠DAC=60°，由(1)的結(jié)論得AC=EF，∴AD=EF，又∵∠BAC=30°

26、;，∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°，又∵∠EFA=90°，∴∠FAD=∠EFA，∴EF∥AD，∴AD EF，∴四邊形ADFE是平行四邊形.,【巧思妙解】 巧構(gòu)三角形的中位線解題【典例】(2013·常德中考)如圖，已知兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB，ME.當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：BM∥CF.,【

27、常規(guī)解法】如圖，延長BM交EF于點(diǎn)D.∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM.∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM=MF.∵在△ABM和△FDM中，∠BAM=∠DFM，AM=FM，∠AMB=∠FMD，∴△ABM≌△FDM(ASA)，∴AB=DF.∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°.在等腰Rt△CE

28、F中，∵∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴BM∥CF.,【巧妙解法】如圖，延長AB交CF于點(diǎn)D，則△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn).又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF.,【解法對(duì)比】本題的“常規(guī)解法”是通過同位角相等來判定兩直線平行的，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，推理步驟較多，往往出現(xiàn)無從著手、推理混亂等困惑；“巧妙解法”作輔助線構(gòu)造三角形