從雙線性映射談起 大學精品課程

1、從雙線性映射談起從雙線性映射談起龍巖學院龍巖學院周金森周金森梁俊平梁俊平劉宏錦劉宏錦定義1設V、U與W都是域F的線性空間，是VU到W的一個映射，如A?果對于，任意，有12V????12U????klF?(1)??????1212klkl???????A??A?A(2)??????1212klkl???????A??A?A則稱是VU到W的雙線性映射；A?(i)若W=F，則稱為VU上的雙線性函數；A?(ii)若W=F，V=U，則稱為V上的雙

2、線性函數；A(iii)若W=F，V=U，且，則稱為V的一個對稱雙線????????A?AA性函數；記，稱為V上的二次函數；????q???A?q(iv)若W=F=R，V=U，，且當且僅當????????A?A??0??A?時，則稱為正定的實對稱雙線性函數，或稱為V上一0????0??A?AA個實內積常記為。????A????一、考慮V上的雙線性函數與矩陣之間的一一對應關系V中取一個基，V中向量在此基下的坐標分別為12n??????，，則

3、??12nXxxx????12nYyyy??????1111??????A?A?A????????nnnniijjijijijijxyxy??????令A=，稱A是雙線性函數在此基111212122212nnnnnnaaaaaaaaa???????????????????????ijija?A??A下的度量矩陣，它是由及基唯一決定，，反之，12n????A??XAY??A?任給一個域F的一個n級矩陣，可以定義V上的一個雙線性函數，滿足。

4、??A?ijija??存在主對角線上的元素全是1的上三角陣B，使得A=BDB，其?中D是正定的對角陣存在主對角線上的元素全是正的上三角陣C，使得A=CC??0A????0iiai??A的絕對值最大的元素必在主對角線上。?注2利用必要性可以很快地判斷某些矩陣不是正定陣。注3A的特征多項式中的????121211knnnnnkknEAbbbb????????????????????就是A的所有k階主子式的和，其中，而kb11122nnbaa

5、a?????nbA?且是A的所有特征112nn12nbb???????????????ii12n???值。二、考慮對稱雙線性函數與二次型（二次函數）的關系命題6設V是特征不為2的域F的一個線性空間，q是V上一個二次函數，則存在V的唯一的對稱雙線性函數，使得，。A????q???A?V???三、雙線性函數空間域F的線性空間V上的所有線性函數構成的集合，定義加法、純量乘法，可以構成域F的一個線性空間，稱為V上的線性函數空間（或對偶空間），記

6、作V。依此類推，我們把域F的線性空間V上的所有雙線性函數構成的集合，定義加法、純量乘法，易證對于函數的加法、純量乘法構成域F??2TV??2TV的一個線性空間，稱為V的雙線性函數空間。由于雙線性函數與它在V??2TV的一個基下的度量矩陣是一一對應關系，且保持線性運算，因此兩個線性空間同構，從而。??2TV??nMF???22dimTVn?為了構造V上的雙線性函數，想法是給了V上的兩個線性函數gh令，，容易驗證是V上的雙線性函數，????