三重積分

1、第四節(jié) 三重積分的概念 和計算方法,三、小結(jié) 思考題,一、三重積分的定義,二、直角坐標(biāo)下三重積分的計算,問題的引出,定積分在幾何上表示曲邊梯形的面積，二重積分在幾何上表示曲頂柱體的體積，因為我們生活在三維空間三重積分沒有幾何意義。,但它在物理等其它學(xué)科中同樣有重要作用，,在二重積分的應(yīng)用時，我們曾求過平面薄片 的質(zhì)量，,現(xiàn)我們求空間物體的質(zhì)量,例,分割,近似替代,求和,取極限,各小閉區(qū)域的直徑

2、中的最大值,一、三重積分的定義,,,,,,,4、三重積分的物理背景,說明,2、三重積分與二重積分有著完全相同的七條性質(zhì),1、若函數(shù) 在閉區(qū)域 上連續(xù)， 則三重積分必定存在。,,,,W,,1．先一后二法,二、直角坐標(biāo)系下三重積分的計算,（選擇先z后xy）,,,,,,,,,,,,,,得,先對z、次對y、最后對x的三次積分,（選擇先z后xy）,試點法,,z=1-x-2y,y=(1-x)/2,,解,四面體

3、,注意 也可不畫立體圖做三重積分.,,,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,,,,2,.,?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,,,2,,.,?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,,3x+y=6,3x+2y=12,,,x+y+z=

4、6,.,6,6,6,,,,,4,,,2,?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,,3x+y=6,3x+2y=12,,,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,,,,,4,,2,?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,,,,,,,,,4,,2,x+y+z=6,.,6,6,6,?：平面y=

5、0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,,,,,,,,,4,,2,.,6,6,6,,?：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域,4.,,.,,D,,,6,2,4,D,.,,,,,,,,6,2,4,1 畫出投影區(qū)域圖2 找出投影區(qū)域及上頂、下底,不畫立體圖做三重積分,Dxy,.,解,把圍成?的所

6、有面向xy面投影,y = 0, 3x+y = 6,3x+2y =12x+y=6,,Dxy :,y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 圍成,,,,,,,6,Dxy,,上頂：,下底：,y型,,,,y2=x,.,5.,,,,y2=x,.,5.,,,,,,?,。,。,,,y2=x,.,5.,,D,,,,1 畫出投影區(qū)域圖2 找出投影區(qū)域及上頂、下底,,Dxy,例3,不畫立體圖做三重積分,解,把圍成?的所有面向xy

7、面投影,得,2．先二后一法（截面法）,（被積分函數(shù)只含有一個變量時，常用此方法）,截面法的一般步驟：,（被積函數(shù)有哪個變量就后積哪個變量）,,,0,,,y,x,,,,,2．先二后一法（截面法）,（被積分函數(shù)只含有一個變量時，常用此方法）,截面法的一般步驟：,（被積函數(shù)有哪個變量就后積哪個變量）,,,,解,先二后一法（截面法）,,,原式=,原式,解,如圖,,,,,,,請你動手做,S1,,,,解,,解,如圖，,,請你動手做,（1）求兩個曲頂