計(jì)量地理學(xué)-3.6-趨勢(shì)面分析

1、趨勢(shì)面分析方法,,什么是趨勢(shì)面？,自然資源、環(huán)境、人口社會(huì)經(jīng)濟(jì)等變量在地理空間上具有一定程度分布規(guī)律。,地理要素在地理空間上的分布可以看作是—— 某變量Z在二維坐標(biāo)空間(X,Y)上的變化函數(shù)（曲面），此即為趨勢(shì)面。,趨勢(shì)面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象簡化并過濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。,所謂趨勢(shì)面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。它實(shí)質(zhì)上是通過回歸

2、分析原理，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維線性或非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。,,真實(shí)地理曲面,,,趨勢(shì)面反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果。,,剩余面對(duì)應(yīng)于微觀局域，是隨機(jī)因素影響的結(jié)果。,,,,趨勢(shì)面,,,剩余面,趨勢(shì)面分析,,,趨勢(shì)值最大化、剩余值最小化原則。,趨勢(shì)面模型的建立,設(shè)某地理要素的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為

3、 ， 趨勢(shì)面擬合值為 ，則有：,式中εi即為剩余值（殘差值/誤差值）,趨勢(shì)面,真實(shí)曲面,剩余面,,刻畫了地理要素的實(shí)際分 布曲面、趨勢(shì)面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系。,趨勢(shì)面分析的核心——,從實(shí)際觀測(cè)值出發(fā)推算趨勢(shì)面，一般采用回歸分析方法，依據(jù)最小二乘法原理，使得殘差平方和趨于最小，即：,如何選擇確定變量Z和地理坐標(biāo)(X,Y)之間的函數(shù)表達(dá)式？,𝑍=𝑓(⻖

4、9;,𝑦),多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)……,其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式，因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問題的需要。,什么是多項(xiàng)式函數(shù)？,多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式 ① 一次多項(xiàng)式函數(shù)模型 ② 二次多項(xiàng)式函數(shù)模型 ③ 三次多項(xiàng)式函數(shù)模型,什么是多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)？,變量x和y的冪次乘積的最高次數(shù),k次多項(xiàng)式函數(shù)一共有

5、多少個(gè)變量x和y的冪次乘積組合？,假設(shè)(k-1)次多項(xiàng)式函數(shù)的冪次乘積組合的數(shù)量是nk-1，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)從(k-1)增加至k時(shí)，增加了如下內(nèi)容：xky0, xk-1y1, xk-2y2, xk-3y3,…,x1yk-1,x0yk.所以nk=nk-1+(k+1).,趨勢(shì)面模型的參數(shù)估計(jì),實(shí)質(zhì)：最小二乘估計(jì)原理 根據(jù)觀測(cè)值z(mì)i，xi，yi(i=1,2,…,n)確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使得殘差平方和Q

6、最小。,思路：將多項(xiàng)式函數(shù)的非線性形式轉(zhuǎn)換成線性形式。,令,其殘差平方和為,根據(jù)取極值的條件，求得殘差平方和Q對(duì)a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得p+1個(gè)偏微分方程組(式中a0，a1，…，ap為p+1個(gè)未知量）。,………………………………,多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì),求解出多項(xiàng)式趨勢(shì)面模型的各個(gè)系數(shù)a0，a1，…，ap,得出趨勢(shì)面分析的多項(xiàng)式擬合模型：,接著…………???,需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢(shì)面

7、逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢(shì)面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢(shì)面使用起來比較方便，但具體到某點(diǎn)擬合較差；次數(shù)較高的趨勢(shì)面只在觀測(cè)點(diǎn)附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。,趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn),趨勢(shì)面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對(duì)趨勢(shì)面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢(shì)面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問題，也是趨勢(shì)面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。,,,三種檢驗(yàn)方法的原理/目的？,三種檢驗(yàn)方法

8、的關(guān)系？,三種檢驗(yàn)方法的區(qū)別？,趨勢(shì)面分析檢驗(yàn),趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn),趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)是采用擬合度系數(shù)R2是測(cè)定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。,總離差平方和,回歸平方和,剩余平方和,表示隨機(jī)因素對(duì)離差的影響,表示自變量對(duì)因變量的離差的總影響,SSR越大，SSD越小，就表示因變量與自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。,一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度，即擬合度系數(shù)R2=回歸平方

9、和 / 總離差平方和。,擬合度系數(shù)R2=回歸平方和 / 總離差平方和,性質(zhì)：1) R2取值范圍是[0,1]； 2) R2越大(越接近100%)，趨勢(shì)面擬合效果越高； 3) 多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)越高，擬合度系數(shù)R2就越大。,趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn),趨勢(shì)面擬合適度的F檢驗(yàn)，是對(duì)趨勢(shì)面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)，即判斷擬合結(jié)果是否具有可信度以及具有多大的置信區(qū)間。,顯著性檢驗(yàn)方法：利用變量z的總離差平方

10、和SST中，剩余平方和SSD與回歸平方和SSR的比值，來確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著，顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量為：,結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得其臨界值Fα，若實(shí)際計(jì)算的F值大于臨界值Fα，則認(rèn)為趨勢(shì)面方程顯著，置信區(qū)間為1-α；反之則不顯著。,,,F統(tǒng)計(jì)量的第1自由度/分子自由度，即f1 = p,F統(tǒng)計(jì)量的第2自由度/分母自由度，即f2 = n-p-1,n是樣本量；p是多項(xiàng)式函數(shù)非線性轉(zhuǎn)換成線性形式后，多元線

11、性回歸模型的自變量個(gè)數(shù),趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn),多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)越高將帶來更高的擬合效果，但是更高次數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)一方面增加了趨勢(shì)面擬合的復(fù)雜程度，另一方面過分追求細(xì)節(jié)精度反而會(huì)喪失整體趨勢(shì)特征。,趨勢(shì)面適度逐次檢驗(yàn)?zāi)康氖强己硕囗?xiàng)式函數(shù)的次數(shù)由低至高是否對(duì)趨勢(shì)面擬合回歸作出了新貢獻(xiàn)，以此來決定適宜選擇的多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)。,趨勢(shì)面適度逐次檢驗(yàn)方法是考慮多項(xiàng)式次數(shù)增高帶來的適度性比較檢驗(yàn)值F是否通過具備顯著性。若F值顯著，則較高次數(shù)多項(xiàng)式對(duì)回

12、歸產(chǎn)生了新貢獻(xiàn)；若F值不顯著，則較高次數(shù)多項(xiàng)式對(duì)回歸并沒有新貢獻(xiàn)。,如何計(jì)算適度性比較檢驗(yàn)值F？,,,回歸均方差=SSR/f1,剩余均方差=SSD/f2,顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量,(k+1)次多項(xiàng)式方程：回歸平方和 剩余平方和,第1自由度f1=p 第2自由度f2=n-p-1,回歸均方差 剩余均方差,,(k)次多項(xiàng)式方程：回歸平方和 剩余平方和,第1自由

13、度f1=q 第2自由度f2=n-q-1,回歸均方差 剩余均方差,,(k)->(k+1):,回歸平方和的增量ΔSSR,第1自由度的增量Δf1=p-q,由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差=ΔSSR/Δf1,逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量是上述回歸均方差除以(k+1)次多項(xiàng)式的剩余均方差，即,F值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對(duì)回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無新貢獻(xiàn)。,多項(xiàng)式趨勢(shì)面由K次增

14、高至(K+1)次的回歸顯著性檢驗(yàn),趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例,某流域1月份降水量與各觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如下表所示。下面以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢(shì)面分析，并對(duì)趨勢(shì)面方程進(jìn)行三種適度檢驗(yàn)。,流域降水量及觀測(cè)點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù),首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合：,用最小二乘法求得擬合方程為：,總離差平方和,剩余平方和,回歸平方和,(n=12, p=5),,首先采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合：,用最小二乘法求

15、得擬合方程為：,總離差平方和,剩余平方和,回歸平方和,(n=12, p=9),,某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面,某流域降水量的二次多項(xiàng)式趨勢(shì)面,(1)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn):,根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢(shì)面回歸模型和三次趨勢(shì)面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢(shì)面較二次趨勢(shì)面具有更高的擬合程度。,(2) 趨勢(shì)面適度的顯著性F檢驗(yàn) :,根

16、據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的變量數(shù)分別為p=5，p=9，樣本數(shù)均為n=12。在置信水平α=0.05下，查F分布表得： 顯然 ， ， 故二次趨勢(shì)面的回歸方程顯著而三次趨勢(shì)面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，用二次趨勢(shì)

17、面進(jìn)行擬合比較合理。,(3)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)：,SSR3=1129.789,SSR2=982.244,SSD3=41.474,SSD2=189.018,f1=p=9,f2=n-p-1=2,f1=p=5,f2=n-p-1=6,剩余均方差,回歸均方差,回歸均方差,剩余均方差,第1自由度,第2自由度,第1自由度,第2自由度,剩余均方差,回歸均方差,剩余均方差,回歸均方差,MSR3=SSR3/f1=125.532,MSR2=SSR2/f1=

18、196.449,MSD3=SSD3/f2=20.737,MSD2=SSD2/f2=31.503,,,三次趨勢(shì)面,二次趨勢(shì)面,二次->三次,ΔSSR=1129.789-982.244=147.545,Δf1=9-5=4,回歸均方差MSRI=ΔSSR/Δf1=147.545/4=36.886,逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量F=MSRI/MSD3=36.886/20.737=1.779,二次和三次趨勢(shì)面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表,從二次趨勢(shì)面增加到

19、三次趨勢(shì)面，逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量F3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F3→2=1.779< F0.05(4,2)=6.94 ，故將趨勢(shì)面擬合次數(shù)由二次增高至三次，對(duì)回歸方程并無新貢獻(xiàn)，因而選取二次趨勢(shì)面比較合適。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)的結(jié)論。,,,,,,R2檢驗(yàn),,,,,逐次檢驗(yàn),,,,,,,顯著性F檢驗(yàn),,趨勢(shì)面分析檢驗(yàn),利用Matlab實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)面

20、分析,依據(jù)上例中某流域1月份降水量的二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面模型，借助Matlab三維繪圖功能，繪制其趨勢(shì)面圖形。,（1）二次趨勢(shì)面運(yùn)用最小二乘法，進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，可以得到如下二次趨勢(shì)面方程：,為了繪制上述二次趨勢(shì)面圖形，可以直接調(diào)用如下函數(shù)命令：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4);z=5.988+17.438*x+29.787*y-3.558*x.^2+0.357*x.*y-8.070*y.^2;surfac

21、e(x,y,z),（2）三次趨勢(shì)面運(yùn)用最小二乘法，進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，可以得到如下三次趨勢(shì)面方程：,利用Matlab實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)面分析,為了繪制上述三次趨勢(shì)面圖形，可以直接調(diào)用如下函數(shù)命令：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4);z=-48.810+37.557*x+130.130*y+8.389*x.^2-33.166*x.*y-62.740*y.^2 -4.133*x.^3+6.138*y.*x.^2+2.566*x