空間分析-5-6空間點(diǎn)數(shù)據(jù)分析

1、第五講 空間點(diǎn)數(shù)據(jù)分析,引言點(diǎn)數(shù)據(jù)概述點(diǎn)數(shù)據(jù)分析,--Spatial Point Data Analysis--,1. 引言,點(diǎn)模式分析由植物學(xué)家和生態(tài)學(xué)家在1930s應(yīng)用。但是，隨后許多不同領(lǐng)域也開始應(yīng)用點(diǎn)模式分析，如考古學(xué)、流行病學(xué)、天文學(xué)和犯罪學(xué)。一般來說，點(diǎn)模式分析可以用來描述任何類型的事件數(shù)據(jù)（incident data）。因?yàn)槊恳皇录伎梢猿橄蠡癁榭臻g上的一個(gè)位置點(diǎn)。,搶劫案,Data,城市發(fā)展的空間演變模式,星羅

2、棋布的村莊,http://www.sphere.ad.jp/togen/photo-n.html,,來源：USGS,Arp 272是兩個(gè)螺旋星云——NGC 6050 和 IC 1179相撞形成的，這兩個(gè)星云的螺旋臂相互扭結(jié)在一起。它們是武仙座星群的一部分。武仙座星群是已知的宇宙中最大的結(jié)構(gòu)：所謂的長(zhǎng)城的一部分。Arp 272距離地球大約4.5億光年。,http://news.xinhuanet.com/photo/2008-04/25/

3、content_8047673_4.htm,Arp 240是一對(duì)大小相似的螺旋星云——NGC 5257 和NGC 5258。這兩個(gè)星系顯然通過一個(gè)暗淡的恒星橋相互作用。它們兩個(gè)的中心都有超大質(zhì)量黑洞。Arp 240位于室女座內(nèi)，距離地球大約3億光年。,http://news.xinhuanet.com/photo/2008-04/25/content_8047673_6.htm,ESO 99-4是一個(gè)擁有奇特形狀的星系，它可能是一個(gè)早期

4、合并過程的殘余物，沒有成形。ESO 99-4位于北三角座內(nèi)，距離地球大約4億光年。,軋制鋼橫截面（100×100 微米）573個(gè)碳化物顆粒中心,混凝土（10×10×10毫米）（白色為切的剛玉顆粒，黑色為氣孔）,細(xì)胞表面的蛋白質(zhì)位置矩形大?。?07×119 微米,血液樣本（紅細(xì)胞為黑色）矩形大?。?25×182 微米,“點(diǎn)”模式在自然與社會(huì)經(jīng)濟(jì)中普遍存在。 識(shí)別空間點(diǎn)模式(spat

5、ial point pattern)的目的是為了更好地理解空間點(diǎn)過程(spatial point progress)，揭示隱藏在空間模式表象之下的空間過程的機(jī)理。— 空間隨機(jī)/ 聚集/均勻— 過程建模,2. 點(diǎn)數(shù)據(jù)概述,隨機(jī)分布：任何一點(diǎn)在任何一個(gè)位置發(fā)生的概率相同，某點(diǎn)的存在不影響其它點(diǎn)的分布。又稱泊松分布(Poisson distribution)。均勻分布：個(gè)體間保持一定的距離，每一個(gè)點(diǎn)盡量地遠(yuǎn)離其周圍的鄰近點(diǎn)。在單位(樣方

6、)中個(gè)體出現(xiàn)與不出現(xiàn)的概率完全或幾乎相等。聚集分布：許多點(diǎn)集中在一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)區(qū)域，大面積的區(qū)域沒有或僅有少量點(diǎn)?？傮w中一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的存在影響其它點(diǎn)在同一取樣單位中的出現(xiàn)概率。,空間點(diǎn)數(shù)據(jù)的三種基本分布模式,點(diǎn)數(shù)據(jù)的三種基本空間分布模式,怎樣描述點(diǎn)模式?,一階效應(yīng)(First-Order Effects)事件間的絕對(duì)位置具有決定作用，單位面積的事件數(shù)量在空間上有比較清楚的變化。如，空間上平均值/密度的變化。二階效應(yīng)(Secon

7、d-Order Effects)事件間的相對(duì)位置和距離具有決定作用。如，空間相互作用。,3.1 基于密度的方法：測(cè)度一階效應(yīng),3. 點(diǎn)數(shù)據(jù)分析,3.2 基于距離的方法：測(cè)度二階效應(yīng),最近鄰距離： G 函數(shù)、 F 函數(shù) 最近鄰距離的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) K 函數(shù) (K Function),樣方分析 樣方分析的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 核密度估計(jì),空間點(diǎn)數(shù)據(jù)分析架構(gòu),3. 點(diǎn)數(shù)據(jù)分析,3.1 基于密度的方法 ① 樣方分析(Quadra

8、t analysis)② 樣方分析的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) ③ 核密度估計(jì) (Kernel Density Estimation),利用所有點(diǎn)：樣方的形狀、大小、方向?qū)Y(jié)果有影響如果樣方太大/小，那么 ……?,隨機(jī)抽樣方法：有增加樣本量的作用可以描述一個(gè)沒有完全數(shù)據(jù)的空間點(diǎn)過程,①樣方分析-兩種方式,樣方形狀,http://psychology.exeter.ac.uk/lundy/quadrat.htm,The term “Quad

9、rat” strictly means a four sided figure, but in practice this term is used to mean any sampling unit, whether square, rectangular, circular, hexagonal or even irregular in outline.,樣方分析步驟,a). 研究區(qū)域中打上網(wǎng)格，建議方格大小為： QuadratS

10、ize = 2A /n A：研究區(qū)域面積，n：點(diǎn)的個(gè)數(shù)。b). 確定每個(gè)網(wǎng)格中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。c). 計(jì)算均值(Mean)、方差(Var)和方差均值比:VMR=Var/Mean,對(duì)于均勻分布，方差=0，因此VMR的期望值= 0；對(duì)于隨機(jī)分布，方差=均值，因此VMR的期望值= 1；對(duì)于聚集分布，方差大于均值。因此VMR的期望值 >1 。,注: N = 樣方數(shù)量 = 10,隨機(jī),,隨機(jī),聚集,x,均勻,x,x,樣方

11、分析的缺點(diǎn),結(jié)果依賴于樣方的大小和方向。,總的模式是分散的，但局部有聚集現(xiàn)象。,樣方分析主要依據(jù)點(diǎn)密度， 而不是點(diǎn)之間的相互關(guān)系，所以不能區(qū)別圖示的兩種情況：,樣方分析不能探測(cè)區(qū)域內(nèi)的變化。,密度：,密度依賴于研究區(qū)域的大小。a： a, 4a, 16a, 64an： 2, 2, 5, 10 ：2.0, 0.5, 0.31, 0.15,,樣方分析：K-S檢驗(yàn),D檢驗(yàn),如何

12、比較精確地檢驗(yàn)零假設(shè)？H0：沒有空間模式假設(shè)在一區(qū)域內(nèi)通過隨機(jī)放點(diǎn)來模擬零假設(shè)，并計(jì)算其方差-均值比（VMR）。更進(jìn)一步地，假如重復(fù)模擬1000次，得到模擬結(jié)果的直方圖，當(dāng)H0為真時(shí)，1000次VMR的均值將接近于1。直方圖中VMR的尾部值（VMR的抽樣分布），當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)相對(duì)稀少。,②樣方分析的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)-方差均值比的x2檢驗(yàn),如果觀測(cè)模式的VMR大于VMRH，則拒絕零假設(shè)，相對(duì)于隨機(jī)模式而言觀測(cè)值更趨于均勻分布；如果觀測(cè)模式的V

13、MR小于VMRL，也拒絕零假設(shè)，相對(duì)于隨機(jī)模式而言觀測(cè)值更趨于聚集分布。,當(dāng)H0為真時(shí)VMR的抽樣分布,如果觀測(cè)到VMR的極值（大于VMRH或小于VMRL），則拒絕沒有空間模式的零假設(shè)。在這種情況下，1）零假設(shè)實(shí)際上是真的，而我們拒絕了它，犯了第I類錯(cuò)誤（棄真）；2）零假設(shè)不是真的，我們做了一個(gè)正確的決定。為了確定臨界值點(diǎn)（VMRH、VMRL ），首先必須確定所容許犯第I類錯(cuò)誤的概率。,如果α=0.05，那么1000次模擬當(dāng)中50個(gè)較大

14、的值用于獲取臨界值（50/1000=0.05）。如果把1000次模擬的VMR值從小到大依次排序，第25個(gè)值將作為VMRL ，當(dāng)H0為真時(shí)1000次中有25次低于VMRL ；相似地，第975個(gè)值將作為VMRH，當(dāng)H0為真時(shí)1000次中有25次高于VMRH 。這樣，當(dāng)采用該臨界值時(shí)，1000次當(dāng)中有50次，或5%的幾率犯第I類錯(cuò)誤。,樣方分析：假設(shè)檢驗(yàn)示例,判斷下圖是否空間隨機(jī)（共100個(gè)點(diǎn)，分布于10×10的樣方內(nèi)） ？,均值：

15、100/（10×10）=1含3個(gè)點(diǎn)的樣方：6個(gè)含2個(gè)點(diǎn)的樣方：20個(gè)含1個(gè)點(diǎn)的樣方：42個(gè)含0個(gè)點(diǎn)的樣方：32個(gè),方差為：{6(3-1)2+20(2-1)2+42(1-1)2+32(0-1)2} /(100-1)=0.77,VMR = 0.77/1 = 0.77<1，趨于均勻分布。如果H0為真，0.77是否小到可以拒絕原假設(shè)？,方法：隨機(jī)模擬，均值=1重復(fù)模擬1000次，建立VMR的抽樣分布，得到的結(jié)果從小到

16、大排序。第25個(gè)最小值VMRL =0.747，第975個(gè)值VMRH =1.313。由于VMRL <0.77< VMRH ，接受原假設(shè)，即隨機(jī)情況下VMR=0.77不是特別不正常。上述方法即所謂的蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）。優(yōu)點(diǎn)：易于理解和實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)：不同的人得到的模擬結(jié)果不同，e.g. 10個(gè)人可能得到 10個(gè)不同的臨界值。,蒙特卡羅模擬方法的基本思想,圓的外切正方形的邊長(zhǎng)。,,蒙

17、特卡羅模擬方法的基本思想,,,,,,,,,,,,,,蒙特卡羅模擬方法的基本思想,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)H0為真時(shí)，有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法可以避免采用前述的模擬方法。臨界值可用x2 =(m-1)VMR具有m-1個(gè)自由度的x2 分布表確定。當(dāng)自由度（df）比較大時(shí)，

18、 x2 =(m-1)VMR趨于正態(tài)分布。特別地，當(dāng)H0為真、df > 30的情況下， (m-1)VMR具有均值為m-1、方差為2(m-1）的正態(tài)分布。這意味著,是均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 在α=0.05的情況下，臨界值分別為zL=-1.96、zH=+1.96。如果zzH ，則拒絕原假設(shè)。上例中：,自由度小于30的情況100個(gè)點(diǎn)，5×5樣方：VMR = 0.6875。x2=(25-1)×VMR=16.

19、5,由于自由度（df）小于30，需要應(yīng)用x2分布表。查找df=24、p=0.025和p=0.975，并進(jìn)行插值，得到上、下臨界值40.5、12。,因?yàn)?2<16.5< 40.5，所以接受零假設(shè)。點(diǎn)模式為空間隨機(jī)分布。,,,,基本思想：在研究區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)都有一個(gè)密度，而不僅僅是在事件點(diǎn)上。該密度通過計(jì)數(shù)一定區(qū)域內(nèi)的事件點(diǎn)數(shù)量，或核(Kernel)進(jìn)行估計(jì)。核以估計(jì)點(diǎn)為中心，一定距離為半徑。,其中：C(p,r) 是以待估

20、點(diǎn)p為 圓心、r為半徑的圓。,帶寬：r如果 r太大/小，那么…… ?r 固定？ r 變化？,③ 核密度估計(jì)(Kernel Density Estimation, KDE),邊界?,Kernel Windows,© Paul Bolstad, GIS Fundamentals,帶寬選擇是核密度估計(jì)中一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，可以采用不同的帶寬對(duì)同一問題進(jìn)行分析，探測(cè)模式的異質(zhì)性。,,Analysis,,密度估計(jì)(帶寬700Km

21、),密度估計(jì)(帶寬300Km),密度估計(jì)(帶寬500Km),Quartic Kernel Funktion,A,B,C,r = 500m,r = 1000m,r = 3000m,核密度估計(jì)(KDE)用途：可視化點(diǎn)模式進(jìn)行熱點(diǎn) (hot spot)探測(cè)；離散?連續(xù)。 如，疾病與污染。,Spatial smoothing,,Cluster detection,,3.1 基于密度的方法：測(cè)度一階效應(yīng),3. 點(diǎn)數(shù)據(jù)分析,3.2 基于距

22、離的方法：測(cè)度二階效應(yīng),最近鄰距離：G 函數(shù)、F 函數(shù) 最近鄰距離的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) K 函數(shù),樣方分析 樣方分析的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 核密度估計(jì),3.2 基于距離的方法：測(cè)度二階效應(yīng) ①最近鄰距離方法,計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到其最近鄰點(diǎn)之間的距離， 然后計(jì)算所有點(diǎn)最近鄰距離的平均值。對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)其歐幾里德距離最小確定其最近鄰點(diǎn)。平均最近鄰距離的大小，反映點(diǎn)在空間的分布特征。最近鄰距離越小，說明點(diǎn)在空間分布越密集，反之，越離散。,3.2 基于距

23、離的方法 ①最近鄰距離方法：G函數(shù)(Event-Event),歐幾里德距離：,3.2 基于鄰距離的方法 ①最近鄰距離方法：G函數(shù)(Event-Event),與最近鄰距離只采用平均距離不同，G函數(shù)基于最近鄰距離的所有頻率分布。,如果是聚集分布， 的值是大是小？,2024/3/20,河南大學(xué)環(huán)境與規(guī)劃學(xué)院 zhaoy@henu.edu.cn,52,最近鄰距離的最小值是9.00，即點(diǎn)4&8和點(diǎn)8&4之間的距離，

24、有兩個(gè)， 2/12=0.167，所以G(d)在距離等于9時(shí)的值為0.167。下一個(gè)最近鄰距離的最小值是15.64，即點(diǎn)2的最近鄰距離，有一個(gè)，加上前面的兩個(gè)最近鄰距離(即9)共有3個(gè)，3/12=0.25，所以G(d)在距離等于15.64時(shí)的值為0.25。依次累積下去，得到G函數(shù)。,如果點(diǎn)是聚集的，G(d)在短距離內(nèi)急速上升。如果點(diǎn)趨于均勻分布， G(d)在一定距離內(nèi)緩慢上升，在該距離內(nèi)包含大多數(shù)點(diǎn)，之后G(d)快速上升。,3.2

25、基于距離的方法：測(cè)度二階效應(yīng) ①最近鄰距離方法：F函數(shù)(Point-Event),與G函數(shù)僅僅基于事件間最近鄰距離的頻率分布不同，F(xiàn)函數(shù)基于區(qū)域內(nèi)任意位置點(diǎn)與事件間最近鄰距離的頻率分布。,三個(gè)步驟：隨機(jī)選擇m個(gè)位置{p1, p2, …, pm}；計(jì)算dmin(pi, s) ：pi到點(diǎn)模式S中的任一事件的最小距離；計(jì)算：,如果事件是聚集的， F(d)先緩慢上升，而在遠(yuǎn)距離處急速上升，因?yàn)檠芯繀^(qū)的大部分地方?jīng)]有事件點(diǎn)。如果點(diǎn)趨于

26、均勻分布，F(xiàn)(d)先快速上升，而在遠(yuǎn)距離處上升緩慢。,G 函數(shù)與 F 函數(shù)的比較,G 函數(shù)與 F 函數(shù)的比較,3.2 最近鄰距離方法②最近鄰距離統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),Clark & Evans（1954）發(fā)展了一個(gè)最近鄰分析用于分析植物種類的空間分布。采用最近鄰距離的平均值與隨機(jī)模式下的期望值之比構(gòu)建一個(gè)所謂的最近鄰統(tǒng)計(jì)量：,其中， 為平均最近鄰距離， 為單位面積的點(diǎn)數(shù)。,R的取值從0（所有點(diǎn)聚集到一起）到理論最大值2.

27、14（正六邊形完全均勻）。 R=1表示隨機(jī)模式，即觀測(cè)值與隨機(jī)分布下的期望值相等。,方差：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,最近鄰指數(shù)(NNI) ：,R的取值從0（所有點(diǎn)聚集到一起）到理論最

28、大值2.14（正六邊形完全均勻）。 如果：R = 0, 所有的點(diǎn)集中于同一位置?聚集分布。如果：R = 1, 無分布模式?隨機(jī)分布。即觀測(cè)值與隨機(jī)分布下的期望值相等。如果：R >1, 每個(gè)點(diǎn)趨近于等間距?均勻分布。,60,60,61,61,Step 1: 計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)到其最近鄰的距離（通過計(jì)算直角三角形的斜邊）：,62,62,Step 2: 計(jì)算不同條件下的距離如果模式是隨機(jī)的，平均距離為?其中，密度

29、= n / 面積 = 6/88 = 0.068如果模式完全聚集 (所有點(diǎn)在同一個(gè)位置), 那么：如果模式完全分散，那么：,(Based on a Poisson distribution),63,63,Step 3: 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)最近鄰指數(shù) (NNI )：,= slightly more dispersed than random,,0,1,,,,2.14,完全聚集（Perfectly clustered）,隨機(jī),完全分

30、散（Perfectly dispersed）,More dispersedthan random,More clusteredthan random,,,空間隨機(jī)分布條件下，給定面積內(nèi)恰有n個(gè)點(diǎn)的概率可以用泊松分布描述：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populatio

31、ns[J]. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations[J]. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,假設(shè)給定面積是半徑為r的圓k等分的一部分，令 為分布的平均密度，那么

32、有：,表示任意給定面積 內(nèi)，恰有n個(gè)點(diǎn)的概率；而 表示任意給定面積內(nèi)不包含任何事件點(diǎn)的概率（n=0）。,如果圓心任意選取，那么給定面積中距圓心為r的距離內(nèi)不包含點(diǎn)的概率也為 。作為r的一個(gè)函數(shù)，它是到最近鄰的距離≥r的比例。相應(yīng)地， 是到最近鄰距離≤r的比例。,對(duì) 關(guān)于

33、r微分，得到 作為r的概率分布函數(shù)。 r的期望（均值），即Re，可以通過r乘以其概率分布函數(shù)并從0到無窮大積分得到。,若取圓為單位圓，即 ，則：,（ ）,（ ）,r的二階矩，E(r2)，可以通過r2乘以其概率分布函數(shù)，并從0到無窮大進(jìn)行積分得到。,若取圓為單位圓，即 ，

34、則：,（ ）,r的方差為：,若取圓為單位圓，即 ，則r的標(biāo)準(zhǔn)差為：,因此，r的標(biāo)準(zhǔn)差為：,（ ）,最近鄰距離統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建,根據(jù)上述均值和標(biāo)準(zhǔn)差，可以構(gòu)造出一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的統(tǒng)計(jì)量：,當(dāng)顯著性水平為 時(shí)，Z的置信區(qū)間為 。如果 或 ，則觀測(cè)模式和完全空間

35、隨機(jī)（CSR）之間存在顯著的差異。若Z的符號(hào)為負(fù)，則模式趨向于聚集；若Z的符號(hào)為正，則模式趨向于均勻分布。,,判斷下圖（7×6矩形）的空間分布模式，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。,例子：最近鄰統(tǒng)計(jì)量,Rogerson, P. A. Statistical Methods for Geography . Sage Publications Ltd, 2001. p.163,平均最近鄰距離： =(1+1+2+3+3+3+3)/6=2.

36、1676個(gè)點(diǎn)隨機(jī)分布在7×6的矩形內(nèi)的平均最近鄰距離的期望值為：,例子：最近鄰統(tǒng)計(jì)量,近鄰距離統(tǒng)計(jì)量為R=2.167/1.323=1.638，即觀測(cè)模式的平均最近鄰距離大于完全空間隨機(jī)（CSR）模式下的值，模式趨于均勻分布。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：因此，在5%的顯著性水平上，拒絕空間隨機(jī)分布的零假設(shè)。,例子：最近鄰統(tǒng)計(jì)量,但我們忘記了對(duì)分析結(jié)果具有明顯影響的邊界效應(yīng)。可以用 Monte Carlo模擬方法，在x軸上(0,7)

37、和y軸上(0,6)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)，并計(jì)算其最近鄰距離。模擬10000次，然后計(jì)算其平均最近鄰距離，比如為1.62，大于前述的Re=1.323。這主要是因?yàn)橄鄬?duì)于假想的區(qū)域外的點(diǎn)而言，區(qū)域內(nèi)靠近邊界上的點(diǎn)與區(qū)域內(nèi)其他點(diǎn)之間的距離較遠(yuǎn)。,例子：最近鄰統(tǒng)計(jì)量,對(duì)10000次模擬結(jié)果從小到大進(jìn)行排序，顯示第9500個(gè)值為2.29。平均最近鄰距離僅有5%的機(jī)會(huì)大于2.29，我們的觀測(cè)模式的平均最近鄰距離為2.167<2.29，因此，在

38、通過Monte Carlo模擬考慮邊界效應(yīng)后，接受空間分布模式為隨機(jī)的零假設(shè)。,3.2 基于距離的方法 ③K 函數(shù),Ripley(1976)提出。The K function (variously called ''Ripley's K-function'' and the ''reduced second moment function'') Ripley

39、’s K function can be used to summarize a point pattern, test hypotheses about the pattern, estimate parameters and fit models.,Ripley, B. D. The Second-Order Analysis of Stationary Point Processes. Journal of Applied Pro

40、bability, 1976, 13(2): 255-266.,Volume 3, pp.1796-1803 in Encyclopedia of Environmetrics,與G函數(shù)、F函數(shù)只使用事件或點(diǎn)的最近鄰距離不同，K函數(shù)基于事件間的所有距離。因此，K函數(shù)不僅能探測(cè)空間模式，而且可以給出空間模式和尺度的關(guān)系。,③K 函數(shù),定義：,K(d) 可以在許多不同的距離尺度上描述點(diǎn)過程的特征。Many ecological point

41、 patterns show a combination of effects, e.g. clustering at large scales and regularity at small scales. The combination can be seen as a characteristic pattern in a plot of the K function.,Volume 3, pp.1796-1803 in Ency

42、clopedia of Environmetrics,假設(shè):平穩(wěn)性(Stationary)：統(tǒng)計(jì)特征獨(dú)立于絕對(duì)位置。特別地，均值和方差是不依賴于空間位置的常數(shù)；協(xié)方差僅依賴于兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置、距離和方向，而與空間上的絕對(duì)位置無關(guān)。各向同性( Isotropy)：No directional detection,Ripley’s K 函數(shù),平穩(wěn),各向同性,Cov(Y(s1),Y(s2))=Cov(Y(s9),Y(s10)),Cov

43、(Y(s1),Y(s2)) ≠Cov(Y(s3),Y(s4)),Cov(Y(s1),Y(s2)) =Cov(Y(s3),Y(s4)),K 函數(shù),,,,,經(jīng)驗(yàn)K函數(shù)估計(jì)的四個(gè)步驟：對(duì)于每一個(gè)事件si ，以si為圓心、d 為半徑畫圓C(si,d)計(jì)算圓內(nèi)其他事件點(diǎn)的數(shù)量,3) 計(jì)算同一半徑下所有事件的均值,4) 均值除以研究區(qū)內(nèi)事件密度 得：,聚集?,均勻?,K 函數(shù),每個(gè)圓的面積為 ， 為單位面積的

44、事件平均密度。因此， CSR下K(d)的期望值為：,K 函數(shù),當(dāng),平均點(diǎn)數(shù)高于CSR下的期望值，在尺度d上聚集。,平均點(diǎn)數(shù)低于CSR下的期望值，在尺度d上分散。,當(dāng),K 函數(shù) ? L函數(shù),由于K(d)基于平方距離進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于大的d其結(jié)果會(huì)變得非常大，為此，可將K(d)的期望值轉(zhuǎn)換為零：,當(dāng)L(d)>0，在尺度d上聚集。當(dāng)L(d)<0，在尺度d上分散。,K函數(shù)的檢驗(yàn)：Monte Carlo模擬假設(shè)在CSR條件下，對(duì)n個(gè)

45、事件進(jìn)行m次獨(dú)立的模擬，計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)L函數(shù)，并取其上、下界：,邊界校正：,K 函數(shù),邊界校正：1）Ripley校正(Ripley,1977),K 函數(shù),wi是圓C(si, d)位于研究區(qū)域內(nèi)的比例。2）建立警戒區(qū)：位于警戒區(qū)內(nèi)的點(diǎn)在計(jì)算K(d)時(shí)采用，但不作為點(diǎn)模式的一部分。3）環(huán)形邊緣校正（Toroidal edge correction）：假設(shè)研究區(qū)的上部和左部分別與下部和右部連接，好像研究區(qū)域是一個(gè)圓環(huán)（torus），僅用于矩

46、形研究區(qū)域。,Yamada, I. , Rogerson P. A. An Empirical Comparison of Edge Effect Correction Methods Applied to K-function Analysis[J]. Geographical Analysis, 2003, 35(2): 97-109.,例子：R package spatstatA point pattern giving the

47、 locations of 3605 trees in a tropical rain forest. Accompanied by covariate data giving the elevation (altitude) and slope of elevation in the study region.,K 函數(shù),> library(spatstat)> data(bei)> plot(bei),Barr

48、o Colorado Island熱帶雨林內(nèi)1000 × 500 m的矩形抽樣區(qū)域,> plot(Kest(bei)) #K function> plot(Lest(bei)) #L function,plot(Kest(bei,correction="none")) #無邊界校正,plot(Kest(bei,correction="Ripley")) #Ripley校

49、正,K 函數(shù)的Monte Carlo模擬,> plot(envelope(simdat, Kest, nsim=99)),空間點(diǎn)數(shù)據(jù)分析總結(jié),基于密度的方法： 樣方分析?統(tǒng)計(jì)分析核密度估計(jì)基于距離的方法： NND（G/F函數(shù)）?統(tǒng)計(jì)分析K函數(shù)：統(tǒng)計(jì)模擬檢驗(yàn)、邊界校正,2024/3/20,河南大學(xué)環(huán)境與規(guī)劃學(xué)院 zhaoy@henu.edu.cn,93,空間點(diǎn)數(shù)據(jù)分析學(xué)習(xí)資料,書籍： Bailey, T. an

50、d Gatrell, A. (1995) Interactive Spatial Data Analysis, Longman. pp.98-103. O’Sullivan D. and Unwin D.(2003) Geographic information Analysis, John Wiley & Sons. pp.77-114 Rogerson, P. A. Statistical Methods for

51、Geography . Sage Publications Ltd, 2001. pp.154-164 王遠(yuǎn)飛，何洪林. 編著 (2007) 空間數(shù)據(jù)分析方法, 科學(xué)出版社. pp.57-93.文章：Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecolog