自動(dòng)控制理論-第5章-第4講

1、自動(dòng)控制原理,第5章 第4講 奈圭斯特穩(wěn)定,荊楚理工學(xué)院電子信息工程學(xué)院,2,一、教學(xué)目標(biāo):掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù) ，能夠熟練運(yùn)用穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、相對(duì)穩(wěn)定性的計(jì)算三、教學(xué)方法與手段：多媒體結(jié)合板書(shū)四、教學(xué)時(shí)數(shù)：2課時(shí)五、課后作業(yè)： P154 T6-13，T6-14 T6-17,3,5-4 乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程 的全部根，都必須位于s左半

2、平面。,乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是一種將開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng) 與 在s右半平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的判據(jù)。,因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)曲線圖解確定，無(wú)需實(shí)際求出閉環(huán)極點(diǎn)，所以這種判據(jù)在控制工程中得到了廣泛應(yīng)用。,4,對(duì)于s平面上的每一點(diǎn)，在F(s)平面上必有唯一的一個(gè)映射點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；,一、映射定理（幅角定理）：,同理，對(duì)于 s平面上的任意一條不通過(guò)極點(diǎn)和零點(diǎn)的閉合曲線 Cs，在 F(s)平面上必

3、有唯一的一條閉合曲線CF與之對(duì)應(yīng)。,若s平面上的閉合曲線Cs按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則其在平面上的映射曲線CF的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針，也可能是逆時(shí)針，它完全取決于F(s)本身的特性。,5,s平面上不通過(guò)F(s)任何零點(diǎn)和極點(diǎn)的封閉曲線Cs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線Cs移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線CF將以逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=P-Z。,若N為負(fù)，表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)

4、；,若N為0，表示CF不包圍原點(diǎn)；,若N為正，表示CF逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。,映射定理（幅角定理） ：,6,二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：,設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)特征多項(xiàng)式,可見(jiàn)，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）。,7,設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)傳遞函數(shù),可見(jiàn)，F(xiàn)(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（閉環(huán)極點(diǎn)）。,8,對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 的零

5、點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)在s右半平面的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,我們這里是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開(kāi)環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：,如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：,當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,9,這里需要解決兩個(gè)問(wèn)

6、題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？,它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸， Ⅱ部分是右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓； ； Ⅲ部分是負(fù)虛軸， 。,第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)

7、針?lè)较蜃鲆粭l曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為乃奎斯特回線，簡(jiǎn)稱奈氏回線。如下圖：,10,第2個(gè)問(wèn)題：,對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，G(s)H(s)中n≥m，當(dāng)s→∞時(shí)， 這意味著當(dāng)s沿著半徑為無(wú)窮大的半圓變化時(shí)，函數(shù)始終為一常數(shù)。,由此可知，平面上的映射曲線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)，只取決于奈氏路徑上虛軸部分的映射，即由 軸的映射曲線來(lái)表征。,11,乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：,（1）如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

8、 曲線不包圍 點(diǎn)。,（2）如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時(shí)針?lè)较驀@(-1,j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。,12,開(kāi)環(huán)幅相頻率特性 曲線 和 部分是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，運(yùn)用乃氏判據(jù)時(shí)，可以利用對(duì)稱性把乃氏曲線補(bǔ)全，再進(jìn)行判斷；也可以只畫(huà)出的部分來(lái)判斷，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則應(yīng)有 。,當(dāng)

9、 曲線恰好通過(guò) 時(shí)，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)有極點(diǎn)落在虛軸上，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。,13,[例]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,[解]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的乃氏圖如右。,系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn),乃氏圖不包圍(-1,j0)點(diǎn),故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,14,[例]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,[解]：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為

10、， 都在s左半平面，所以 。乃氏圖如右。,從圖中可以看出：乃氏圖順時(shí)針圍繞 (-1,j0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,15,對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此前述的乃氏路徑不滿足幅角定理。為了解決這一問(wèn)題，需要重構(gòu)乃奎斯特回線。,上面討論的乃奎斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足幅角定理的條件。,16,具有積

11、分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見(jiàn)，在坐標(biāo)原點(diǎn)有 重極點(diǎn)。若取乃氏回線同上時(shí)（通過(guò)虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足映射定理。,三、虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)的乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù),為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，對(duì)奈氏路徑作如下修改：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓，使乃氏回線沿著小半圓繞過(guò)原點(diǎn)。,17,Ⅰ部分：正虛軸， ，Ⅱ部分為半徑為無(wú)窮大的右半圓 ；Ⅲ部分負(fù)虛

12、軸， Ⅳ部分為半徑為無(wú)窮小的右半圓，,這時(shí)的乃氏回線由以下四部分組成：,18,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,當(dāng)s沿小半圓移動(dòng)時(shí)，有,S平面,當(dāng) 從 變化到 ，在 平面上的映射曲線將沿著半徑為無(wú)窮大的圓弧按順時(shí)針?lè)较驈?變化到 。,19,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,(a)

13、對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：,S平面,20,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個(gè)圓（順時(shí)針）。,(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：,S平面,21,[例]某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,[解]：顯然這是Ⅰ型系統(tǒng)。先根據(jù)乃氏回線畫(huà)出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線不包圍 (-1,j0)點(diǎn)，所以 N = 0 ，而

14、，故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,22,[例]某Ⅱ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無(wú)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,[解]：首先畫(huà)出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,23,五、根據(jù)伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,,1、

15、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖上的零分貝線；,2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Bode圖上的-1800線。,,奈氏圖,Bode圖,,臨界穩(wěn)定點(diǎn)：(-1,j0)點(diǎn),單位圓以外對(duì)應(yīng),24,臨界穩(wěn)定點(diǎn)：(-1,j0)點(diǎn),乃氏圖中 (-1, j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸的穿越點(diǎn)對(duì)應(yīng)伯德圖中L(ω)> 0范圍內(nèi)的與-180°線的穿越點(diǎn)。,正穿越（相角增大）對(duì)應(yīng)伯德圖中L(ω)> 0范圍內(nèi)隨著ω的增加相頻特性從下而上穿過(guò)-180°線

16、。,負(fù)穿越（相角減?。?duì)應(yīng)伯德圖中L(ω)> 0范圍內(nèi)隨著ω的增加相頻特性從上而下穿過(guò)-180°線。,25,對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù),若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有P個(gè)位于s右半平面的特征根，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在L(ω)>0 的所有頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線?(ω)與-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2。,26,在s右半平面沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，P=0,L(ω)> 0范圍內(nèi)相頻特性從上而下穿越-180

17、6;線一次，正負(fù)穿越次數(shù)之差為1。,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,27,在s右半平面沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，P=0,L(ω)> 0范圍內(nèi)相頻特性沒(méi)有穿越-180°線。,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,[例]已知開(kāi)環(huán)傳函,28,六、系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度,對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，往往還需要了解系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，即穩(wěn)定裕量的問(wèn)題。,最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：開(kāi)環(huán)頻率特性曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,(-1，j0)點(diǎn)的幅值為1，相角為-180o ，因此

18、可以從幅值和相角兩方面來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。,通常用開(kāi)環(huán)頻率特性 離臨界穩(wěn)定點(diǎn) (-1，j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度來(lái)表征系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。,29,,,,,1.幅值裕度,Kg>1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；Kg<1時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,30,2.相角裕度,>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定； =0時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； <0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,31,,,,伯德圖中：,相角裕度,顯然，當(dāng) 和 時(shí)

19、，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)， 和 是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來(lái)表示系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。常用相角裕度。,,,增益裕度,32,保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來(lái)的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)性能，一般相角裕度應(yīng)當(dāng)在30o至60o之間，增益裕度應(yīng)大于6dB。,對(duì)于最小相位系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性之間存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通常希望系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在剪

20、切頻率處的斜率為-20dB/dec。,33,,,穩(wěn)定,,,,臨界穩(wěn)定,不穩(wěn)定,34,解：當(dāng)K=10時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)波德圖如圖所示。,,,,由Bode圖可知：L(w)> 0時(shí)穿越次數(shù)為0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,[例] 控制系統(tǒng)如圖所示。1.K=10時(shí)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出相角裕量和幅值裕量；2.K=100時(shí)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,35,相角裕度和增益裕度的計(jì)算：,相角裕度：,由于 較?。ㄐ∮?），所以：,相角裕度為：,先求幅值穿越頻