控制系統(tǒng)的奈氏圖分析自動(dòng)控制原理-理論篇第5節(jié)

1、控制系統(tǒng)的奈氏圖分析——《自動(dòng)控制原理-理論篇》第6.5節(jié),自動(dòng)化工程學(xué)院自動(dòng)控制原理課程組制,2015年11月,第一節(jié) 控制系統(tǒng)的奈氏圖分析一.奈氏判據(jù)的基本原理 奈氏判據(jù)——頻域分析中最重要的穩(wěn)定性判據(jù)。先討論三個(gè)重要概念： 1. 特征函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 2. 幅角原理(映射定理） 3. 奈氏軌跡及其映射,設(shè)如下方框圖所示的系統(tǒng),1. 特征函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)——特征函數(shù),推論： F?s?

2、的極點(diǎn)是開環(huán)傳函數(shù)極點(diǎn)； F?s?的零點(diǎn)是閉環(huán)傳函數(shù)極點(diǎn)，若要閉環(huán)穩(wěn)定，則F?s?的全部零點(diǎn)必須位于s左半平面。,即為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。,2. 幅角原理（映射定理）1）：映射（復(fù)變函數(shù)中映射有幾種，但常用的是有理分式函數(shù)映射）a）點(diǎn)的映射以慣性環(huán)節(jié)為例，求S平面上的點(diǎn)s0=1+j在G平面上的映射。解：,b）線的映射,2）映射定理奈氏判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)的映射定理。定理：設(shè)F（S）：復(fù)變量S的單值解析函數(shù)，S平面?

3、 F（S）平面，它在S平面某一閉曲線C的內(nèi)部共有P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，且閉曲線C不通過F（S）的任一極點(diǎn)和零點(diǎn)。當(dāng)S順時(shí)針方向沿閉曲線變化一周時(shí)，函數(shù)F（S）所取值一隨之連續(xù)變化而在F平面上描出一個(gè)閉曲線C‘，曲線C‘稱為C的映射。在上述情形下閉曲線C‘包圍原點(diǎn)的周數(shù)N為,若N為正，則表示閉曲線C‘逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的周數(shù)。若N為負(fù)，則表示閉曲線C‘順時(shí)針包圍原點(diǎn)的周數(shù)。若N為零，則表示閉曲線C‘不包圍原點(diǎn)轉(zhuǎn)圈。在

4、 式中Z——s平面上被封閉曲線C包圍的F?s?的零點(diǎn)數(shù)P——s平面上被封閉曲線C包圍的F?s?的極點(diǎn)數(shù)N ——F平面中封閉曲線C’包圍原點(diǎn)的次數(shù),,,,,,,s平面,F平面,j?,?,jIm,Re,?,?,?,?,,,,,C,,-PiI,-PiII,-ZiI,-ZiII,s,,,(s+ZiI),,F(s),,,(s+ZiII),,3. 奈氏軌跡（路徑）及其映射定義：（D形圍線或奈氏軌跡）構(gòu)造一條包圍整個(gè)右半S平

5、面的封閉曲線，即虛軸加上其右側(cè)的半徑為無窮大的半圓。這樣的曲線包圍了所有F（S）在S平面上的的零點(diǎn)。奈氏軌跡在F平面的映射成為一條封閉曲線， 稱為奈氏曲線,二. 奈氏穩(wěn)定性判據(jù)一（0型系統(tǒng)）1：若系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下在S的右半平面有P個(gè)極點(diǎn)則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)w從-?變到+ ?時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖（奈氏曲線）圍繞???, j0?點(diǎn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為N，（順時(shí)針轉(zhuǎn)取負(fù)值，逆時(shí)針轉(zhuǎn)取正值）當(dāng)Z=P-N為零時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；

6、否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。約束條件：在原點(diǎn)和虛軸上無零極點(diǎn)。奈氏軌跡不能穿過零極點(diǎn)。討論：當(dāng)奈氏曲線通過???,j0?點(diǎn)，則表示閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，也歸為不穩(wěn)定。,例： 解：作奈氏軌跡如下圖示:N=1， P=1 有Z=N?P=0 故系統(tǒng)穩(wěn)定,三. 奈氏穩(wěn)定性判據(jù)二（1型以上的系統(tǒng)）增補(bǔ)奈氏軌跡：（廣義D形圍線）所謂增補(bǔ)就是使奈氏軌跡繞開位于原點(diǎn)和虛軸上的開環(huán)零極點(diǎn)。虛軸上含有開環(huán)極點(diǎn)的Nyquist判據(jù) 若增補(bǔ)奈

7、氏曲線D ，當(dāng)??:?????逆時(shí)針包圍???, j0?點(diǎn)的次數(shù)N等于位于右半平面上開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P。則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,,,,,,,?,?,,,增補(bǔ)奈氏軌跡映射出的奈氏軌跡分析*：,可見增補(bǔ)奈氏軌跡映射為半徑?的圓曲線變點(diǎn)相角變化從M90?? ?M90? 如 M=1， -M?：90??0??90? M=2時(shí)， -M?：180? ?0? ?180?,一