自動控制理論-第5章-第4講

1、自動控制原理,第5章 第4講 奈圭斯特穩(wěn)定,荊楚理工學院電子信息工程學院,2,一、教學目標:掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據 ，能夠熟練運用穩(wěn)定判據判穩(wěn)。二、教學重點與難點:乃奎斯特穩(wěn)定判據、相對穩(wěn)定性的計算三、教學方法與手段：多媒體結合板書四、教學時數：2課時五、課后作業(yè)： P154 T6-13，T6-14 T6-17,3,5-4 乃奎斯特穩(wěn)定性判據,為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程 的全部根，都必須位于s左半

2、平面。,乃奎斯特穩(wěn)定判據正是一種將開環(huán)頻率響應 與 在s右半平面內的零點數和極點數聯系起來的判據。,因為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由開環(huán)頻率響應曲線圖解確定，無需實際求出閉環(huán)極點，所以這種判據在控制工程中得到了廣泛應用。,4,對于s平面上的每一點，在F(s)平面上必有唯一的一個映射點與之對應；,一、映射定理（幅角定理）：,同理，對于 s平面上的任意一條不通過極點和零點的閉合曲線 Cs，在 F(s)平面上必

3、有唯一的一條閉合曲線CF與之對應。,若s平面上的閉合曲線Cs按順時針方向運動，則其在平面上的映射曲線CF的運動方向可能是順時針，也可能是逆時針，它完全取決于F(s)本身的特性。,5,s平面上不通過F(s)任何零點和極點的封閉曲線Cs包圍F(s)的Z個零點和P個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Cs移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線CF將以逆時針方向繞原點旋轉N圈。N，Z，P的關系為：N=P-Z。,若N為負，表示CF順時針運動，包圍原點

4、；,若N為0，表示CF不包圍原點；,若N為正，表示CF逆時針運動，包圍原點。,映射定理（幅角定理） ：,6,二、乃奎斯特穩(wěn)定判據：,設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數,閉環(huán)特征多項式,可見，F(s)的極點就是開環(huán)傳遞函數的極點（開環(huán)極點）。,7,設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數,閉環(huán)傳遞函數,可見，F(s)的零點就是閉環(huán)傳遞函數的極點（閉環(huán)極點）。,8,對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 的零

5、點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數，就可以給出穩(wěn)定性結論。如果F(s)在s右半平面的零點個數為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,我們這里是應用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設想：,如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射逆時針包圍原點的次數應為：,當已知開環(huán)右半極點數時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數。,9,這里需要解決兩個問

6、題：1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足幅角條件的？2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數N，并將它和開環(huán)頻率特性 相聯系？,它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸， Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓； ； Ⅲ部分是負虛軸， 。,第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時

7、針方向做一條曲線包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為乃奎斯特回線，簡稱奈氏回線。如下圖：,10,第2個問題：,對于實際的系統(tǒng)，G(s)H(s)中n≥m，當s→∞時， 這意味著當s沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數始終為一常數。,由此可知，平面上的映射曲線CF是否包圍坐標原點，只取決于奈氏路徑上虛軸部分的映射，即由 軸的映射曲線來表征。,11,乃奎斯特穩(wěn)定判據：,（1）如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

8、 曲線不包圍 點。,（2）如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個開環(huán)極點位于s的右半平面，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時針方向圍繞(-1,j0)點旋轉P周。,12,開環(huán)幅相頻率特性 曲線 和 部分是關于實軸對稱的，運用乃氏判據時，可以利用對稱性把乃氏曲線補全，再進行判斷；也可以只畫出的部分來判斷，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則應有 。,當

9、 曲線恰好通過 時，說明閉環(huán)系統(tǒng)有極點落在虛軸上，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。,13,[例]開環(huán)傳遞函數 ，試用乃氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,[解]：開環(huán)系統(tǒng)的乃氏圖如右。,系統(tǒng)在s右半平面沒有開環(huán)極點,乃氏圖不包圍(-1,j0)點,故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,14,[例]設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為： ，試用乃氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,[解]：開環(huán)極點為

10、， 都在s左半平面，所以 。乃氏圖如右。,從圖中可以看出：乃氏圖順時針圍繞 (-1,j0)點2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數為：閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,15,對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此前述的乃氏路徑不滿足幅角定理。為了解決這一問題，需要重構乃奎斯特回線。,上面討論的乃奎斯特判據和例子，都是假設虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足幅角定理的條件。,16,具有積

11、分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數為：,可見，在坐標原點有 重極點。若取乃氏回線同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足映射定理。,三、虛軸上有開環(huán)極點時的乃奎斯特穩(wěn)定判據,為了使奈氏路徑不經過原點而仍然能包圍整個s右半平面，對奈氏路徑作如下修改：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓，使乃氏回線沿著小半圓繞過原點。,17,Ⅰ部分：正虛軸， ，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓 ；Ⅲ部分負虛

12、軸， Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，,這時的乃氏回線由以下四部分組成：,18,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,當s沿小半圓移動時，有,S平面,當 從 變化到 ，在 平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從 變化到 。,19,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,(a)

13、對于Ⅰ型系統(tǒng)：,S平面,20,下面討論增加的第Ⅳ部分小半圓在Gk(s)平面的映射：,這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個圓（順時針）。,(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：,S平面,21,[例]某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用乃氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,[解]：顯然這是Ⅰ型系統(tǒng)。先根據乃氏回線畫出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線不包圍 (-1,j0)點，所以 N = 0 ，而

14、，故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,22,[例]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無開環(huán)極點，試用奈氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,23,五、根據伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖（奈氏圖）和對數坐標圖（Bode圖）的對應關系：,,1、

15、奈氏圖上單位圓對應于Bode圖上的零分貝線；,2、奈氏圖上的負實軸對應于Bode圖上的-1800線。,,奈氏圖,Bode圖,,臨界穩(wěn)定點：(-1,j0)點,單位圓以外對應,24,臨界穩(wěn)定點：(-1,j0)點,乃氏圖中 (-1, j0)點以左負實軸的穿越點對應伯德圖中L(ω)> 0范圍內的與-180°線的穿越點。,正穿越（相角增大）對應伯德圖中L(ω)> 0范圍內隨著ω的增加相頻特性從下而上穿過-180°線

16、。,負穿越（相角減?。聢D中L(ω)> 0范圍內隨著ω的增加相頻特性從上而下穿過-180°線。,25,對數頻率特性穩(wěn)定判據,若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數有P個位于s右半平面的特征根，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在L(ω)>0 的所有頻率范圍內，相頻特性曲線?(ω)與-180°線的正負穿越次數之差等于P/2。,26,在s右半平面沒有開環(huán)極點，P=0,L(ω)> 0范圍內相頻特性從上而下穿越-180

17、6;線一次，正負穿越次數之差為1。,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,27,在s右半平面沒有開環(huán)極點，P=0,L(ω)> 0范圍內相頻特性沒有穿越-180°線。,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,[例]已知開環(huán)傳函,28,六、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度,對控制系統(tǒng)進行分析時，往往還需要了解系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定裕量的問題。,最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：開環(huán)頻率特性曲線不包圍(-1,j0)點。,(-1，j0)點的幅值為1，相角為-180o ，因此

18、可以從幅值和相角兩方面來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。,通常用開環(huán)頻率特性 離臨界穩(wěn)定點 (-1，j0)點的遠近程度來表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,29,,,,,1.幅值裕度,Kg>1時，系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg=1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；Kg<1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,30,2.相角裕度,>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定； =0時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； <0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,31,,,,伯德圖中：,相角裕度,顯然，當 和 時

19、，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)， 和 是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。常用相角裕度。,,,增益裕度,32,保持適當的穩(wěn)定裕度，可以預防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)性能，一般相角裕度應當在30o至60o之間，增益裕度應大于6dB。,對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)幅頻特性和相頻特性之間存在唯一的對應關系。通常希望系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性在剪

20、切頻率處的斜率為-20dB/dec。,33,,,穩(wěn)定,,,,臨界穩(wěn)定,不穩(wěn)定,34,解：當K=10時，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如圖所示。,,,,由Bode圖可知：L(w)> 0時穿越次數為0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,[例] 控制系統(tǒng)如圖所示。1.K=10時，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出相角裕量和幅值裕量；2.K=100時，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,35,相角裕度和增益裕度的計算：,相角裕度：,由于 較?。ㄐ∮?），所以：,相角裕度為：,先求幅值穿越頻