4.3.2-光學(xué)支和聲學(xué)支

1、一、 長聲學(xué)波,以一維雙原子鏈為例討論。,1.對于聲學(xué)支格波,2.對于連續(xù)介質(zhì),考慮介質(zhì)中x與(x+dx)間長度為dx的一段，設(shè)一維介質(zhì)的線密度為?，則這段介質(zhì)的運(yùn)動方程為：,4.3.2 光學(xué)支和聲學(xué)支,改用偏微商的符號，則有：,上式是標(biāo)準(zhǔn)的波動方程，其解為：,代入得：,由此得彈性波的傳播相速度：,在簡單情況下上式中c相當(dāng)于楊式模量。,恢復(fù)力,將上式用于一維復(fù)式格子，應(yīng)變是,其中um+1和um分別是第m+1個及第m個原子的位移，a為第m

2、+1個及第m個原子平衡時的間距。,又:,對一維復(fù)式格子，顯然密度?為：,可推知：,由此可以看出，彈性波的波速與長聲學(xué)波的波速完全相等，即長聲學(xué)波與彈性波完全一樣。,長聲學(xué)波，格波可以看成連續(xù)波，晶體可以看成連續(xù)介質(zhì)。,長光學(xué)波，在半波長范圍內(nèi)，正負(fù)離子各向相反的方向運(yùn)動，電荷不再均勻分布，出現(xiàn)以波長為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。由于波長很大，使晶體呈現(xiàn)出宏觀上的極化，因此長光學(xué)波又稱為極化波。,由兩種不同離子組成的一維復(fù)式格子。,1.黃昆

3、方程,二、離子晶體的長光學(xué)波,離子晶體的極化,離子位移極化,電子位移極化,對于長光學(xué)波，在相當(dāng)大的范圍內(nèi)，同種原子的位移相同，所以離子位移極化強(qiáng)度為：,,對于立方晶格，洛倫茲提出了求解有效電場的方法，由理論分析得到：,e*為離子的有效電荷量,一個原胞內(nèi)正負(fù)離子受到有效電場的作用，產(chǎn)生的電子位移極化強(qiáng)度為：,其中?為原胞的體積，?+ ，?- 分別為正負(fù)離子的電位移極化率，,則總的極化強(qiáng)度為：,將

4、 代入，得：,? = ?+ + ? -,,,作用在離子上的除了準(zhǔn)彈性恢復(fù)力以外，還要考慮到有效電場的作用。,則正負(fù)離子的運(yùn)動方程為：,再看離子運(yùn)動方程，我們對一維復(fù)式格子的方程,由上式 得:,,引進(jìn)位移參量,則有,---黃昆方程,(1)式代表振動方程，右邊第一項 為準(zhǔn)彈性恢復(fù)力，第二項表示電場 附加了恢復(fù)力。,(2)式代表極化方程， 表

5、示離子位移引起的極化，第二項表示電場 附加了極化。,晶體內(nèi)無自由電荷，得,將電場分成有旋場和無旋場兩部分，,2.LST關(guān)系(Lyddane—Sachs—Teller關(guān)系),將黃昆方程 代入得,上式的成立條件是：,由黃昆方程得：,將上式中的有旋場與無旋場分開得到：,上面兩方框中式子均為簡諧方程，由此得振動頻率,為了將系數(shù)b11，b21(=b12)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來，再考慮兩種極端情況：,式中?s是離子晶體的相對介電常數(shù)。,對于光

6、頻振動，離子的慣性已跟不上如此高頻的振動，其位移W=0由黃昆方程(2)式得：,式中??是離子晶體的光頻介電常量。,,又,---著名的LST關(guān)系,光頻介電常量,靜電介電常量,有些晶體在某種溫度下，,,,,恢復(fù)力消失，發(fā)生位移的離子回不到原來平衡位置，即晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變。在這一新結(jié)構(gòu)中，正負(fù)離子存在固定的位移偶極矩，產(chǎn)生了所謂的自發(fā)極化。,(2)鐵電軟模(光學(xué)軟模),相當(dāng)于彈簧振子系統(tǒng)中的彈簧喪失了彈性，即彈簧變軟。稱 的