01第八章 第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

1、,,,,,,2,（1）鄰域,,,一、多元函數(shù)的概念,3,（2）區(qū)域,,例如，,即為開集．,,4,,,,,,,5,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．,例如，,例如，,,,6,,有界閉區(qū)域；,,無界開區(qū)域．,例如，,,,7,（3）聚點,1 內(nèi)點一定是聚點；,說明：,2 邊界點可能是聚點；,例,(0,0)既是邊界點也是聚點．,8,3 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．,例如,,(0,0) 是聚點但不屬于集合．,例如,,邊界上的點都是聚點也都

2、屬于集合．,9,（4）n維空間,1 n維空間的記號為,說明：,2 n維空間中兩點間距離公式,10,3 n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,特殊地當 時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．,內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．,鄰域：,設兩點為,11,（5）二元函數(shù)的定義,12,,類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．,13,14,例1 求

3、 的定義域．,解,所求定義域為,15,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,16,例如,,圖形如右圖.,例如,,左圖球面.,單值分支:,17,18,二、多元函數(shù)的極限,19,定義1,20,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,21,例2 求證,證,當

4、 時，,原結論成立．,22,23,例5 求極限,解,其中,24,25,26,例7 證明 不存在．,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在．,27,確定極限不存在的方法：,28,29,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,30,定義3,31,32,33,解,34,例6 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性．,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在．,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．,35,閉區(qū)域上連續(xù)

5、函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,36,,多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．,定義區(qū)域是指