長江大學統(tǒng)計學原理第四章第3節(jié)-標志變異指標

1、第四章　綜合指標,任課教師：湯來香tanglx2000@163.com,主要內容：,§1　總量指標§2　相對指標§3　平均指標§4　標志變異指標作業(yè)：習題四、五,第四節(jié)　標志變異指標,標志變異指標概述標志變異指標的計算,一、標志變異指標概述,標志變異指標——是反映總體各單位標志值變動程度或差異程度、度量統(tǒng)計分布離中趨勢的綜合指標。又稱為標志變動度或離散程度。,離中趨勢：指遠離中心值的程

2、度。,變異指標反映離中趨勢：,離散程度不同就意味著變量在平均數(shù)周圍分布的密集程度不同，從而同樣的平均數(shù)對于兩個總體具有不同的代表性?！纠?A組：65、68、72、75分 　 B組：34、51、95、100分 A組的總成績：280分，平均成績70分 B組的總成績：280分，平均成績70分,,,,平均指標反映了各變量值向中心值聚集的程度，即集中趨勢；變異指標反映了各變量值遠離中心值的程度，即離中趨勢。,,,,圖示：

3、,X,f,=,0,標志變異指標的作用：,是衡量平均數(shù)代表性的尺度；　變異指標越大，平均數(shù)的代表性越小， 　變異指標越小，平均數(shù)的代表性越大?？梢杂脕碚f明現(xiàn)象變動過程的　穩(wěn)定性和均衡性；有助于確定必要的抽樣數(shù)目。,種類：,全距四分位差平均差標準差離散系數(shù),二、標志變異指標的計算,（一）極差（二）平均差（三）標準差（四）變異系數(shù)（五）是非標志分布的數(shù)值特征,（一）極差（全距、Ｒ）,全距的特點：,優(yōu)點：計算簡便，含義清

4、晰，可以說明總體中標志值變動的范圍。還是編制組距數(shù)列確定組數(shù)、組距的重要依據(jù)。缺點：容易受兩極端值影響，帶有較大的偶然性，而對于兩個極端值之間標志值的分散狀況沒有反映，因而不能準確描述出數(shù)據(jù)的分散程度，只是測定標志變異指標的粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。,補充：四分位差,把一個變量數(shù)列分成四等份，形成三個分割點Q1 、 Q2 、 Q3，這三個分割點的數(shù)值就稱為四分位數(shù)，Q2 也是中位數(shù)，四分位差為： Q.D.= Q3

5、 － Q1數(shù)四分位差Q.D.數(shù)值越大，說明中位數(shù)Me的代表性愈差，反之，則說明中位數(shù)Me的代表性愈好。,（二） 平均差（Ａ·Ｄ）,平均差：是總體中各單位標志值與其算術平均數(shù)之間絕對離差的算術平均數(shù)。它能綜合反映總體標志值的變異程度。,【例】：,有兩個生產(chǎn)小組，每組都是5名工人，某天日產(chǎn)量的件數(shù)如下：　　甲組：50 60 70 80 90 乙組：68 69 70 71 72則：,,,,結果表明

6、：乙組工人日產(chǎn)零件平均數(shù)的代表性比甲組高。,【例】某班統(tǒng)計學考試分數(shù)資料如下,,計算平均差如下：,注：,離差——總體單位的標志值與其平均數(shù)之差即 。平均差使用絕對值是為了避免各變量值與平均數(shù)的離差之和等于零。,平均差的特點：,平均差是根據(jù)全部變量值與平均數(shù)離差計算出來的，能全面、客觀地反映標志值的離散程度。平均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的演算使其應用受到了限制。,（三）、標準差和方差(σ與σ２),標準差

7、(σ)：是總體各單位的標志值與其算術平均數(shù)的離差平方的算術平均數(shù)的平方根，又稱均方差。方差(σ2) ：是標準差的平方。,標準差與平均差比較：,標準差是以離差的平方來消除正負號的影響，對離差平方求平均數(shù)得方差，然后再開方，就恢復了原來的計算單位。且加大離差，突出了標志變異的程度。標準差的計算還應用了最小平方原理，以算術平均數(shù)為中心，使標準差成為反映標志變異程度的最理想的計算方法，是實際應用最廣泛的離散程度測度值。,【例】,有兩個生產(chǎn)小組

8、，每組都是5名工人，某天日產(chǎn)量的件數(shù)如下：　　甲組：50 60 70 80 90 乙組：68 69 70 71 72則：,計算標準差如下：,結果表明：乙組工人日產(chǎn)零件平均數(shù)的代表性比甲組高。,某班統(tǒng)計學考試分數(shù)資料如下,【例】,其標準差計算如下：,標準差的變形公式：,方差與標準差的性質：,具有“平移不變”的特性，即：　　σx+a２= σx２　　　 σX+a= σxσbx２= b2σx２

9、 σbx= |b|σx　 將這兩條性質結合起來，就有：變量X的線性變換的方差和標準差分別為： σ bx+a２= b2σx２ σbx+a= |b|σx,如果兩個變量X和Y相互獨立，它們的代數(shù)和的方差就等于原來兩個變量的方差之和；它們的代數(shù)和的標準差則等于兩個變量方差之和的正平方根，即有：,【例】,已知某校一年級小學語文成績X的標準差為10分，數(shù)學成績Y的標準差為6分，則兩門功課總成績的方差與標準差就應該是：,,總方差＝組

10、內方差的平均數(shù)＋組間方差,其中：,方差與標準差的性質：,對于同變量分布，其標準差永遠不會小于平均差。即：,,【例】某班組11個工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：,15 17 19 20 22 22 23 23 25 26 30,如果分組如下：,,,,,,,16.18 ＝ 2.54 + 13.64,驗證：,總方差＝平均組內方差＋組間方差,即：,,,,,標準差與全距、平均差的關系:,σ與R的關系 經(jīng)驗表明，當分布數(shù)列接近于正態(tài)分布

11、時，存在以下經(jīng)驗公式：R為4至6個σ 當標志值項數(shù)較少時，R≈4σ 當標志值項數(shù)較多時，R≈6σσ與A·D的關系 對同一資料，所求的平均差一般比標準差要小，即A·D≤σ,（四）變異系數(shù),【例】某車間某小組有6個工人，分別帶了1個徒工，其日產(chǎn)量(件)數(shù)列如下：甲組(工人組)： 62 65 70 73 80 82　乙組(徒工組)： 8 13 17 19 22 24,可以看出甲組標志值變異程度較小，平均數(shù)

12、更具有代表性，但進一步計算，,,,通過觀察：,計算結果發(fā)現(xiàn)：甲組標準差大于乙組標準差，似乎可得出甲組平均數(shù)比乙組平均數(shù)代表性差的結論，這與事實不符。究其原因，是因為兩數(shù)列原有標志值水平不一樣，不能用來判斷平均數(shù)的代表性。那么，怎樣判斷兩個總體標志值的離散程度，評價其平均數(shù)的代表性大小呢？應進一步計算其標志變異的相對程度——標志變動系數(shù)。,變異系數(shù)概念：,變異系數(shù)：又稱為離散系數(shù)，是將各種絕對數(shù)或平均數(shù)形式的標志變異指標與其算術平均數(shù)對比

13、的結果，以反映總體各單位標志值相對離散程度的指標。,常見的變異系數(shù)有：,極差系數(shù)：平均差系數(shù)：標準差系數(shù)：,標準差系數(shù)的特點：,不受計量單位和標志值水平的影響，消除了不同總體之間在計算單位、平均水平方面的不可比性。,標準差系數(shù)的作用：,比較性質不同的變量數(shù)列標志值的差異程度；比較計量單位不同的變量數(shù)列的平均數(shù)代表性大小。,根據(jù)前面的例子有：,（1）,計算結果表明：乙組工人日加工零件的平均數(shù)代表性高。,（2）,變異系數(shù)的計算例子

14、：,（3）根據(jù)某班統(tǒng)計學考試分數(shù)計算的變異系數(shù)如下：,【例】,乙品種資料：平均畝產(chǎn)=412公斤，σ=80公斤。要求：計算有關指標比較兩個品種水稻單產(chǎn)的穩(wěn)定性。,甲品種資料,甲、乙兩個品種的水稻產(chǎn)量資料如下：,甲品種的平均產(chǎn)量及標準差計算表,先計算平均數(shù)與標準差：,,再計算甲、乙兩個品種的標準差系數(shù)：,Ｖ甲<Ｖ乙 ，甲品種產(chǎn)量的穩(wěn)定性好。,從甲市任抽100戶，得其平均年收入是42000元，年收入的標準差是38060元；從乙市任抽

15、150戶，得其平均年收入是62000元，年收入的標準差是50980元。試計算適當指標比較兩個不同城市居民家庭收入的差異程度。,即問即答,由于V乙＜V甲，據(jù)上述抽樣資料可知，乙市家庭的收入差異程度低于甲市家庭的收入差異程度?！　∽⒁?，在這里不能用標準差作比較，否則會得出錯誤結論。,【解】,（五）是非標志分布的數(shù)值特征,是非標志：用“是”、“非”或“有”、“無”來表示的分組標志，也稱為交替標志成數(shù)：標志表現(xiàn)為“是”、“非”的單位數(shù)分別占

16、全部總體單位數(shù)的比重。用P、Q表示。,成數(shù)指標：P、Q,設總體單位數(shù)N=N1+N0 ，則： 所以Q=1-P　　成數(shù)反映了數(shù)列中單位數(shù)“是”與“非”的構成，并且代表該種性質或屬性反復出現(xiàn)的程度，即頻率。,是非標志平均數(shù)與標準差的計算,“1”表示具有某種性質的單位標志值，“0”表示不具有某種性質的單位標志值。,,,故：對于是非標志,,,注：當p=q=0.5時，是非

17、標志的方差達到最大可能值，即0.25。,【例】,某班統(tǒng)計學考試成績及格人數(shù)有38人，不及格人數(shù)有2人，計算該班學生統(tǒng)計學考試成績及格率與其標準差。,解：及格率為　　P=38/40=95% 　　不及格率為　 Q=1-P=5%,即問即答（判斷題）,1．根據(jù)分組資料計算算術平均數(shù)，當各組單位數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)均相等時，按加權算數(shù)平均數(shù)計算的結果與按簡單算數(shù)平均數(shù)計算的結果相同。,即問即答（判斷題）,標志變異指標數(shù)值越大，說明總體中各單位標志值

18、的變異程度越大，則平均指標的代表性越小。中位數(shù)與眾數(shù)都是位置平均數(shù)，因此用這兩個指標反映現(xiàn)象的一般水平缺乏代表性。,即問即答（判斷題）,如果甲、乙、丙三個企業(yè)去年產(chǎn)量計劃完成程度分別為95%、100%和105%，那么這三個企業(yè)產(chǎn)量平均計劃完成程度為100%。,即問即答（判斷題）,兩個企業(yè)比較，若甲企業(yè)平均數(shù)和標準差都分別大于乙企業(yè)，則由此可以肯定乙企業(yè)生產(chǎn)的均衡性比甲企業(yè)好。,即問即答（單選題）,對于不同水平的總體不能直接用標準差來比

19、較其標志變動度，這時需分別計算各自的（ ）來比較。標準差系數(shù)平均差全距均方差,(　)對總體平均數(shù)的影響大 。權數(shù)各組平均水平眾數(shù)次數(shù),即問即答（單選題）,即問即答（單選題）,如果分配數(shù)列把頻數(shù)換成頻率，那么方差（ 　 ）。不變 增大 減小 無法預期其變化,即問即答（單選題）,反映總體各單位變量分布的離中趨勢的指標是（?。?。平均指標

20、 標志變異指標 相對指標 總量指標,即問即答（單選題）,已知4個水果商店蘋果的單價和銷售額，要求計算4個商店蘋果的平均單價，應該采用（?。?。簡單算術平均數(shù) 加權算術平均數(shù) 加權調和平均數(shù) 幾何平均數(shù),即問即答（單選題）,用標準差比較分析兩個同類總體平均指標的代表性的前提條件是（?。蓚€

21、總體的標準差應相等兩個總體的平均數(shù)應相等兩個總體的離差之和應相等兩個總體的單位數(shù)應相等,工作比你更驕傲，你就去找工作；你比工作更驕傲，工作就會來找你。,課間休息,——高校畢業(yè)生　清醒的就業(yè)觀,統(tǒng)計局炫耀道：“溫度，我們無法控制，但是我們能控制溫度計！”,課間休息,喜鵲來，媽媽說：“這是喜鳥，是客?！毖嘧觼恚瑡寢屨f：“這是益鳥，是客?！睘貘f來，孩子問：“你也是客人嗎？”烏鴉叫：“Yes，吾乃黑客?！?課間休息,一位父親跟他七歲的兒子

22、講睡懶覺的壞處。最后他做結論說：“記住，鳥兒只有起得早，才能捉到蟲子?！眱鹤硬环猓骸澳敲矗x子起得早不就太傻了嗎？”,課間休息,一只公雞撿到了一個足球。它把足球帶到雞窩旁邊，把所有的母雞都叫出來開了個會。它指著那個足球說：“我不想說你們什么，但是你們應該看到別人都付出了怎樣的努力。你們或許也應該朝著這個方向努力了?！?課間休息,三個蘋果改變了人類文明的歷程：夏娃的蘋果，牛頓的蘋果，喬布斯的蘋果。,課間休息,栽種思想，成就行為栽種行為

23、，成就習慣栽種習慣，成就性格栽種性格，成就人生                   ——李嘉誠,課間休息,課間休息,考試的后果　　小松問小明“如果你考試不及格，你的父母會怎么對待你”？“80”分以下是女子單打?！?0”分以下是男子單打。如果是“60”分

24、以下是男女混合雙打!,長度的單位 　　小學時有一次上公開課，老師問我們：“各位同學，有誰知道長度的單位是什么啊？”這時候，班上最最乖巧的一個同學舉手要求回答，這是課前老師安排好的，當然就是他回答啦?！袄蠋煟敲?！”不錯不錯，請坐下?！薄翱墒?，有誰還知道有什么呢？”這時，平時學習最最落后的同學也舉手，老師有點激動，雖然沒有事先安排他，可是老師覺得不應該有歧視，決定給他一個機會。“老師，還有菜！”,課間休息,愛情，就像三國，合久必分，分久