第三章排列與組合

1、第三章第三章排列與組合排列與組合3.1兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理例3：有6個(gè)桔子和個(gè)桔子和9個(gè)蘋(píng)果，要求藍(lán)子中至少有一個(gè)水果，問(wèn)可以裝配成多少種不同的水個(gè)蘋(píng)果，要求藍(lán)子中至少有一個(gè)水果，問(wèn)可以裝配成多少種不同的水果藍(lán)？果藍(lán)？區(qū)分兩種不同的計(jì)數(shù)類型：區(qū)分兩種不同的計(jì)數(shù)類型：（1）對(duì)元素的有序擺放數(shù)或選擇數(shù)的計(jì)數(shù)。）對(duì)元素的有序擺放數(shù)或選擇數(shù)的計(jì)數(shù)。a)沒(méi)有重復(fù)的元素沒(méi)有重復(fù)的元素b)有重復(fù)的元素（無(wú)限重復(fù)或有限重復(fù)）有重復(fù)的元素

2、（無(wú)限重復(fù)或有限重復(fù)）（2）對(duì)元素的無(wú)序擺放數(shù)或選擇數(shù)的計(jì)數(shù)。）對(duì)元素的無(wú)序擺放數(shù)或選擇數(shù)的計(jì)數(shù)。a)沒(méi)有重復(fù)的元素沒(méi)有重復(fù)的元素b)有重復(fù)的元素（無(wú)限重復(fù)或有限重復(fù)）有重復(fù)的元素（無(wú)限重復(fù)或有限重復(fù)）定義：與順序有關(guān)的擺放或選擇稱定義：與順序有關(guān)的擺放或選擇稱排列。與順序無(wú)關(guān)的擺放或選擇稱排列。與順序無(wú)關(guān)的擺放或選擇稱組合。組合。3.2集合的排列集合的排列（一）線性排列（一）線性排列定義：定義：從n個(gè)元素中取出個(gè)元素中取出r個(gè)元素的有

3、序擺放，稱個(gè)元素的有序擺放，稱n元素集合的元素集合的r排列。排列。用P（nr）表示）表示n元素集合的全部元素集合的全部r排列數(shù)。排列數(shù)。定理定理3.2.1：對(duì)于整數(shù)對(duì)于整數(shù)n和rr?n有：有：P（nr）=n?(n1)?(n2)、、、?(nr1)=n!(nr)!其中：定義其中：定義n!=n?(n1)?(n2)、、、?2?1約定：（約定：（1）0！=1（2）當(dāng)）當(dāng)rn時(shí)，時(shí)，P（nr）=0例1：將數(shù)字將數(shù)字1，2，、、、，15放入一個(gè)放入一

4、個(gè)4?4的方陣中，問(wèn)共有多少種擺放方法？若放入的方陣中，問(wèn)共有多少種擺放方法？若放入6?6的方陣中，共有多少種擺放方法？的方陣中，共有多少種擺放方法？推論推論3.3.1：對(duì)于整數(shù)對(duì)于整數(shù)r，0?r?n，=????????rn????????rnn例1：平面上平面上25個(gè)點(diǎn)，假設(shè)不存在個(gè)點(diǎn)，假設(shè)不存在3點(diǎn)共線情況，問(wèn)這些點(diǎn)可以組成多少條直線？多少個(gè)三點(diǎn)共線情況，問(wèn)這些點(diǎn)可以組成多少條直線？多少個(gè)三角形？角形？例2：如果每個(gè)詞都包含如果每個(gè)

5、詞都包含3，4或5個(gè)元音，那么字母表中個(gè)元音，那么字母表中26個(gè)字母可以構(gòu)造多少個(gè)個(gè)字母可以構(gòu)造多少個(gè)8字母字母詞？（假設(shè)每個(gè)詞中的字母使用次數(shù)沒(méi)有限制）詞？（假設(shè)每個(gè)詞中的字母使用次數(shù)沒(méi)有限制）定理定理3.3.2：下述公式成立：下述公式成立：…=2n.????????0n????????1n????????nn例3：用不同計(jì)數(shù)法證明：用不同計(jì)數(shù)法證明：=n(n1)2????????rn34多重集的排列多重集的排列定理定理3.4.1：令

6、S是多重集，它有是多重集，它有k個(gè)不同的元素，每個(gè)元素都有無(wú)限重復(fù)次數(shù)，那么，個(gè)不同的元素，每個(gè)元素都有無(wú)限重復(fù)次數(shù)，那么，S的r排列個(gè)數(shù)為列個(gè)數(shù)為kr.例1：具有具有4位數(shù)字的三進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)是多少？位數(shù)字的三進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)是多少？定理定理3.4.2：令S是多重集，它有是多重集，它有k個(gè)不同的元素，每個(gè)元素的重復(fù)數(shù)分別為個(gè)不同的元素，每個(gè)元素的重復(fù)數(shù)分別為n1，n2，、、、，nk，那，那么，么，S的排列數(shù)的排列數(shù)=，其中，其中n=n1n2