數(shù)學(xué)建模上課

1、1第六部分插值與擬合實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需要確定滿足特殊要求的曲線或曲面。如果要求所求曲線（面）通過(guò)所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，這就是插值問(wèn)題插值問(wèn)題，在數(shù)據(jù)教少的情況下，這樣做能取得較好的效果。但是，如果數(shù)據(jù)較多，那么插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的函數(shù)，比較復(fù)雜，同時(shí)，給定的數(shù)據(jù)一般是由觀察測(cè)量所得，往往帶有隨機(jī)誤差，因而，要求曲線（面）通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)就既不現(xiàn)實(shí)也不必要。如果不要求曲線（面）通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象

2、整體的變化趨勢(shì)，可得到更簡(jiǎn)單實(shí)用的近似函數(shù)，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合。函數(shù)插值與數(shù)據(jù)擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。一、一、插值問(wèn)題插值問(wèn)題1、拉格朗日插值若知道函數(shù)在互異的兩個(gè)點(diǎn)和處的函數(shù)值和，而想估計(jì)該函數(shù)在另一點(diǎn)處的函數(shù)值，()yfx?0x1x0y1y?最自然的想法是作過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線，用作為準(zhǔn)確值的近似值，如果認(rèn)為00()xy11()xy1()yLx?1()L?()f?誤

3、差太大，還可增加一點(diǎn)的函數(shù)值，即已知在互異的三個(gè)點(diǎn)和處的函數(shù)值和，()fx()yfx?01xx2x01yy2y可以構(gòu)造一個(gè)過(guò)這三點(diǎn)的二次曲線，用作為準(zhǔn)確值的近似值。2()yLx?2()L?()f?【定義1】一般的，若已知在互異的個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，則可以考慮構(gòu)()yfx?1n?01nxxx?01nyyy?造一個(gè)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，使其滿足1n?n()nyLx?（1）()01nkkLxykn???然后用作為準(zhǔn)確值的近似值。此方法就叫

4、做插值法插值法，這樣構(gòu)造出來(lái)的多項(xiàng)式稱為的()nL?()f?()nLx()fx次拉格朗日插值多項(xiàng)式或插值函數(shù)次拉格朗日插值多項(xiàng)式或插值函數(shù)。稱點(diǎn)為插值結(jié)點(diǎn)，稱式(1)為插值條件，含n(01)kxkn??的最小區(qū)間叫做插值區(qū)間。(012)ixin??00[](minmax)iiininabaxbx??????【定理1】滿足插值條件(1)的次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式是存在的而且是唯一的。n1.1線性插值公式線性插值公式已知函數(shù)在互異的兩個(gè)點(diǎn)和處的函

5、數(shù)值和，欲求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)1的多項(xiàng)式()yfx?0x1x0y1y，使其滿足：，（2）1()yLx?100111()()LxyLxy??根據(jù)定理1，是存在而且唯一的，稱為線性插值函數(shù)或一次插值多項(xiàng)式。用點(diǎn)斜式可以寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)1()Lx1()Lx和點(diǎn)的直線方程：，因此00()xy11()xy100010()yyyyxxxx?????，將它寫(xiě)成對(duì)稱式為（3）1010010()()yyLxyxxxx?????011010110()xxxxLxyyx

6、xxx??????我們稱(3)式為拉格朗日線性插值函數(shù)或一次拉格朗日插值公式拉格朗日線性插值函數(shù)或一次拉格朗日插值公式。若引入記號(hào)：，則(3)式可以寫(xiě)成：(4)01010110()()xxxxlxlxxxxx??????10011()()()Lxylxylx??其中滿足：我們稱為線性插值或一次拉格朗日插01()()lxlx00011011()1()0()0()1lxlxlxlx????01()()lxlx值的基函數(shù)基函數(shù)。例1根據(jù)下表給

7、出的平方根的值，用線性插值計(jì)算，510x14916x1234解：取最接近的兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，運(yùn)用插值公式（3），得5x?0149xx??159545(5)232.24994L??????????1.2拋物線插值公式拋物線插值公式已知函數(shù)在三個(gè)互異點(diǎn)和處的函數(shù)值和，欲求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式()yfx?01xx2x01yy2y3插值公式的余項(xiàng)可以給出多項(xiàng)式逼近的誤差估計(jì)。()nLx()fx2、分段插值、分段插值多項(xiàng)式歷來(lái)都被認(rèn)為是最好的逼

8、近工具之一。用多項(xiàng)式作插值函數(shù)，就是前面的代數(shù)插值。一般情況下，似乎可以靠增加插值結(jié)點(diǎn)的數(shù)目來(lái)改善插值的精度，但插值多項(xiàng)式的次數(shù)會(huì)隨著結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而升高，可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性變差，逼近的效果往往是不理想的，甚至?xí)l(fā)生龍格振蕩現(xiàn)象。（龍格在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間上用個(gè)等距結(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，使得它在結(jié)點(diǎn)的值與函數(shù)[11]?1n?()nLx在對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的值相等，當(dāng)時(shí)，插值多項(xiàng)式在區(qū)間的中部趨于，但是對(duì)于2()1(125)yxx??n

9、??()nLx()yx滿足條件的，并不趨于在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的值。這種現(xiàn)象就叫做龍格現(xiàn)象。）0.728||1x???x()nLx()yx若插值的范圍較?。ㄔ谀硞€(gè)局部），用低次插值往往就能奏效，例如對(duì)在每個(gè)子段上2()1(125)yxx??用線性插值，即用連接相鄰結(jié)點(diǎn)的折線逼近所考察的曲線，就能保證一定的逼近效果。這種增加結(jié)點(diǎn)，用分段低次多項(xiàng)式插值的化整為零的處理辦法稱為分段插值法分段插值法，也就是說(shuō)不是去尋求整個(gè)插值區(qū)間上的一個(gè)高次多項(xiàng)式，而是把

10、插值區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低次多項(xiàng)式進(jìn)行插值，在整個(gè)插值區(qū)間上就得到一個(gè)分段插值函數(shù)。區(qū)間的劃分是任意的，各個(gè)區(qū)間上插值多項(xiàng)式的次數(shù)的選取也可按具體問(wèn)題選擇。分段插值法通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡(jiǎn)單，克服了龍格現(xiàn)象，但插值函數(shù)不如拉格朗日插值多項(xiàng)式光滑。這類插值大致可分為兩類：一類是下面要介紹的局部化的簡(jiǎn)單分段插值；另一類是非局部化光滑性較好的分段插值，即后面要介紹的樣條插值。2.1分段線性插值分段線性插值在分段

11、插值中，用得較多的是分段線性插值?！径x1】設(shè)在區(qū)間上取個(gè)結(jié)點(diǎn)：(14)在區(qū)[]ab1n?01naxxxb??????間上有二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在上列結(jié)點(diǎn)的值為(15)于是得到[]ab()fx0011()()()nnfxyfxyfxy????個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。聯(lián)結(jié)相鄰兩點(diǎn)得條線段，它們組成一條折線，把區(qū)間上這條1n?()iixy11()()iiiixyxy??n[]ab折線表示的函數(shù)稱為函數(shù)關(guān)于這個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分段插值函數(shù)，記為它有如下性質(zhì)：()fx1n

12、?()Lx(1)可以用分段函數(shù)表示，，在區(qū)間上連續(xù)。()Lx()()iiiLxfxy??[]ab()Lx(2)在第段區(qū)間上的表達(dá)式為()Lxi1[]iixx?(16)11111()iiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxx?????????????由此構(gòu)造插值基函數(shù)：111111[]()[]010iiiiiiiiiiixxxxxxxxxlxxxxinxx????????????????????????其它則1()0ijjilxj