數(shù)學建模初等模型

1、初等模型,張文博北京郵電大學理學院,某航空母艦派其護衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報了航母當前的航速與方 向，問護衛(wèi)艦應怎樣航行，才能與航母匯合。,,艦艇的會合,即：,可化為：,,,（航母的路線方程）,（護衛(wèi)艦的路線方程 ）,由此關系式即可求出P點的坐標和θ2 的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應用,在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建

2、立一個簡單 的數(shù)學模型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。,雙層玻璃的功效,設玻璃的熱傳導系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導系數(shù) 為k2，單位時間通過單位面積由溫度高的一側流向溫度低的一側的熱量為Q,,,解得：,,此函數(shù)的圖形為,,,類似有,,一般,故,,記h=l/d并令f(h)=,考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3或4，即l=3d（或4d），此時房

3、屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時的 4%-3% 。,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。,,崖高的估算,方法一,,我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,,,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=－g/k，故有,,再積分一次，得：,,,若

4、設k=0.05并仍設 t=4秒，則可求 得h≈73.6米。,聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間,進一步深入考慮,不妨設平均反應時間 為0.1秒 ，假如仍 設t=4秒，扣除反應時間后應 為3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。,①,多測幾次，取平均值,再一步深入考慮,,,最小二乘法 插值方法,經驗模型,最小二乘法,設經實際測量已得 到n組數(shù)據（xi , yi），i=1,…, n。將數(shù)據畫在平面直角坐標系中，

5、見 圖。如果建模者判斷 這n個點很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進而利用數(shù)據來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據近似滿足的關系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望,,最小,,此式對a和b的偏導數(shù)均 為0，解相應方程組，求得：,,,,例（舉重成績的比較）,模型1（線性模型）,模型2（冪函數(shù)模型）,模型3（經典模型）,(1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積A，即L=k1A(2)A正比于

6、身高 l的平方，即 A=k2l2(3)體重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3,根據上述假設，可得,,,顯然，K越大則成績越好，故可用 來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。,,,模型4（O’ Carroll公式）,(1) L=k1Aa, a<1 (2) A=k2lb, b<2 (3) B-Bo =k3l3,假設(1)、(2)是解剖學中的統(tǒng)計規(guī)律，在假設 （3）中O’ Carroll將體

7、重劃分成兩部分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。,,,,故有：,根據三條假設可 得L=k(B-B0)β,k和β為兩個常數(shù)，,此外，根據統(tǒng)計結果，他 得出B0≈35公斤，,模型5（Vorobyev公式）,,上述公式具有各不相同的基準，無法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足在 B=75公斤時有 L’=L，則上述各公式化為：,,,,,將公式（1）—（4）用來比較1976年奧運會的抓舉成績，各

8、公式對九個級別冠軍成績的優(yōu)劣排序如表 所示，比較結果較為一致，例如，對前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。,例2 體重與身高的 關系,插值方法,參數(shù)識別,例3 錄像帶還能錄多長時間,錄像機上有一個四位計數(shù)器，一盤 180分鐘的錄像帶在開始計數(shù)時為 0000，到結束時計數(shù)為1849，實際走時為185分20秒。我們從0084觀察到0147共用時間3分21秒。若錄像機目前的計數(shù)為1428，問是否還能錄下一個 60

9、分鐘的節(jié)目？,,,,,又 及 得,,積分得到,,,即,從而有,,,,,此式中的三個參數(shù)W、v和r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關系，但效果不佳，故令 則可將上式簡化為：,,故,,t= an2+bn,上式以a、b為參數(shù)顯然是一個十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：,,從后兩式中消 去t1，

10、解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實際可錄像時間為185.33分，故尚可錄像時間 為59.64分，已不能再錄下一個60分鐘的節(jié)目了。,量綱分析法建模,例 在萬有引力公式中，引力常數(shù)G是有量綱的，根據量綱齊次性，G的量綱為M-1L3T-2，其實，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項，即可使其任何一項化為無量綱，因此任一

11、公式均可改寫成其相關量的無量綱常數(shù)或無量綱變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式 相關的物理量有：G、m1、m2、r和F?，F(xiàn)考察這些量的無量綱乘積 的量綱由于 是無量綱的量，故應有：,,,,,,此方程組中存在兩個自由變量，其解構成一個二維線性空間。?。╝,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程組解空間的一組基 （1,0,2,-2,-1）和（

12、0,1,-1,0,0），所有由這些量組成的無量綱乘積均可用這兩個解的線性組合表示。兩個基向量對應的無量綱乘積分別為：,,而萬有引力定律則可寫 成f(π1,π2)=0，其對應的顯函數(shù)為：π1=g(π2)，即,,萬有引力定律,定理2.1 （Backinghamπ定理）方程當且僅當可以表 示為 f（π1，π2…）=0時才是量綱齊次的，其中 f是某一函數(shù)，π1，π2…為問題所包含的變量與常數(shù)的無量 綱乘積。,,,,,例（理想單擺的

13、擺動周期）,考察質量集中于距支點為 l 的質點上的無阻尼 單擺，（如圖），其運動為某周 期 t 的左右擺動，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間的 關系。,,,考察 ， 的量綱為MaLb+dTc-2b若 無量綱，則有,,,此方程組中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）為一解，對應的π1=θ即為無量綱量。為求另一個無綱量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0

14、），對應有,,,,,其中,此即理想單擺的周期公式。當然 k(θ)是無法求得的，事實上，需要用橢圓積分才能表達它。,,§2.7 賽艇成績的比較(比例模型),八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成86公斤的重量級和 73公斤的輕量級。1971年，T.A.McMahon比較了1964-1970年期間兩次奧運會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比73公斤級的成績大約好5%，產生這一差異的原因何在呢？,考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中

15、的實際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個賽程大致可以分三個階段， 即初始時刻的加速階 段、中途的勻速階段和到達終點的沖刺階段 。由于賽程較長，可以略去前后兩段而只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設。,,,故,,,令WH=86,WL=73,則有由于SL略小于SH，故輕量級所化時間比重量級所化時間約 多5%左右。,,§2.8 方桌問題,將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉 ，是否總能設法

16、使其四條腿同時落地？,不附加任何條件，答案 顯然 是否定的，,,,現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當方桌繞中 心0旋轉時，對角線 AC與x軸的夾角記為θ。容易看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f(θ)為A、C離地距離之和，g(θ

17、)為B、D離地距離之和，它們的值 由θ唯一確定。由假設（1），f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)。又 由假設（3），三條腿總能同時著地， 故f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨設f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉），于是問題歸結為：,§2.9最短路徑與最速方案問題,例5（最短路徑問題）,設有一個半徑為 r 的圓形湖，圓心為 O。A、B 位于湖的兩側，AB連線過O，

18、見圖?，F(xiàn)擬從A點步行到B點，在不得進入湖中的限 制下，問怎樣的路徑最近。,以上只是一種猜測，現(xiàn)在來證明這一猜測是正確的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質。,下面證明猜想,猜測證明如下：,還可用微積分方法求弧長，根據計算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長度；此外，本猜測也可用平面幾何知識加以證明等。,到此為止，我們的研討還只局限于平面之中，其實上述猜測可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上

19、結果：,例6 一輛汽車停于 A處并垂直于AB方向，此汽車可轉的最小圓半徑為 R，求不倒車而由 A到B的最短路徑。,例7 駕駛一輛停于A處與AB成θ1角度的汽車到B處去，已知B處要求的停車方向必須 與 AB成θ2角，試找出最短路徑（除可轉 的最小圓半徑為R外，不受其他限止）。,最速方案問題,例8 將一輛急待修理的汽車由靜止開始沿一 直線方向推至相隔 S米的修車處，設阻力不 計 ，推車人能使車得到的推力 f 滿足:-

20、B≤f≤A , f>0為推力，f<0為拉力。問怎樣推車可使車最快停于修車處。,,,此問題為一泛函極值問題，求解十分困難，為得出一個最速方案。我們作如下猜測：,,,? 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經在 用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求π的努力。,π的計算,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方

21、法,? 概率方法? 數(shù)值積分方法,古典方法,用什么方法來計 算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。,,,,6邊形,12邊形,24邊形,圓,? 阿基米德曾用圓內接 96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了,由和 導出,? 公元5世紀，祖沖之指出,比西方得到同樣結果幾乎早了1000年,? 十五世紀中葉，阿爾·卡

22、西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀錄,? 1579年,韋達證明,? 1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小數(shù),分析方法,從十七世紀中葉起，人們開始用更先進的分析方法來求π的近似值，其中應用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求π近似值的實例。,取,取,? 1656年，沃里斯(Wallis)證明,? 在微積分中我們學過泰勒級數(shù)，其中有,當,取,取,? 在中學數(shù)學中證明過