數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)－微分方程模型

1、數(shù)學(xué)建模－ 微分方程模型,關(guān)曉飛同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,一、什么是微分方程？,最最簡單的例子,引例 一曲線通過點（1，2），且在該曲線任一點M( x ,y )處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。,解,因此，所求曲線的方程為,若設(shè)曲線方程為　　　　 ，,又因曲線滿足條件,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式：,對（1）式兩端積分得：,代入（3）得C＝1,回答什么是微分方程：,建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以

2、及自變量的方程,二、微分方程的解法,積分方法，分離變量法,可分離變量的微分方程,,可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的解.,分離變量法,例1 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,典型例題,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,,( C 為任意常數(shù) ),

3、故所求特解為,,,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型,1、簡單的數(shù)學(xué)模型,2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,1、簡單的數(shù)學(xué)模型,,利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：,(1) 分析問題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；,(2) 求出微分方程的通解；,(3) 根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解．,實際問題需尋求某個變量y 隨另一變量 t 的變化規(guī)律 ：y=y(t).,直接求很困難,,建

4、立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程,建立變量能滿足的微分方程,,？,哪一類問題,在工程實際問題中,“改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化.,關(guān)鍵詞“速率”, “增長” ,“衰變” ,“邊際的” ,常涉及到導(dǎo)數(shù).,建立方法常用微分方程,運用已知物理定律,利用平衡與增長式,運用微元法,應(yīng)用分析法,機(jī)理分析法,建立微分方程模型時,應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍,一、運用已知物理定律,例1

5、 鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比，已知t＝0時刻鈾的含量為 ，求在衰變過程中鈾的含量M（t）隨時間t的變化規(guī)律。,鈾的衰變速度就是 對時間t的導(dǎo)數(shù)　　　　 ，,解,因此，,由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式：,對上式兩端積分得：,是衰變系數(shù),且初始條件,分

6、離變量得,代入初始條件得,所以有，,這就是鈾的衰變規(guī)律。,例2 一個較熱的物體置于室溫為180c的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后降到500c .想知道它的溫度降到300c 需要多少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？,一、運用已知物理定律,牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差.,分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本

7、不受影響，即室溫分布均衡,保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似.,建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t≥0，,“T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差”,翻譯為,數(shù)學(xué)語言,建立微分方程,其中參數(shù)k >0，m=18. 求得一般解為,ln(T－m)=－k t+c,,代入條件: 求得c=42 ， , 最后得,T(t)=18+42 , t

8、 ≥0.,結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，,該物體溫度降至300c 需要8.17分鐘.,另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設(shè)有一瓶熱水，水溫原來是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．,例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設(shè)有一瓶熱水，水溫原來是100℃

9、，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過20小時以后，瓶內(nèi)水溫降到60℃，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律．,解,可以認(rèn)為在水的冷卻過程中，空氣的溫度是不變的．,由題意，得,其中 k 是比例系數(shù)( k > 0 ) ．,由于是單調(diào)減少的，即,設(shè)瓶內(nèi)水的溫度 與時間之間的函數(shù)關(guān)系為 ，,則水的冷卻速率為 ,,(1),所以(1)式右邊前面應(yīng)加“負(fù)號”．初始條件為．,對(1)式分離變量，得,于是方程(1)的特解為,

10、兩邊積分,得,即,把初始條件 代入上式，求得 C = 80 ，,其中比例系數(shù) k 可用問題所給的另一條件 來確定，,即,解得,因此瓶內(nèi)水溫 與時間 的函數(shù)關(guān)系為,二. 利用平衡與增長式,許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等.,利用變量間的平衡與增長特性,可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系.,解,例1 某車間體積為1200

11、0立方米, 開始時空氣中含有 的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含 的 的新鮮空氣, 同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到多少?,設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后 時刻 的含量為,在 內(nèi),,的通入量,的排出量,6

12、分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,二. 利用平衡與增長式,例2 簡單人口增長模型,對某地區(qū)時刻 t 的人口總數(shù)N(t)，除考慮個體的出生、死亡，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出的影響.,在很短的時間段Δt 內(nèi)，關(guān)于N(t)變化的一個最簡單的模型是：,{Δt時間內(nèi)的人口增長量}={Δt內(nèi)出生人口數(shù)}－{Δt內(nèi)死亡人口數(shù)},+ {Δt內(nèi)遷入人口數(shù)}－{Δt內(nèi)遷出人口數(shù)},{Δt時間內(nèi)的凈改變量}={Δt時間內(nèi)輸入量}－{Δt時

13、間內(nèi)輸出量},般化更一,基本模型,三. 微元法,基本思想： 通過分析研究對象的有關(guān)變量在 一個很短時間內(nèi)的變化情況.,例 一個高為2米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1平方厘米. 試求放空容器所需要的時間.,對孔口的流速做兩條假設(shè) ：,1．t 時刻的流速v 依賴于此刻容器內(nèi)水的高度h(t).,2 ．整個放水過程無能量損失。,分析：,

14、放空容器,？,容器內(nèi)水的體積為零,容器內(nèi)水的高度為零,,,模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量Q為通過“孔口橫截面的水的體積V對時間t 的變化率”，即,S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）,h(t) —水面高度（單位：厘米）,t—時間（單位：秒）,當(dāng)S=1平方厘米，有,,,,,,,,h(t),,h+Δh,,,r1,,r2,水位降低體積變化,在[t，t+Δt ]內(nèi)，水面高度 h(t) 降至h+Δh(Δh<0), 容器中水的

15、體積的改變量為,令Δt 0, 得,dV=－πr2 dh， （2）,比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：,積分后整理得,0≤h≤100,令 h=0，求得完全排空需要約2小時58分.,另一個例子,有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,解,由力學(xué)知識得,水從

16、孔口流出的流量為,,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h降至 ,,比較(1)和(2)得:,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,四.分析法,基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系, 找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律.,例(獨家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷售的強(qiáng)有力的手段, 廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？,分析 廣告的效果, 可做如下的條件假設(shè)：,*1. 商品的銷售速度

17、會因廣告而增大, 當(dāng)商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值；,*2. 商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低；,*3. 選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費用為：,建模 記 S(t) — t 時刻商品的銷售速度；,M — 銷售飽和水平，即銷售速度的上限；,λ（＞0）— 衰減因子，廣告作用隨時間的推移而自然衰減的速度.,直接建立微分方程,稱 p 為響應(yīng)系數(shù)，表征A(t) 對 S(t) 的影響力.,模

18、型分析：是否與前三條假設(shè)相符？,改寫模型,假設(shè)1*,市場“余額”,假設(shè)2*,,銷售速度因廣告作用增大, 同時又受市場余額的限制.,,2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,人口增長模型,常用的計算公式,今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出 (1798),x(t) ~時刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口

19、的增長量與人口成正比，且比例系數(shù)為r,隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,根據(jù)假設(shè)，在 到 時間段內(nèi)，人口的增長量為,模型檢驗,據(jù)估計1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，人口總數(shù)以每年 的數(shù)度增長，這樣,也就是說到2670年，地球上將有36000億人口，非常荒謬。,這個公式非常準(zhǔn)確地反映了1700－1961年世界人口的總數(shù)。,但是：,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,阻滯增長模型 (Logistic模型),人口增

20、長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假定：,r~固有增長率(x很小時),xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,,,阻滯增長模型 (Logistic模型),,x(t)~S形曲線, x增加先快后慢,模型的參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）,專家

21、估計,模 型 檢 驗,用模型預(yù)報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為251.4 (百萬),,模 型 應(yīng) 用——人 口 預(yù) 報,用美國1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù),Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量),1、指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。,2、阻滯增長模型（Logistic模型）,3、更復(fù)雜的人口模型 隨機(jī)性模型、考慮

22、人口年齡分布的模型等,? 可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化。,小結(jié),兩方軍隊交戰(zhàn), 希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達(dá)到如下目的：,戰(zhàn)爭模型,2）Y方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 方軍隊 a 名士兵；,平衡式,,附： 微分方程模型匯總,1 傳染病模型2 經(jīng)濟(jì)增長模型3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)4 藥物在體內(nèi)的分布與排除5 香煙過濾嘴的作用6 人口預(yù)測和控制7 煙霧

23、的擴(kuò)散與消失8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),,,動態(tài)模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預(yù)報對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,1 傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報傳染病高潮到來的時刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用

24、機(jī)理分析方法建立模型,已感染人數(shù) (病人) i(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,,,,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為,2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為?, 且使接觸的健康人致病,建模,,? ~ 日接觸率,SI 模型,模型2,tm~傳染病高潮到來時刻,? (日接觸率)? ? t

25、m?,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為?,? ~日治愈率,建模,? ~ 日接觸率,1/? ~感染期,? ~ 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,,模型3,接觸數(shù)? =1 ~ 閾值,感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,傳染

26、病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率? , 日治愈率?, 接觸數(shù) ? = ? / ?,建模,需建立 的兩個方程,模型4,SIR模型,,模型4,SIR模型,相軌線 的定義域,在D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析,模型4,SI

27、R模型,相軌線 及其分析,s(t)單調(diào)減?相軌線的方向,P1: s0>1/? ? i(t)先升后降至0,P2: s0<1/? ? i(t)單調(diào)降至0,1/?~閾值,模型4,SIR模型,預(yù)防傳染病蔓延的手段,? (日接觸率)? ? 衛(wèi)生水平?,?(日治愈率)? ? 醫(yī)療水平?,傳染病不蔓延的條件——s0<1/?,? 的估計,,降低 s0,提高 r0,,提高閾值 1/?,模型4,SIR模型,被傳染人數(shù)的

28、估計,記被傳染人數(shù)比例,,? 小, s0 ? ?1,提高閾值1/??降低被傳染人數(shù)比例 x,s0 - 1/? = ?,2 經(jīng)濟(jì)增長模型,增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì),增加投資,增加勞動力,提高技術(shù),建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系,研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大,調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),產(chǎn)值 Q(t),F為待定函數(shù),資金 K(t),勞動力 L(t),技術(shù) f(

29、t),= f0,,模型假設(shè),靜態(tài)模型,每個勞動力的產(chǎn)值,每個勞動力的投資,z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),含義？,,Douglas生產(chǎn)函數(shù),,QK ~ 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值,QL ~ 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值,? ~ 資金在產(chǎn)值中的份額,1-? ~勞動力在產(chǎn)值中的份額,更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),1. Douglas生產(chǎn)函數(shù),,,,w ?, r ?, ? ? ? K/

30、L ?,求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金) ，使效益S最大,資金和勞動力創(chuàng)造的效益,資金來自貸款，利率 r,勞動力付工資 w,2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）,,,3) 經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件 (動態(tài)模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長, K(t), L(t)應(yīng)滿足的條件,模型假設(shè),投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)),勞動力相對增長率為常數(shù),,,,,,,Bernou

31、lli方程,,,,產(chǎn)值Q(t)增長,3) 經(jīng)濟(jì)增長的條件,勞動力增長率小于初始投資增長率,每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長,3) 經(jīng)濟(jì)增長的條件,,3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān),建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester

32、提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型,一般模型,每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f, g 取決于戰(zhàn)爭類型,x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力,模型假設(shè),模型,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力,雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒有增援,,f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每個士兵的殺傷率,a=ry py, ry ~射擊率， p

33、y ~命中率,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關(guān)系,,,平方律 模型,,游擊戰(zhàn)爭模型,雙方都用游擊部隊作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,,f(x, y)=?cxy, c~ 乙方每個士兵的殺傷率,c = ry pyry~射擊率py ~命中率,游擊戰(zhàn)爭模型,,,線性律 模型,,混合戰(zhàn)爭模型,甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊,,,,,乙方必須10倍于甲方的兵力,設(shè) x0

34、=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),4 藥物在體內(nèi)的分布與排除,藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量),血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計,藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 ——藥物動力學(xué),建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟,房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移,本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周

35、邊室(四肢、肌肉等),模型假設(shè),中心室(1)和周邊室(2),容積不變,藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比,藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外,模型建立,線性常系數(shù)非齊次方程,對應(yīng)齊次方程通解,模型建立,幾種常見的給藥方式,1.快速靜脈注射,t=0 瞬時注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1,給藥速率 f0(t) 和初始條件,2.恒速靜脈滴注,t >T, c1(t)和

36、c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零,3.口服或肌肉注射,相當(dāng)于藥物( 劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室,吸收室藥量x0(t),參數(shù)估計,各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速靜脈注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)測得c1(ti),由較大的 用最小二乘法定A,?,由較小的 用最小二乘法定B,?,,,,,參數(shù)估計,過濾嘴的作用與它的材料和

37、長度有什么關(guān)系,人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。,模型分析,分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。,設(shè)想一個“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。,問題,5 香煙過濾嘴的作用,模型假設(shè),定性分析,1）l1~煙草長， l2~過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1,2）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a

38、80;:a, a´+a=1,3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和?,4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u， v >>u,Q ~ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量,模型建立,t=0, x=0，點燃香煙,q(x,t) ~ 毒物流量,w(x,t) ~ 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(x),t時刻，香煙燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3

39、) 求w(ut,t),4) 計算 Q,結(jié)果分析,煙草為什么有作用?,1）Q與a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 處的吸入量,2) ~過濾嘴因素，?, l2 ~ 負(fù)指數(shù)作用,是毒物集中在x=l1 處的吸入量,3）?(r)~ 煙草的吸收作用,b, l1~ 線性作用,帶過濾嘴,不帶過濾嘴,結(jié)果分析,4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉,提高 ?-b 與加長l2，效

40、果相同,6 人口預(yù)測和控制,年齡分布對于人口預(yù)測的重要性,只考慮自然出生與死亡，不計遷移,人口發(fā)展方程,人口發(fā)展方程,,,一階偏微分方程,,,人口發(fā)展方程,~已知函數(shù)（人口調(diào)查）,~生育率（控制人口手段）,,生育率的分解,?~總和生育率,h~生育模式,人口發(fā)展方程和生育率,~總和生育率——控制生育的多少,~生育模式——控制生育的早晚和疏密,正反饋系統(tǒng),滯后作用很大,人口指數(shù),1）人口總數(shù),2）平均年齡,3）平均壽命,t時刻出生的人

41、，死亡率按 ?(r,t) 計算的平均存活時間,4）老齡化指數(shù),控制生育率,控制 N(t)不過大,控制 ?(t)不過高,,7 煙霧的擴(kuò)散與消失,現(xiàn)象和問題,炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。,不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。,建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系。,問題分析,無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。,觀察的煙霧消失與

42、煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。,模型假設(shè),1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。,2）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。,3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。,模型建立,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比,曲面積分的奧氏公式,1）煙霧濃度

43、 的變化規(guī)律,初始條件,Q~炮彈釋放的煙霧總量,? ~單位強(qiáng)度的點源函數(shù),對任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; R??C?,僅當(dāng) t??, 對任意點(x,y,z), C?0,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,2）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律,光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比,,3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限,煙霧濃度連續(xù)變化,煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化,設(shè)

44、光源在z=-?, 儀器在z=?,則觀測到的明暗界限為,~不透光區(qū)域邊界,4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律,,,對任意t, 不透光區(qū)域邊界是圓周,不透光區(qū)域邊界半徑,結(jié)果分析,,觀測到不透光區(qū)域邊界達(dá)到最大的時刻t1，可以預(yù)報煙霧消失的時刻t2,5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),背景,航海業(yè)發(fā)展,天文觀測精確,“地心說”動搖,哥白尼：“日心說”,伽里略：落體運動,開普勒：行星運動三定律,變速運動的計算方法,牛頓：一切運動有力學(xué)原因,牛頓運動三

45、定律,牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法）,開普勒三定律,牛頓運動第二定律,萬有引力定律,《自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》(1687),,,模型假設(shè),極坐標(biāo)系 (r,?),太陽 (0,0),1. 行星軌道,a~長半軸, b~短半軸, e~離心率,3. 行星運行周期 T,行星位置：向徑,2. 單位時間 掃過面積為常數(shù) A,m ~ 行星質(zhì)量,? ~ 絕對常數(shù),4. 行星運行受力,模型建立,向徑 的基向量,,,模型建立,萬有引力定律,需