微分方程模型習(xí)題

1、（微分方程模型）1一個(gè)半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)k0。設(shè)融化中雪堆始終保持半球狀，初始半徑為R且3小時(shí)中融化了總體積的78，問雪堆全部融化還需要多長(zhǎng)時(shí)間？2從致冰廠購(gòu)買了一塊立方體的冰塊，在運(yùn)輸途中發(fā)現(xiàn)，第一小時(shí)大約融化了14（1）求冰塊全部融化要多長(zhǎng)時(shí)間（設(shè)氣溫不變）（2）如運(yùn)輸時(shí)間需要2.5小時(shí)，問：運(yùn)輸途中冰塊大約會(huì)融化掉多少？3一展開角為α的圓錐形漏斗內(nèi)盛著高度為H的水，設(shè)漏斗底部的孔足夠大（表面

2、張力不計(jì)），試求漏斗中的水流光需要多少時(shí)間？4容器甲的溫度為60度，將其內(nèi)的溫度計(jì)移入容器乙內(nèi)，設(shè)十分鐘后溫度計(jì)讀數(shù)為70度，又過十分鐘后溫度計(jì)讀數(shù)為76度，試求容器乙內(nèi)的溫度。5一塊加過熱的金屬塊初始時(shí)比室溫高70度，20分鐘測(cè)得它比室溫高60度，問：（1）2小時(shí)后金屬塊比室溫高多少？（2）多少時(shí)間后，金屬塊比室溫高10度？6設(shè)初始時(shí)容器里盛放著含凈鹽10千克的鹽水100升，現(xiàn)對(duì)其以每分鐘3升的速率注入清水，容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅

3、時(shí)攪拌均勻，并同時(shí)以每分鐘2升的速率放出鹽水，求1小時(shí)后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽？7某傘降兵跳傘時(shí)的總質(zhì)量為100公斤（含武器裝備），降落傘張開前的空氣阻力為0.5v該傘降兵的初始下落速度為0，經(jīng)8秒鐘后降落傘打開，降落傘打開后的空氣阻力約為0.6試球給傘降兵下落的速度v(t)并求其下落的極限速度。81988年8月5日英國(guó)人MikeMcCarthy創(chuàng)建了一項(xiàng)最低開傘的跳傘紀(jì)錄，它從比薩斜塔上跳下，到離地179英尺時(shí)才打開降落傘，試求

4、他落地時(shí)的速度。9證明對(duì)數(shù)螺線r=A上任一處的切線與極徑的夾角的正切為一常數(shù)，（）10實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)速度遠(yuǎn)低于音速時(shí)，空氣阻力正比與速度，阻力系數(shù)大約為0.005?，F(xiàn)有一包裹從離地150米高的飛機(jī)上落下，（1）求其落地時(shí)的速度（2）如果飛機(jī)高度更大些，結(jié)果會(huì)如何，包裹的速度會(huì)隨高度而任意增大嗎？11生態(tài)學(xué)家估計(jì)人的內(nèi)稟增長(zhǎng)率約為0.029，已知1961年世界人口數(shù)為30.6億（3.06）而當(dāng)時(shí)的人口增長(zhǎng)率則為0.02。試根據(jù)Logisti

5、c模型計(jì)算：（1）世界人口數(shù)的上限約為多少（2）何時(shí)將是世界人口增長(zhǎng)最快的時(shí)候？12早期腫瘤的體積增長(zhǎng)滿足Malthus模型（=λV，其中λ為常數(shù)），（1）為100個(gè)每分鐘，試計(jì)算：（1）每克白鉛中有多少鈾238分子（2）鈾在這種白鉛中所占的百分比有多大？23人們普遍認(rèn)為新產(chǎn)品的暢銷期為x(t)位于0.2K至0.8K之間，試求新產(chǎn)品暢銷期的持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)度。24某人每天由飲食獲取2500大卡的熱量，其中新陳代謝約需1200大卡，每公斤體重約

6、需運(yùn)動(dòng)消耗16大卡，其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂肪，每公斤脂肪相當(dāng)于10000大卡，求此人體重的增長(zhǎng)公式及極限體重。25由于各級(jí)火箭的質(zhì)量不同，應(yīng)當(dāng)是不同的。請(qǐng)對(duì)三級(jí)火箭求出最優(yōu)設(shè)計(jì)。26在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期間，我國(guó)政府采取了嚴(yán)格的隔離政策，試建一模型研究這一問題。27醫(yī)生發(fā)現(xiàn)，麻疹有以下明顯特征：（1）潛伏期大約為12周，在潛伏期內(nèi)的孩子從表面上看完全是正常的，但他（她）卻會(huì)把疾病傳染給別的孩子，一旦患病癥狀出現(xiàn)，孩

7、子就會(huì)被隔離且病愈后具有免疫能力（2）麻疹發(fā)病有周期性現(xiàn)象，一般來講會(huì)隔年較嚴(yán)重一些?？紤]這兩個(gè)特征并選用適當(dāng)?shù)膮?shù)建模，使結(jié)果大致有12周的潛伏期及大約兩年的周期性。28人工腎的功能大體如下：它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通。人工腎里流動(dòng)著某種液體，流動(dòng)方向與血液在血管中的流動(dòng)方向相反，血液中的廢物通過薄膜滲透到人工腎中流動(dòng)的液體里，試建立模型來描寫這一現(xiàn)象。29自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也可利用等斜線來討論。例如，對(duì)（3.23）曲

8、線和可以證明：任一軌線都必垂直地穿過f的等斜線而水平地穿過g的等斜線。利用這一點(diǎn)畫出PP模型平衡點(diǎn)周圍的軌線。30是某一捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其中。研究此捕食系統(tǒng)，證明：不管開始時(shí)食餌多么豐富，捕食種群最終必將絕滅。31大魚只吃小魚、小魚只吃蝦米，試建模研究這一捕食系統(tǒng)。在求解你的模型時(shí)也許你會(huì)遇到困難，建議對(duì)模型中的參數(shù)取定幾組值，用數(shù)值解方法處理，并研究結(jié)果關(guān)于參數(shù)取值的敏感性。32香煙的過濾嘴有多大作用？與使用的材料和長(zhǎng)度關(guān)系如何？