微分方程建模

1、微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因為許多實際問題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步：1.根據(jù)實際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。2.找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。3.運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。列方程常見的方法有：（i）按規(guī)律直接列方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律

2、已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對某些實際問題列出微分方程。（ii）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關(guān)系式來表達(dá)的。對于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的微元之間的關(guān)系式，然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地

3、通過任意區(qū)域上取積分的方法來建立微分方程。（iii）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實際情況，作出一定的假設(shè)與簡化，并要把模型的理論或計算結(jié)果與實際情況進(jìn)行對照驗證，以修改模型使之更

4、準(zhǔn)確地描述實際問題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測預(yù)報的目的。我們將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問題。二、人口預(yù)測模型二、人口預(yù)測模型由于資源的有限性當(dāng)今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長為了得到人口預(yù)測模型必須首先搞清影響人口增長的因素而影響人口增長的因素很多如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此先把問題簡化建立比較粗糙的模型再逐步修改得到較完善的模型.例1

5、（馬爾薩斯（Malthus）模型）英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)任牧師期間查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個常數(shù)于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型他的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數(shù)即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比比例系數(shù)設(shè)為在此假設(shè)下推導(dǎo)并求解人口隨時間變化的數(shù)學(xué)模型.r解設(shè)時刻的人口為把當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總t

6、)(tN)(tN數(shù)很大可近似地這樣處理此乃離散變量連續(xù)化處理）據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)在到時間段內(nèi)人口的增長量為ttt??ttrNtNttN?????)()()(并設(shè)時刻的人口為于是0tt?0N???????，，00)(ddNtNrNtN這就是馬爾薩斯人口模型用分離變量法易求出其解為)(00e)(ttrNtN??此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長.模型檢驗：據(jù)估計1961年地球上的人口總數(shù)為而在以后7年中人91006.3?口總數(shù)以每年2%的速