微分方程建模案例2

1、為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。,種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。,Malthus模型與Logistic模型,模型1 馬爾薩斯（Malthus）模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，

2、（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）， 既：,馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。,Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。,模型2 Logistic模型,人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r

3、(N),r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求 。,為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。,r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項（競爭項）,(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾

4、病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。,圖3-5,對（3.9）分離變量：,兩邊積分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的圖形請看圖3.5,大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種

5、群的增長，效果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見圖3.6。,圖3-6,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和Logistic

6、模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。,用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它

7、們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。,例5 贗品的鑒定,在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng)·弗米爾（Jan Veermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國

8、戈林的中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時震驚了全世界，為了證明自己是一個偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當(dāng)這項工作接近完成時，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免

9、留下罪證。,為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩

10、個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。,然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學(xué)會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“

11、在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決。,原理與模型,測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。,放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素

12、的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。,用N(t)表示時間t時存在的原子數(shù),則：,用λ來計算半衰期T:,其解為:,與本問題相關(guān)的其他知識:,(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）,(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起

13、被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。,鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一種非放射

14、性物質(zhì)）注：時間均為半衰期,(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。,簡化假定：,本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了

15、使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)：,(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。,建模：,(1)記提煉白鉛的時刻為t=0，當(dāng)時每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎?dāng)時每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個。,以上確定了每克白鉛中

16、鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。,(2)設(shè)t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：,由此解得：,故：,畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。,Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了

17、鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。,例6 新產(chǎn)品的推廣,經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。,設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：,記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：,此方程即Logistic模型，解為：,對