傅里葉變換(fft)詳解

1、一、傅立葉變換的由來(lái)關(guān)于傅立葉變換，無(wú)論是書(shū)本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過(guò)抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個(gè)關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的電子書(shū)籍，是一個(gè)叫StevenW.SmithPh.D.外國(guó)人寫(xiě)的，寫(xiě)得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專(zhuān)門(mén)講述關(guān)于離散信號(hào)的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，

2、看了有茅塞頓開(kāi)的感覺(jué)，在此把我從中得到的理解拿出來(lái)跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，這電子書(shū)籍是免費(fèi)的，有興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來(lái)看一下，URL地址是：pdfbook.htm要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。二、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位

3、法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是JeanBaptisteJosephFourier(17681830)Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(JosephLouisLagrange17361813)和拉普拉斯(PierreS

4、imondeLaplace17491827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。誰(shuí)是對(duì)的呢？拉

5、格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來(lái)代替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正我們就可以用到離

6、散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)

7、只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類(lèi)型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real

8、DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說(shuō)的變換(transfm)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函

9、數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。四、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)

10、的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉