三重積分、重積分習(xí)題

1、三重積分三重積分1將I=zdv????分別表示成直角坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三次積分，并選擇其中一種計(jì)算出結(jié)果其中?是由曲面z=222yx??及z=x2y2所圍成的閉區(qū)域.分析分析為計(jì)算該三重積分，我們先把積分區(qū)域投影到某坐標(biāo)平面上，由于是由兩張曲面222yxz???及22yxz??，而由這兩個(gè)方程所組成的方程組22222zxyzxy????????極易消去z，我們把它投影到xoy面上然后，為在指定的坐標(biāo)系下計(jì)算之，還應(yīng)該先把?的邊

2、界曲面用相應(yīng)的坐標(biāo)表示，并找出各種坐標(biāo)系下各個(gè)變量的取值范圍，最后作代換即可解將?投影到xoy平面上，由22222zxyzxy????????消去z得(x2y2)2=2(x2y2)，或(x2y22)(x2y21)=0，于是有x2y2=1即知，?在xoy平面上的投影為圓域D：x2y2?1為此在D內(nèi)任取一點(diǎn)Q(x，y)，過Q作平行于z軸的直線自下而上穿過?穿入時(shí)碰到的曲面為22yxz??，離開時(shí)碰到的曲面為222yxz???(不畫圖，僅用代

3、數(shù)方法也易判斷22yxz???222yxz???)，這是因?yàn)閤2y2?1)(1)直角坐標(biāo)系下，我們分直角坐標(biāo)及柱面坐標(biāo)，下邊找z的變化范圍從而化為三重積分因此再由D：x2y2?1，有22yxz???222yxz???，于是在直角坐標(biāo)下，?可表示為?:22222211112xxyxxyzxy??????????????????，當(dāng)24?????時(shí)，r的上界由曲面r=??2sincos所給，故這時(shí)r????csccotsincos2??即r

4、的變化范圍為0?????????????時(shí)。，當(dāng)時(shí)，當(dāng)24cot402??????r因此I=????????????????????????2sincos0224202024020sincossincosdrrrdddrrrdd由?的特點(diǎn)(在xoy平面上的投影為圓域，而?本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，這時(shí)I=???20d?10dr??222rrrzdz=drzrdrr???????????1022202221??=2?

5、247=127?小結(jié)小結(jié)(1)計(jì)算三重積分時(shí)，欲用何種坐標(biāo)，就要首先把積分區(qū)域的表面方程化成用該坐標(biāo)表示，同時(shí)把被積函數(shù)中的變量與體積元素替換為該坐標(biāo)下的形式(2)不要認(rèn)為當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蝮w的一部分就應(yīng)采用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)所適用的積分區(qū)域一般為球，兩球面所圍的區(qū)域，或這兩種區(qū)域被圓錐所截得的部分本題是由旋轉(zhuǎn)拋物面與球面所圍成的區(qū)域，一般是不宜用球面坐標(biāo)的（3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下的不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會(huì)使用對(duì)稱

6、性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2計(jì)算三重積分???????dzyxz222，其中?是由曲面x2y2z2=1及z=)(322yx?所圍成的區(qū)域分析分析?為球面和圓錐面所圍成的區(qū)域故從積分區(qū)域的特點(diǎn)看，它適宜用球面坐標(biāo)同時(shí)，被積函數(shù)中含有因式x2y2z2，故從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面來看，應(yīng)選用球面坐標(biāo)解在球面坐標(biāo)下，球面x2y2z2=1的方程為r=1，錐面z=)(322yx?的方程為tan?=33，即6???，又z軸的正