重積分的數(shù)值計(jì)算[文獻(xiàn)綜述]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p><b>　　重積分的數(shù)值計(jì)算 </b></p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　多重積分是定積分的一類

2、，它將定積分?jǐn)U展到多元函數(shù)(多變量的函數(shù))，例如求f(x,y)或者f(x,y,z)類型的多元函數(shù)的積分.</p><p>　　設(shè)f(x,y)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù)J是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，對(duì)于D的任何分割T，當(dāng)它的細(xì)度<時(shí)，屬于T的所有積分和都有,則稱f(x,y)在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，記作</p><p><

3、;b>　　，</b></p><p>　　其中f(x,y)稱為二重積分的被積函數(shù)，x,y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域. [1]</p><p>　　定積分和不定積分是積分學(xué)中的兩大基本問題.求不定積分時(shí)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，定積分則是某種特殊和式的極限[2].定積分的幾乎所有性質(zhì)都可以推廣到重積分[3]. </p><p>　　重積分計(jì)算是數(shù)值計(jì)算方法中

4、的一個(gè)分支，數(shù)值計(jì)算方法又是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的方法與理論為研究對(duì)象，其內(nèi)容包括：函數(shù)插值，數(shù)值微分和積分，線性方程組的解法等.科學(xué)計(jì)算是我們?nèi)祟悘氖驴茖W(xué)探索和研究時(shí)必不可少的手段.在計(jì)算機(jī)技術(shù)與計(jì)算機(jī)得到迅速發(fā)展的今天，我們有了快速數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的工具，科學(xué)計(jì)算被推向科學(xué)活動(dòng)的前沿，上升為一種重要的科學(xué).</p><p>　　將科學(xué)技術(shù)中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即根據(jù)相關(guān)科學(xué)理論，建立

5、數(shù)學(xué)模型，然后求解，這是進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的前提或先決條件.實(shí)際上，許多數(shù)學(xué)問題是沒有辦法求出其精確解的.因此，只好通過數(shù)值計(jì)算方法求其近似值.重積分是數(shù)值計(jì)算方法里重要的一個(gè)部分，應(yīng)用極為廣泛，無論是日常工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)還是國防尖端科學(xué)技術(shù)的研究，如，大、中型機(jī)電產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)、重大工程項(xiàng)目的設(shè)計(jì)、地質(zhì)勘探與油田開發(fā)、氣象預(yù)報(bào)與地震預(yù)測(cè)、新型尖端武器的研制和航天與航空的發(fā)展等都離不開它，近年來還被應(yīng)用到醫(yī)學(xué)、生物學(xué)及經(jīng)濟(jì)管理、金融和社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域.

6、 [4]</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　2.1 梯形求積公式及其復(fù)合公式</p><p>　　2.1.1 梯形求積公式</p><p>　　當(dāng)我們需要計(jì)算函數(shù)在平面的某個(gè)區(qū)域上的定積分時(shí)候，必須要計(jì)算多重積分.在初等微積分中已經(jīng)學(xué)過，2重積分可以化成累次積分計(jì)算.于是我們有<

7、/p><p>　　, (2.1.1)</p><p>　　在式(2.1.1)中，積分區(qū)域是由下面的直線圍成的矩形區(qū)域</p><p><b>　　.</b></p><p>　　事實(shí)上，積分區(qū)域不必是矩形的，累次積分分限也不必是常數(shù)，但是我們把這種情況放到后面來討論.在累次積分過程中，當(dāng)對(duì)積分時(shí)設(shè)是常數(shù).<

8、;/p><p>　　當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)取為等距節(jié)點(diǎn)</p><p>　　(k=0,1,…,n,h=(b-a)/n) (2.1.2)</p><p>　　時(shí)，記x=a+th,則得求積系數(shù)</p><p>　　= (2.1.3)</p><p>　　求積節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)的求積公式， 稱為牛頓-科茨公

9、式.</p><p>　　在牛頓-科茨公式求積系數(shù)公式中，當(dāng)n=1時(shí)有</p><p><b>　　(2.1.4)</b></p><p><b>　　(2.1.5)</b></p><p>　　將求積系數(shù)代入求積公式得到</p><p><b>　　(2.1.6)

10、</b></p><p>　　稱為梯形求積公式，它的余項(xiàng)是</p><p><b>　　(2.1.7)</b></p><p><b>　　設(shè)積分區(qū)域是矩形</b></p><p>　　, (2.1.8)</p><p>　　

11、它的每一邊平行于坐標(biāo)軸，令</p><p>　　于是得到4個(gè)點(diǎn).如果f在R內(nèi)連續(xù)，則有</p><p><b>　　(2.1.9)</b></p><p>　　利用梯形公式計(jì)算內(nèi)部積分</p><p>　　， (2.1.10)</p><p>　　對(duì)上式右邊再次應(yīng)用梯形公式，可得&

12、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(2.1.11)</b></p><p>　　這式(2.1.11)即梯形求積公式在重積分上的形式.</p><p>　　2.1.2 復(fù)合梯形求積公式</p><p>　　應(yīng)用高階的Newton-Cotes型

13、求積公式計(jì)算積分會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，低階公式(如梯形)又往往因?yàn)榉e分區(qū)間步長過大使得離散誤差大.然后，若積分區(qū)間愈小，則離散誤差小.因此，為了提高求積公式的精確度，可以把積分區(qū)間分成人若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階公式，然后將結(jié)果加起來.這種公式稱為復(fù)合求積公式.</p><p>　　由于在區(qū)間[a,b]上不變號(hào)，故由積分中值定理知，存在使得</p><p><b>　　(2

14、.1.12)</b></p><p>　　記h=(b-a)/m,在每個(gè)小區(qū)間上使用梯形求積公式，便得到</p><p>　　， (2.1.13)</p><p>　　稱之為復(fù)合梯形求積公式，它的余項(xiàng)為</p><p><b>　　(2.1.14)</b></p>

15、<p>　　其中.(2.1.10)的第2個(gè)等號(hào)的推導(dǎo)用到了介值定理.</p><p>　　把上面的矩形R的邊分別分為n等分和m等分，這樣便把R分為邊長為h和k的mn個(gè)小矩形.在每個(gè)小矩形上應(yīng)用梯形求積公式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　(2.1.15)</b></p

16、><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　上式可以改寫為</b></p><p>　　, (2.1.16)</p><p>　　其中是下面矩陣的相應(yīng)元素，</p><p>　　， (2.1

17、.17)</p><p>　　式(2.1.17)稱為復(fù)合梯形求積公式.</p><p>　　2.2.1 拋物線求積公式</p><p>　　梯形公式建立的基礎(chǔ)是用線性插值多項(xiàng)式逼近被積函數(shù).如果用2次或者3次插值多項(xiàng)</p><p>　　式那么逼近效果會(huì)更好.拋物線求積公式建立的基礎(chǔ)就是這種逼近.我們給出兩個(gè)公式：拋物線求積公式和復(fù)合拋物線

18、求積公式.拋物線求積公式也叫辛普森求積公式, 復(fù)合拋物線求積公式也叫復(fù)合辛普森求積公式.</p><p>　　我們用2次牛頓-格雷格里向前多項(xiàng)式推到拋物線求積公式，其中結(jié)點(diǎn)是均與分布的，相鄰兩點(diǎn)的距離是：</p><p><b>　　(2.2.1)</b></p><p>　　通過對(duì)多項(xiàng)式誤差的積分得到積分誤差：</p><

19、p>　　. (2.2.2)</p><p>　　拋物線求積公式需要將積分區(qū)間分成偶數(shù)個(gè)小的子區(qū)間.</p><p>　　設(shè)積分區(qū)域是矩形,分別用點(diǎn)，</p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　.</b></p>&l

20、t;p>　　劃分區(qū)間[a,A]和[b,B],其中.這樣得到9點(diǎn),點(diǎn)的分布為,利用式(2.1.9)，并對(duì)內(nèi)部積分用拋物線求積公式，有</p><p>　　. (2.2.3)</p><p>　　再對(duì)上式右邊的每個(gè)積分應(yīng)用拋物線公式，有</p><p><b>　　(2.2.4)</b></p><p>　　此

21、公式稱作拋物線公式.[5]</p><p>　　2.2.2 復(fù)合拋物線求積公式</p><p>　　相似地，對(duì)被積函數(shù)的4個(gè)插值結(jié)點(diǎn)的3次牛頓-格雷戈里插值多項(xiàng)式及其插值誤差函數(shù)積分，我們能推導(dǎo)出復(fù)合拋物線求積公式：</p><p>　　. (2.2.5)</p><p><b>　　誤差=.</b>

22、;</p><p>　　如果子區(qū)間數(shù)能被3整除，則可以用復(fù)合拋物線求積公式.顯然復(fù)合拋物線求積公式的誤差比拋物線求積公式的大，這兩個(gè)公式的局部誤差都是.它們的整體誤差都是，原因同梯形求積分公式的情況.</p><p>　　既然復(fù)合拋物線求積公式的誤差大，為什么還要使用它呢？他的一個(gè)重要的應(yīng)用是計(jì)算子區(qū)間的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)的積分值.另外，對(duì)于奇數(shù)個(gè)子區(qū)間上的積分.在前3個(gè)或者后3個(gè)子區(qū)間應(yīng)該用在

23、被積函數(shù)近似的直線區(qū)間上.[6]</p><p>　　在重積分上，設(shè)積分區(qū)域是矩形,把矩形R的每邊分別分成n等分和m等分,這就得到了nm個(gè)小矩形，再把每個(gè)小矩形等分為四部分，這樣就把R剖分成更小的矩形，并把這些矩形的頂點(diǎn)用作求積公式中的節(jié)點(diǎn).[7]</p><p><b>　　令</b></p><p>　　,

24、 (2.2.6)</p><p><b>　　那么節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為</b></p><p><b>　　(2.2.7)</b></p><p>　　在第一次分R的nm個(gè)矩形上應(yīng)用公式并記后，有</p><p>　　. (2.2.8)</p><

25、;p><b>　　改寫上式可以得到</b></p><p><b>　　(2.2.9)</b></p><p>　　其中系數(shù)是矩陣的相應(yīng)的元素，定義為</p><p><b>　　(2.2.10)</b></p><p>　　2.3 Gauss型求積公式</p&g

26、t;<p>　　2.3.1 Gauss型求積公式</p><p>　　首先，不論求積節(jié)點(diǎn)如何選取，n+1點(diǎn)求積公式的代數(shù)精確度不能打到2n+2[8]. .事實(shí)上，對(duì)任意給定的節(jié)點(diǎn)和任意給定的求積系數(shù),取</p><p>　　, (2.3.1)</p><p>　　則f(x)是2n+2次多項(xiàng)式，用求積公式計(jì)算得&l

27、t;/p><p>　　， (2.3.2)</p><p><b>　　項(xiàng)式，而積分值</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這說明對(duì)任意給定的n+1點(diǎn)求積公式，都可以找到一個(gè)2n+2次多項(xiàng)式，使得求積公式對(duì)該多項(xiàng)式的積分是不精確的.[

28、9]</p><p>　　其次，通過適當(dāng)選擇插值結(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，可使求積公式的代數(shù)精確度達(dá)到2n+1，這是這個(gè)求積公式可能具有的最高的代數(shù)精確度.</p><p>　　考慮計(jì)算區(qū)間[-1,1]上的積分的兩點(diǎn)(n=1的情形)求積公式</p><p>　　, (2.3.3)</p><p>　　這時(shí)求積公式的代數(shù)精確度

29、不超過2n+1=3,將求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)作為4個(gè)待定參數(shù)，依次取被積函數(shù)f(x)為1，,代入求積公式，得到關(guān)于參數(shù),</p><p><b>　　的方程組</b></p><p><b>　　(2.3.4)</b></p><p>　　由此，可解出.這樣便得到求積公式，</p><p><b&

30、gt;　　(2.3.5)</b></p><p>　　上述方法是將求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)視為同等的參數(shù)進(jìn)行求解.對(duì)一般的求積公式，也可以用此方法將求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)一并求出，從而得到具有最高代數(shù)精確度的求積公式，但由于此時(shí)的求積公式一定是插值型，只要求積節(jié)點(diǎn)確定下來，求積系數(shù)便可隨之確定.因此，確定求積節(jié)點(diǎn)就成為公式構(gòu)造的關(guān)鍵.[10]</p><p>　　若[a,b]區(qū)間上一組節(jié)

31、點(diǎn)使得相應(yīng)的求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱此點(diǎn)組為Guass點(diǎn)組，相應(yīng)的求積公式為高斯型求積公式.高斯點(diǎn)組可直接通過求解相應(yīng)的方程組得到，也可借助正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)來確定.</p><p>　　設(shè)區(qū)間[a,b]=[-1,1]，在[-1,1]上取權(quán)函數(shù)，那么相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為勒讓德多項(xiàng)式，</p><p><b>　　(2.3.6)</b></p>&

32、lt;p>　　設(shè)，那么高斯求積公式化為</p><p>　　， (2.3.7)</p><p>　　其中高斯點(diǎn)為勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求積公式(2.3.7)稱為高斯-勒讓德求積公式.公式(2.3.7)中求積系數(shù)</p><p>　　. (2.3.8)</p><p>　　由式(2.3

33、.7)得</p><p>　　， (2.3.9)</p><p>　　對(duì)2n-1次的代數(shù)多項(xiàng)式是精確成立的，定積分的高斯-勒讓德求積公式很容易推廣到重積分</p><p><b>　　(2.3.10)</b></p><p><b>　　的求積，求積公式</b&g

34、t;</p><p><b>　　(2.3.11)</b></p><p>　　對(duì)于二元函數(shù)精確成立.這式</p><p>　　(2.3.11)也稱為重積分的高斯型求積公式. [11]</p><p>　　2.3.2 另外幾種高斯型求積公式</p><p>　　在物理和力學(xué)中常常遇到一些帶有權(quán)函

35、數(shù)的廣義積分，對(duì)于這些積分使用其他求積公式會(huì)遇到困難.對(duì)于不同的權(quán)函數(shù)，便有不同的直交多項(xiàng)式，從而得到不同的具體高斯型求積公式.而針對(duì)權(quán)函數(shù)和積分區(qū)間，選擇適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)構(gòu)造代數(shù)代數(shù)精確度最高的高斯型求積公式進(jìn)行計(jì)算，通常是有效地.當(dāng)然要構(gòu)造高斯型求積公式，計(jì)算節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)是比較麻煩的.對(duì)于一些常用的特定的權(quán)函數(shù)，前人已算出他們的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)表，計(jì)算這些積分時(shí)可以直接查表得到求積公式，[12]下面給出幾種常用的高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積

36、系數(shù)表，并舉例說明如何使用這種方法.</p><p>　　1)Gauss-Laguerre求積公式</p><p><b>　　(2.3.12)</b></p><p>　　節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)如表1 Gauss-Laguerre求積公式的余項(xiàng)為</p><p>　　. (2.3.13)</p

37、><p>　　表1 Gauss-Laguerre求積公式節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)</p><p>　　例 應(yīng)用Gauss-Laguerre求積公式計(jì)算</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們用3個(gè)節(jié)點(diǎn)(n=2)的公式計(jì)算：</p><p>　　2)Gauss-Hermite求積公式&

38、lt;/p><p><b>　　(2.3.14)</b></p><p>　　節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)如表2</p><p>　　表2 Gauss-Hermite求積公式節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)</p><p>　　Gauss-Hermite求積公式的余項(xiàng)為</p><p>　　. (2.3.15)</

39、p><p>　　例應(yīng)用Gauss-Hermite求積公式計(jì)算積分</p><p>　　它的精確值是[13]</p><p>　　我們使用4個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss-Hermite求積公式計(jì)算：</p><p>　　3)Gauss-Chebyshev求積公式</p><p><b>　　(2.3.16)</b>

40、;</p><p>　　這里權(quán)函數(shù)的1/，節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)求積公式的余項(xiàng)為</p><p>　　. (2.3.17)</p><p>　　一般的，高斯型求積公式的基點(diǎn)式無理數(shù)，并且不是等距的.幾點(diǎn)和求積系數(shù)需要查表，這就帶來不便，并且若需增加基點(diǎn)，原先計(jì)算得函數(shù)值對(duì)當(dāng)前的計(jì)算沒有用處.但是，高斯求積公式具有較高的代數(shù)精確度，對(duì)于給定的誤差容限，所

41、需計(jì)算函數(shù)值的次數(shù)較其他許多求積公式少得多.并且，高斯型求積公式可以用來計(jì)算反常積分. [16]</p><p>　　2.4 累次積分法</p><p>　　設(shè)f(x,y)在D=[a,b]*[c,d]上可積.</p><p>　　如果對(duì)每個(gè)在[a,b]上可積，則在[c,d]上可積，</p><p><b>　　并有 </b&

42、gt;</p><p>　　. (2.4.1)</p><p>　　2．如果對(duì)每個(gè)在[c,d]上可積，則在[a,b]上可積，并有</p><p>　　. (2.4.2)</p><p>　　證明：設(shè)任給>0，存在>0，只要分割T的寬度<，對(duì)任，就都有</p>&l

43、t;p>　　, (2.4.3)</p><p>　　任取，并取,于是(2.4.3)可以寫成</p><p>　　. (2.4.4)</p><p>　　對(duì)于給定的,是在[a,b]上的Riemann和，故有</p><p>　　. (2.4.5)<

44、/p><p>　　由(2.4.3)可知，只要，就有</p><p>　　. [15] (2.4.6)</p><p>　　由此可知在[c,d]上可積，并有</p><p>　　. (2.4.7)</p><p><b>　　三、總結(jié)部分<

45、/b></p><p>　　重積分的數(shù)值計(jì)算是許多科學(xué)與工程計(jì)算的核心.重積分的出現(xiàn)和發(fā)展，提高了求解定積分的效率. 本文主要介紹了多重積分的基本思想，以及四種經(jīng)典解重積分的方法——梯形法及其復(fù)合法、拋物線法及其復(fù)合法、高斯方法和累次法，重點(diǎn)介紹了前2者的深度解析.相比較傳統(tǒng)定積分解法,求解高斯及其推廣而出的多種方法顯示出與眾不同的有效性.由于編程簡單且存儲(chǔ)量小，相信隨著理論分析和研究的日益深入，重積分的理

46、論將更加完善，也將為我們提供產(chǎn)生更有效的解重積分的新思路,各種解法在應(yīng)用上的發(fā)展也將日趨進(jìn)步.</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計(jì)算方法[M] .北京：科學(xué)出版社,2005.8:93-128.</p><p>　　[2] 林成森.數(shù)值計(jì)算方法(上)[M].北京：科學(xué)出版社,2

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