復積分的計算【文獻綜述】

1、畢業(yè)論文文獻綜述畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學與應用數(shù)學數(shù)學與應用數(shù)學復積分的計算復積分的計算復變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。如果當函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。復變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的

2、單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)黎曼曲面理論是復變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。近來，關于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質(zhì)。復變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導數(shù)

3、處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。復變函數(shù)論在應用方面，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用復變函數(shù)論解決流體力學

4、和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。復變函數(shù)論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。從柯西算起，復變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程?，F(xiàn)在，復變函數(shù)論中仍然有

5、不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應用。根據(jù)格林（）定理有，，因此Green0Cudxvdy???0Cvdxudy???()0Cfzdz??1900年，古莎（）在去掉在內(nèi)連續(xù)的條件下證明了柯西積分定理，由于其Goursat()fz?D證明較長，故略去不證Mera定理即柯西積分定理的逆定理如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有。那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。他刻畫了解析函數(shù)的又一種定義.

6、()0Cfzdz??有關柯西積分公式：有關柯西積分公式：柯西積分公式：設區(qū)域D的邊界是周線（復周線）C，函數(shù)在D內(nèi)解析，在??fz內(nèi)連續(xù)，則。DDC????????12CffzdzDiz????????柯西積分公式是證明一系列解析函數(shù)重要性質(zhì)的工具，首先是證明了圓盤上的解析函數(shù)一定可展為冪級數(shù)，從而證明了A.L.柯西與K.魏爾斯特拉斯關于解析函數(shù)兩個定義的等價性，其次證明了解析函數(shù)是無限次可微的，從而其實部與虛部也是無限次可微的調(diào)和函數(shù)

7、?？挛鞣e分定理已推廣到沿同倫曲線或沿同調(diào)鏈積分的形式?？挛鞣e分公式在多復變函數(shù)中也有許多不同形式.有關留數(shù)定理：有關留數(shù)定理：留數(shù)理論是復變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復雜。應用留數(shù)理論對于復變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。在復分析中，留數(shù)定理是用

8、來計算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣?？挛髁魯?shù)定理：在周線（復周線）C所圍區(qū)域D內(nèi)除a1，a2，……，an外解析，在閉域??fz上除a1，a2，……，an外連續(xù)，則??Cfzdz?=??12Reknzakisfz????DDC??參考文獻參考文獻[1]鐘玉泉.復變函數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社2004[2]崔冬玲.復積分的計算方法.淮南師范學院學