離散傅里葉變換（dft）

1、第三章 離散傅里葉變換,DFT: Discrete Fourier Transform,學習目標,理解傅里葉變換的幾種形式了解周期序列的傅里葉級數(shù)及性質(zhì)，掌握周期卷積過程理解離散傅里葉變換及性質(zhì)，掌握圓周移位、共軛對稱性，掌握圓周卷積、線性卷積及兩者之間的關(guān)系了解頻域抽樣理論理解頻譜分析過程了解序列的抽取與插值過程,作業(yè)練習,P132: 345(1)(2)(3)68910111214192

2、026,一、Fourier變換的幾種可能形式,連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換,連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù),離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換,離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換,連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換,時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。,連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù),時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而頻域的離散對應(yīng)時域是周期函數(shù)。,離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換,時域

3、的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù),離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換,一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的,四種傅里葉變換形式的歸納,傅里葉變換,傅里葉級數(shù),序列的傅里葉變換,離散傅里葉變換,(DFS：離散傅里葉級數(shù)，DTFT：序列的傅里葉變換，DFT：離散傅里葉變換）,二 、周期序列的DFS及其性質(zhì),周期序列的DFS正變換和反變換：,其中：,可看作是對

4、 的一個周期 做 變換然后將 變換在 平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到,DFS的性質(zhì),1、線性：,其中， 為任意常數(shù),若,則,2、序列的移位,3、調(diào)制特性,4、周期卷積和,若,則,同樣，利用對稱性,若,則,三、離散傅里葉變換（DFT）,同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列,有限長序列的DFT正變換和反變換：,其中：,x(n)的N點DFT是x(n)的z變換在單位圓上的N點等

5、間隔抽樣；,x(n)的DTFT在區(qū)間[0，2π]上的N點等間隔抽樣。,(DFT：離散傅里葉變換，DTFT：離散時間信號的傅里葉變換）,四、離散傅里葉變換的性質(zhì),DFT正變換和反變換：,1、線性：,這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且,若,則,2、序列的圓周移位,定義：,有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。,調(diào)制特性：,時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位,3

6、、共軛對稱性,,,其中：,共軛反對稱分量：,共軛對稱分量：,任意周期序列：,定義：,則任意有限長序列：,圓周共軛反對稱序列：,圓周共軛對稱序列：,圓周共軛對稱序列滿足：,圓周共軛反對稱序列滿足：,同理：,其中：,序列 DFT,共軛對稱性,,序列 DFT,實數(shù)序列的共軛對稱性,純虛序列的共軛對稱性,序列 DFT,例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運

7、算來計算它們各自的DFT:,,4、復共軛序列,5、DFT形式下的Parseval定理,6、圓周卷積和,若,則,圓周卷積過程：1）補零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加,N,N,N,同樣，利用對稱性,若,則,7、有限長序列的線性卷積與圓周卷積,線性卷積：,討論圓周卷積和線性卷積之間的關(guān)系：,對x1(n)和x2(n)補零，使其長度均為N點；,對x2(n)周期延拓：,圓周卷積：,N,小結(jié)：線性卷積求解方法,時域

8、直接求解,z變換法,DFT法,8、線性相關(guān)與圓周相關(guān),線性相關(guān)：,自相關(guān)函數(shù)：,相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：,相關(guān)函數(shù)的z變換：,相關(guān)函數(shù)的頻譜：,圓周相關(guān)定理,當 時，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān),類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系,六 、抽樣z變換—頻域抽樣理論,時域抽樣定理：在滿足奈奎斯特定理條件下，時域抽樣信號可以不失真地還原原連續(xù)信號。,頻域抽樣呢？,抽樣條件？,內(nèi)插公式？,x(n)為

9、無限長序列—混疊失真x(n)為有限長序列，長度為M,由頻域抽樣序列 還原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點數(shù)N。,所以：時域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時域周期延拓,頻率采樣定理,若序列長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù):時，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復原信號 ，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。,用頻域采樣 表示

10、 的內(nèi)插公式,用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式,七 、用DFT對模擬信號作頻譜分析,信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換,對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近,1）將 在 軸上等間隔（T）分段,2）將 截短成有限長序列,3）頻域抽樣：一個周期分N段，采樣間隔 ，時域周期延拓， 周期為,對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近過程1）時域抽樣2）時域截斷3）

11、頻域抽樣,近似逼近：,對連續(xù)時間周期信號的DFS逼近,1）將 在 軸上等間隔（T）分段,2）頻域截斷：長度正好等于一個周期,近似逼近：,頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇,同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)N。,信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾,1-14 有一調(diào)幅信號用DFT做頻譜分析，要求能分辨 的所有頻率分量，問(1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲（Hz）?(2)抽樣時間間隔應(yīng)為多少

12、秒（Sec）?(3)抽樣點數(shù)應(yīng)為多少點？(4)若用 頻率抽樣，抽樣數(shù)據(jù)為512點，做頻譜分析，求 ，512點，并粗略畫出 的幅頻特性 ，標出主要點的坐標值。,（1）抽樣頻率應(yīng)為,解：,（2）抽樣時間間隔應(yīng)為,頻譜泄漏,改善方法：,對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏,1）增加x(n)長度,2）緩慢截短,柵欄效應(yīng),改善方

13、法：增加頻域抽樣點數(shù)N（時域補零），使譜線更密,DFT只計算離散點（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù),頻率分辨率,提高頻率分辨率方法： 增加信號實際記錄長度 補零并不能提高頻率分辨率,八 、序列的抽取與插值,信號時間尺度變換（抽樣頻率的變換）抽取：減小抽樣頻率插值：加大抽樣頻率,1、序列的抽取,將x(n)的抽樣頻率減小D倍每D個抽樣中取一個，D為整數(shù)，稱為抽樣因子,相當于抽樣間隔增加D倍后對時域