第六講函數(shù)專題(四)

1、第六講：函數(shù)專題（四）1第六講：函數(shù)專題（四）第六講：函數(shù)專題（四）函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性知識(shí)點(diǎn)回顧：一、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的

2、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2）確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；3）作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

3、若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定(2)由f(x)f(x)=0或f(x)／f(x)=1來(lái)判定(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.例1：設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證：2211)(xxxf???)()1(xfxf??二、函數(shù)的對(duì)稱性二、函數(shù)的對(duì)稱性我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對(duì)稱，偶函數(shù)有關(guān)系式)()(xfxf??奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式0)()(???xfxf上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展？答

4、案是肯定的探討：（1）函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱對(duì)稱)(xfy?ax??)()(xafxaf???也可以寫(xiě)成或)()(xafxaf???)2()(xafxf??)2()(xafxf???簡(jiǎn)證：簡(jiǎn)證：設(shè)點(diǎn)在上，通過(guò)可知，)(11yx)(xfy?)2()(xafxf??，即點(diǎn)上，而點(diǎn)與)2()(111xafxfy???)()2(11xfyyxa??也在)(11yx點(diǎn)關(guān)于x=a對(duì)稱。得證。)2(11yxa?若寫(xiě)成：若寫(xiě)成：，函數(shù)關(guān)于直線)()(xb

5、fxaf???)(xfy?對(duì)稱22)()(baxbxax??????（2）函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱)(xfy?)(ba?bxafxaf2)()(????或bxfxaf2)()2(????上述關(guān)系也可以寫(xiě)成bxfxaf2)()2(???第六講：函數(shù)專題（四）3右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：任取x1，x2∈D，且x1x2；○1作差f(x1)－f(x2)；○2變形（通常是因式

6、分解和配方）；○3定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；○4下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）○5(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.例2：判斷函數(shù)的單調(diào)性；13???xy例3：求下列函

7、數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴223yxx???⑵223yxx????⑶261yxx???四、函數(shù)的周期性四、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y=f(x)如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(xT)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做函數(shù)的周期.如果T為函數(shù)的一個(gè)周期，那么T的整數(shù)倍nT也是函數(shù)的周期；如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期.注意：1）周期函數(shù)不一定有最小正周期