第五章-定積分

1、第五章第五章定積分定積分一、內(nèi)容精要一、內(nèi)容精要（一）（一）基本概念基本概念定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，已知變速直線運(yùn)動(dòng)的速度求路程，密度不均質(zhì)線段的質(zhì)量所產(chǎn)生。定義3.3設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上有定義，在閉區(qū)間[ab]內(nèi)任意插入n1個(gè)分點(diǎn)將分成n個(gè)小區(qū)間，記，，作乘積（稱為積分元），把這些乘積相加得到和式（稱為積分和式）設(shè)，若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是[ab]的分法及分點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)f(x)在

2、上的定積分，記作，即.否則稱f(x)在上不可積.注1由牛頓萊布尼茲公式知，計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號(hào)。注2若存在，區(qū)間進(jìn)行特殊分割，分點(diǎn)進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，請讀者要真正理解。注3定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即定積分的幾何意義:若f(x)在上可積，且則表示曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積.

3、若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。同理若在上連續(xù)，不存在（稱b點(diǎn)為瑕點(diǎn)），有若在上連續(xù)，不存在（稱c點(diǎn)為瑕點(diǎn)），定義當(dāng)且僅當(dāng)都收斂時(shí)，收斂，且值等于的值之和。注若在上連續(xù)，（常數(shù)），則可看成正常積分，事實(shí)上，定義知在上連續(xù)，即存在，而，由于在上連續(xù)，知變下限函數(shù)在上連續(xù)，有，即故可看成正常積分。若廣義積分收斂，也有線性運(yùn)算法則，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運(yùn)算。第一p廣義積分（a0，常數(shù)