尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法

1、尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法徐文平（東南大學南京210096）摘要：摘要：已知橢圓上五點，通過確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長軸短軸位置等三個步驟，尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。橢圓在開普勒行星運行三定律中扮演了重要角色，在機械制圖和土木工程領域中也有重要運用。利用幾何畫板和cad軟件，依據任意五個點的橢圓尺規(guī)作圖，具有重要意義。一、引言一、引言在幾何畫板和cad軟件中，任意五個點作橢圓，具有意義。五點定橢圓在衛(wèi)星軌道，機

2、械制圖和土木工程中是有重要用途。第一步，通過五點尋找橢圓圓心第二步，確定橢圓坐標x、y主軸方向第三步、確定橢圓的長軸a和短軸b1）大狗熊定理）大狗熊定理1：二次圓錐曲線內接四邊形的對邊延伸線兩交點調和分割對角線兩極點。如圖1，橢圓內接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點為C，對角線LN的極點為D，KM與LN交于Q點，則A、B、C、D四點共線，且AB調和分割CD，即1AC1AD＝2AB。雙曲線和

3、拋物線也具有同樣性質。2）命題）命題1：已知橢圓的斜向割線AB，作一條過橢圓圓心O點的任意割線JK，JA、BK交于E點，JB、AK交于F點，確定EF的中點N點，連線NA、NB就是橢圓的切線。證明：證明：由于割線JK的切線交點極點在無窮遠，利用定理1，可以快速證明這個命題。圖5命題命題4：已知橢圓上P、H、G、Q、A五點，利用橢圓內接四邊形PQGH確定對角線PQ和GH交叉點T，可繪制極點T的極線EF，利用橢圓內接四邊形PQAB(H)確定對

4、角線PQ和AB(H)交叉S點（利用帕斯卡定理，新構造橢圓第六點B點，替換H點），繪制極點S的極線MN，極線MN和極線EF交于C點，C點即為PQ割線的極點。證明：證明：依據極點極線的對偶定理，由于S、T為PQ極線上的二點，可可知S、T極點的極線MN和極線EF相交于C點就是PQ的極點，連線PC、QC就是橢圓的切線。（該方法也適合于雙曲線和拋物線的情況）問題問題2：橢圓上五點有時候似乎不夠啊，如何構造橢圓上的臨時第六點啊。命題命題5：運用帕斯

5、卡原理，通過橢圓上五點，可以增加橢圓上一點。Pal’s定理為通過五點作圓錐曲線提供了一種優(yōu)美的解決方案。設已給12345五點，其中任意三點不在同一直線上（特例將在后面討論），但五點的平面位置為任意。我們將這五點依次相連，并設線段12與45的交點為L。為了構作圓錐曲線上的任意一點，如點6，我們通過點1任意作一直線a，設a與線段34交于點N，再通過L和N作直線b，設b與a交于M，圖743；再通過5和M作直線c，則c與a的交點就是期望的第六點